基于諧波合成法模擬的脈動(dòng)風(fēng)速功率譜密度和相關(guān)性分析

張慧彬

（華杰工程咨詢有限公司，北京 100029）

0 引言

近年來，我國(guó)對(duì)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)持續(xù)投入，跨越江河、海洋、峽谷的大跨度橋梁應(yīng)用廣泛。為滿足通航需求，大跨度橋梁通常一跨或幾跨跨越江河，主跨跨徑已達(dá)千米級(jí)別，如主跨1018m 的香港昂船洲大橋，主跨1088m 的蘇通長(zhǎng)江公路大橋，滬蘇通長(zhǎng)江公鐵大橋以及在建的常泰長(zhǎng)江公鐵大橋。大跨度橋梁主跨跨徑增加、結(jié)構(gòu)剛度變小、對(duì)風(fēng)的敏感性增加，表現(xiàn)出輕、柔、高的特征。江河、海洋、峽谷地區(qū)風(fēng)環(huán)境復(fù)雜，風(fēng)荷載很容易引起橋梁較大的變形和振動(dòng)，影響結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性。在進(jìn)行時(shí)域風(fēng)振響應(yīng)分析時(shí)，風(fēng)荷載已經(jīng)成為大跨度橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的控制性荷載。因此，模擬橋梁結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載，進(jìn)而對(duì)橋梁進(jìn)行風(fēng)致振動(dòng)響應(yīng)分析是大跨度橋梁設(shè)計(jì)中必須考慮的重要因素。

眾多學(xué)者首先采用現(xiàn)場(chǎng)的風(fēng)場(chǎng)實(shí)測(cè)或健康監(jiān)測(cè)的方法，獲取橋址區(qū)和橋梁結(jié)構(gòu)自然風(fēng)場(chǎng)的特性。一方面采集的風(fēng)特性實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以用于脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)數(shù)值模擬，另一方面可用于橋梁結(jié)構(gòu)風(fēng)洞試驗(yàn)。針對(duì)不同地區(qū)的氣候特征、地形條件等因素，不同國(guó)家和地區(qū)制定了相應(yīng)的規(guī)范，如美國(guó)建筑荷載規(guī)范（ASCE7-10）、加拿大國(guó)家建筑規(guī)范（NBCC）等。針對(duì)復(fù)雜地區(qū)的大跨度橋梁的風(fēng)場(chǎng)特性分析，眾多學(xué)者往往進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)，補(bǔ)充橋梁結(jié)構(gòu)所受來流風(fēng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。例如，王浩等[1]針對(duì)潤(rùn)揚(yáng)大橋和蘇通大橋的健康監(jiān)測(cè)平臺(tái)，采集了特殊氣候條件下橋址區(qū)的風(fēng)場(chǎng)特性；趙林等[2]利用臺(tái)風(fēng)經(jīng)過西堠門大橋時(shí)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，分析了湍流強(qiáng)度和功率譜特性。

基于實(shí)測(cè)風(fēng)場(chǎng)特性的分析結(jié)果，采用線性濾波法、諧波合成法和小波變換等方法，模擬橋梁結(jié)構(gòu)的來流風(fēng)，成為時(shí)域分析中的常用分析辦法。例如，王浩等[3]基于潤(rùn)揚(yáng)懸索橋的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)橋址區(qū)三維脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行了有效的數(shù)值模擬；宋玉鵬等[4]采用二維波數(shù)-頻率域的非均勻離散策略，改善了諧波合成法的計(jì)算效率；李黎等[5]考慮了橋塔風(fēng)效應(yīng)，有效模擬了龍?zhí)逗犹卮髽蚴┕ぷ畲箅p懸臂階段的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)；馬俊等[6]結(jié)合諧波合成法和自回歸方法的優(yōu)點(diǎn)，提出高效高精度新型混合方法，計(jì)算精度顯著提高；韓艷和陳政清[7]根據(jù)文獻(xiàn)的數(shù)值方法，模擬洞庭湖大橋脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)；孫芳錦和顧明[8]應(yīng)用小波分解方法，結(jié)合線性濾波法的向量過程自回歸模型，給出了模擬空間脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的一種新方法。

以規(guī)范冪指數(shù)、風(fēng)速譜和相干函數(shù)為輸入條件，采用諧波合成法數(shù)值模擬大跨度橋梁主梁位置處的脈動(dòng)風(fēng)速，對(duì)模擬的風(fēng)速時(shí)程分析了功率譜特性，表明該模擬方法可以有效模擬橋梁結(jié)構(gòu)所承受的來流風(fēng)。

1 風(fēng)速模擬

1.1 模擬參數(shù)

1.1.1 對(duì)數(shù)律

在一段具有均勻粗糙度的水平場(chǎng)地內(nèi)，對(duì)數(shù)律可以較為準(zhǔn)確地描述大氣邊界層100～200m 高度范圍內(nèi)的平均風(fēng)速。平均風(fēng)速沿高度變化規(guī)律可以用式（1）來描述：

式（1）中：z為高度；k為馮卡門常數(shù)，一般取值為0.4；U*為地表摩擦速度或流動(dòng)剪切速度；z0為氣動(dòng)粗糙長(zhǎng)度。

1.1.2 脈動(dòng)風(fēng)速譜

脈動(dòng)風(fēng)速譜反映了不同頻率成分的渦對(duì)總能量的貢獻(xiàn)，湍流運(yùn)動(dòng)能量從低頻大渦逐漸傳遞到高頻小渦。含有湍流絕大部分能量的大尺度渦范圍稱為含能尺度，湍流能耗散的小尺度渦范圍稱為耗散尺度，在遠(yuǎn)離含能尺度和耗散尺度的中間區(qū)域稱為慣性子區(qū)。在風(fēng)工程領(lǐng)域，應(yīng)用較廣的經(jīng)驗(yàn)公式Kaimal 脈動(dòng)風(fēng)速譜表達(dá)式（2）如下：

Panofsky 脈動(dòng)風(fēng)速譜表達(dá)式（3）為：

橫風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜表達(dá)式（4）為：

式（2）～式（4）中：x = nz/U(z)。Kaimal 脈動(dòng)風(fēng)速譜反映了高度對(duì)風(fēng)譜的影響。橫風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速功率譜相對(duì)于順風(fēng)向譜，譜值相對(duì)較小，因此在風(fēng)振響應(yīng)分析中一般應(yīng)用較少。

在我國(guó)規(guī)范[9]中，順風(fēng)向和豎向脈動(dòng)風(fēng)速譜采用如公式（5）所示：

式（5）中：U為平均風(fēng)速；n為頻率；z為高度；Su和Sw分別為順風(fēng)向和豎向脈動(dòng)風(fēng)速譜函數(shù)；u*為摩擦速度。采用我國(guó)規(guī)范推薦的公式進(jìn)行計(jì)算分析。

1.1.3 相干函數(shù)

空間兩點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速相關(guān)性在頻域中用相干函數(shù)來表示。Davenport 相干函數(shù)經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為[10]：

其中：

式（6）～式（8）中：r為p1和p2兩點(diǎn)間的距離；Coh(r,n)為相干函數(shù)（平方根）。Cy=16 和Cz=10。

式6 中的相干函數(shù)與頻率有關(guān)，改進(jìn)后的經(jīng)驗(yàn)公式（9）如下：

式（9）中：Δ 為空間兩點(diǎn)的距離；B為調(diào)整系數(shù)；U為兩點(diǎn)的平均風(fēng)速均值；C為指數(shù)衰減系數(shù)。

1.2 諧波合成法

基于上述參數(shù)，模擬作用全橋各個(gè)離散點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程近似為一個(gè)零均值多變量一維平穩(wěn)隨機(jī)過程，可以用式（10）進(jìn)行模擬：

式（10）中：Δn = fs/N,fs為截止頻率，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度；m為空間點(diǎn)數(shù)；M為離散頻率點(diǎn)數(shù)，滿足N≥2M；ψkl為均勻分布于[0,2π)區(qū)間的隨機(jī)相位。

ωkl為雙索引圓頻率，Δω=2π×Δn，其定義為：

Hjk(wkl)為m點(diǎn)空間脈動(dòng)風(fēng)互譜矩陣S(wl)的Cholesky 分解矩陣：

θjk為Hjk(wkl)的相位，即

1.3 風(fēng)速模擬算例

首先對(duì)全橋三維脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)進(jìn)行簡(jiǎn)化。模擬計(jì)算的主要參數(shù)和結(jié)果如下：主梁離地高度z=70m；模擬點(diǎn)數(shù)n=80；間距為28m。采樣頻率fs=10Hz；樣本時(shí)間間隔△t=0.1s；模擬頻率分量總數(shù)為3000。

主梁跨中模擬點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線如圖1所示。

圖1 主梁脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程

為了檢驗(yàn)上述模擬點(diǎn)計(jì)算結(jié)果的可靠性，對(duì)脈動(dòng)風(fēng)速譜和相關(guān)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證分析?；谏傻娘L(fēng)速樣本，估計(jì)了主梁模擬點(diǎn)自功率譜，并與目標(biāo)譜進(jìn)行了比較。

主梁跨中脈動(dòng)風(fēng)速譜和目標(biāo)譜如圖2所示。對(duì)于順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內(nèi)模擬的脈動(dòng)風(fēng)速譜值較目標(biāo)譜值低；在0.01～0.1Hz 頻段內(nèi)，略高于目標(biāo)譜值；在0.09Hz 存在極小值，之后隨著頻率增大，模擬的譜值在目標(biāo)譜上下波動(dòng)。對(duì)于豎向脈動(dòng)風(fēng)速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內(nèi)模擬的脈動(dòng)風(fēng)速譜值較目標(biāo)譜值低；在0.01～0.1Hz 頻段內(nèi)低于目標(biāo)譜值；在0.05Hz 存在極小值，之后隨著頻率增大，模擬的譜值在目標(biāo)譜上下波動(dòng)。整體上看，模擬曲線在目標(biāo)函數(shù)曲線上下波動(dòng)，其模擬譜與目標(biāo)譜均吻合較好，驗(yàn)證了模擬方法的有效性和可靠性，表明模擬結(jié)果合理。對(duì)于順風(fēng)向和豎向，主跨跨中模擬點(diǎn)在低頻段順風(fēng)向譜密度明顯大于豎向，在高頻段譜密度均波動(dòng)明顯。

圖2 主梁模擬脈動(dòng)風(fēng)速功率譜密度

無論是順風(fēng)向還是豎向脈動(dòng)風(fēng)速功率譜，均顯示出低頻（大渦）湍流脈動(dòng)能量較大，譜值較高；在高頻（小渦）段，脈動(dòng)能量較小，譜值較低。這也符合脈動(dòng)風(fēng)在大尺度渦范圍內(nèi)，氣流慣性力起主導(dǎo)作用，在慣性力作用下，能量從大渦傳遞到小渦，再由小渦傳遞到更小尺度的渦，湍流運(yùn)動(dòng)能逐漸被耗散成內(nèi)能。

2 結(jié)語(yǔ)

其一，基于諧波合成法模擬不同位置處的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。以規(guī)范推薦值為輸入?yún)?shù)，模擬得出主梁跨中順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速在25m/s 范圍內(nèi)波動(dòng)，豎向脈動(dòng)風(fēng)速在8m/s 范圍內(nèi)波動(dòng)。

其二，通過檢驗(yàn)樣本時(shí)程風(fēng)速譜，對(duì)于順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內(nèi)模擬的脈動(dòng)風(fēng)速譜值較目標(biāo)譜值低，在0.01～0.1Hz 頻段內(nèi)略高；對(duì)于豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內(nèi)模擬的脈動(dòng)風(fēng)速譜值與目標(biāo)值相符，在0.01～0.1Hz頻段內(nèi)低于目標(biāo)譜值。整體上，風(fēng)速譜模擬曲線在目標(biāo)函數(shù)曲線上下波動(dòng)，其模擬譜與目標(biāo)譜均吻合較好，驗(yàn)證了模擬方法的有效性和可靠性。