基于幾何非線性動(dòng)力組合地基梁模型的漏糞地板自振特性

李百豐 張焱輝 曹瓊瓊,2 羅 雙,3 梁宗敏 蔣秀根*

(1.中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院,北京 100083;2.鐵總服務(wù)有限公司,北京 100844;3.中國(guó)農(nóng)業(yè)科學(xué)院 基本建設(shè)局,北京 100081)

設(shè)施養(yǎng)殖由于其養(yǎng)殖工藝標(biāo)準(zhǔn),生長(zhǎng)環(huán)境可控,設(shè)施設(shè)備完備,滿足健康、綠色、安全的要求,是現(xiàn)代養(yǎng)殖業(yè)的主流生產(chǎn)方式[1]。養(yǎng)殖設(shè)施的結(jié)構(gòu),需要滿足對(duì)環(huán)境耐久性和對(duì)裝備適用性的要求。以應(yīng)用最為廣泛的豬舍為例,為了滿足清潔生產(chǎn)的需求,普遍采用條形漏糞孔地板下、配備自動(dòng)清刮設(shè)備的糞溝[2]。除了滿足常規(guī)荷載下地板的承載力要求外,漏糞地板還應(yīng)滿足由于振動(dòng)產(chǎn)生的2方面功能需求：一是滿足動(dòng)物福利要求,對(duì)地板振動(dòng)進(jìn)行控制,不致由于地板的強(qiáng)烈振動(dòng),而引起豬的強(qiáng)烈應(yīng)激;二是滿足地板耐久性要求,不致由于豬糞便的強(qiáng)腐蝕性和振動(dòng)產(chǎn)生的裂縫損傷積累2個(gè)因素的效應(yīng)疊加,而引起的使用年限明顯降低。與一般建筑物樓板振動(dòng)舒適性設(shè)計(jì)不同的是,漏糞地板簡(jiǎn)單支承于糞溝兩側(cè)的地面上,可視為由兩端的彈性地基梁和中段的普通梁組成的連續(xù)梁,呈現(xiàn)出典型的組合地基梁特征,其振動(dòng)分析必須考慮組合彈性地基梁的受力特征。

彈性地基梁是指支承在連續(xù)彈性地基上的梁。在結(jié)構(gòu)分析時(shí)應(yīng)該將其看作是結(jié)構(gòu)-地基之間相互作用的模型進(jìn)行力學(xué)分析,即應(yīng)考慮彈性地基梁與地基之間協(xié)調(diào)變形。由于連續(xù)彈性地基的存在,彈性地基梁具備了受力及變形2方面特征：由連續(xù)分布支承提供分布力的作用;由彈性支承同時(shí)提供幾何約束和梁端自然邊界條件[3-4]。在實(shí)際工程中,房屋建筑工程中基礎(chǔ)梁板、護(hù)坡,交通工程中的公路面板和機(jī)場(chǎng)跑道等結(jié)構(gòu)具有典型的彈性地基梁受力特征,設(shè)施農(nóng)業(yè)建筑中的地板也應(yīng)按照彈性地基梁模型進(jìn)行分析。

當(dāng)遇到動(dòng)力作用時(shí),結(jié)構(gòu)在變形過程中產(chǎn)生的慣性力,除了引起附加的內(nèi)力和變形,影響結(jié)構(gòu)的安全性和適用性外,產(chǎn)生的振動(dòng)還會(huì)引起結(jié)構(gòu)舒適性以及混凝土的裂縫損傷積累導(dǎo)致的耐久性下降[5]。因此對(duì)于彈性地基梁分析,除了要考慮基本的靜力分析外,還應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析。

國(guó)內(nèi)外已有研究在彈性地基梁的靜動(dòng)力響應(yīng)方面取得了一系列成果,包括彈性地基梁靜力內(nèi)力及變形的有限差分求解方法[6];壓剪地基上Timoshenko梁的動(dòng)力分析問題求解方案[7];基于微分變換法的自振頻率初參數(shù)求解辦法[8];不同邊界條件下的彈性地基梁自振頻率解析解[9];基于最小勢(shì)能原理的彈性地基梁靜力求解辦法[10-11];移動(dòng)動(dòng)力荷載下黏彈性地基平動(dòng)Euler梁的動(dòng)力響應(yīng)分析方法[12-13]。但目前關(guān)于彈性地基梁分析模型問題的研究相對(duì)較少?；诜植假|(zhì)量模型的Winkler彈性地基Euler梁求解辦法,對(duì)于地基和梁的剪切效應(yīng)并未考慮[14]。Mously等[15]對(duì)Pasternak地基上的平轉(zhuǎn)動(dòng)Timoshenko梁進(jìn)行研究,給出了基本固有頻率近似顯式計(jì)算模型,但研究?jī)H基于近似位移方程而不具有普遍性。黏彈性Pasternak地基平動(dòng)Timoshenko梁的自振特性分析模型未考慮地基梁的轉(zhuǎn)動(dòng)特性[16]。王亞升等[17]采用最小勢(shì)能原理方法,獲得了受軸向壓力雙參數(shù)彈性地基平動(dòng)Euler梁自振問題的求解辦法,但僅考慮了單參數(shù)彈性地基,未能構(gòu)建全參數(shù)的彈性地基梁分析模型。圍繞樓板振動(dòng)對(duì)人以及儀器設(shè)備的舒適度影響已展開了許多研究,如對(duì)各國(guó)建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中樓面舒適度設(shè)計(jì)要求的匯總和對(duì)比,以及以頻率和峰值加速度作為控制參數(shù)的建議指標(biāo)限值[18-19];基于人體動(dòng)力試驗(yàn)的人體舒適度評(píng)價(jià)方法[20];樓板自振頻率和加速度的簡(jiǎn)便求解方法[21];通過蒙特卡洛隨機(jī)模擬過程給出的人行荷載下復(fù)雜結(jié)構(gòu)樓板振動(dòng)舒適度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[22]。

本研究擬對(duì)豬舍中漏糞地板的自振特性進(jìn)行分析,考慮地基的壓縮和剪切剛度、梁的彎曲和剪切變形、運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力,以期建立幾何非線性雙參數(shù)彈性地基梁運(yùn)動(dòng)方程,給出組合地基梁自振周期求解模型。

1 基本模型與理論

1.1 模型及假定

對(duì)于彈性地基梁,按照右手螺旋準(zhǔn)則建立坐標(biāo)系,以梁的左端截面形心為原點(diǎn)O,梁軸線為x軸,向右為正;y軸垂直于梁軸線,向下為正;z軸垂直于xOy平面,向內(nèi)為正。對(duì)彈性地基梁進(jìn)行受力分析見圖1。

V1,V2分別為左端截面和右端截面的剪力;M1,M2分別為左端截面和右端截面的彎矩;N1,N2分別為左端截面和右端截面的軸力;l為彈性地基梁長(zhǎng)度。V1 and V2 are shear force of left section and right section.M1 and M2 are bending moment of left section and right section.N1 and N2 are axial force of left section and right section.l is elastic foundation beam length.圖1 彈性地基梁坐標(biāo)系及受力示意圖Fig.1 Coordinate system and force diagram of elastic foundation beam

彈性地基梁所受外力包括,軸力N0、分布線荷載qy、分布彎矩荷載mz、截面上的地基反力P、慣性力fv、慣性力矩fθ。規(guī)定荷載方向與坐標(biāo)軸方向一致為正,軸力以壓力為正。內(nèi)力包括彎矩M和剪力V。規(guī)定當(dāng)截面法線方向與坐標(biāo)x軸正向一致時(shí),內(nèi)力與坐標(biāo)軸方向一致為正;當(dāng)截面法線與坐標(biāo)x軸正向相反時(shí),內(nèi)力與坐標(biāo)軸方向相反為正。

彈性地基梁位移包括,撓度v、軸線轉(zhuǎn)角φ、截面轉(zhuǎn)角θ、截面剪切角γ、截面曲率κ。規(guī)定位移與坐標(biāo)軸正向一致為正。

本研究基于以下基本假定：等直梁模型,梁的各個(gè)截面相等且始終保持為平面;Timoshenko梁模型,考慮剪切作用的影響,軸線轉(zhuǎn)角等于截面轉(zhuǎn)角與截面剪切角之和;全慣性模型,考慮梁的橫向振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力;大撓度模型,考慮軸力在撓度上產(chǎn)生的二階彎矩;線彈性模型,梁的剛度保持不變,內(nèi)力和位移的關(guān)系服從胡克定律;壓剪地基模型,梁與地基無分離,結(jié)構(gòu)-地基之間豎向位移一致。

1.2 基本方程

彈性地基梁位移控制方程是在平衡方程、幾何方程、物理方程和地基模型的基礎(chǔ)上建立的。本研究以彈性地基梁微段隔離體為研究對(duì)象建立基本方程。

1.2.1平衡方程

分別建立剪力平衡方程和彎矩平衡方程：

(1)

(2)

式中：b為彈性地基梁的寬,m;m為彈性地基梁的線密度,kg/m;ρ為材料體積密度,kg/m3;I為彈性地基梁對(duì)z軸的截面慣性矩,m4。

1.2.2幾何方程

彈性地基梁的幾何方程為[23]：

dv=tanφdx=φdx

(3)

(4)

(5)

1.2.3物理方程

彈性地基梁的物理方程為[24]：

M=EI·κ

(6)

(7)

式中：E為梁的彈性模量,GPa;G為梁的剪切模量,GPa;A為梁的截面面積,m2;μ為梁的截面剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)。

1.2.4地基模型

壓剪地基模型單位面積上地基反力的表達(dá)式為[3]：

(8)

式中：k為地基壓縮剛度,N/mm3;Gp為地基剪切剛度,MPa。

1.3 控制方程

采用分離變量法,令：

(9)

綜合基本方程(1),(2),…,(8),結(jié)合式(9),得到彈性地基梁撓度控制方程為：

(10)

進(jìn)一步,得到截面轉(zhuǎn)角及截面剪切角控制方程為：

(11)

(12)

1.4 位移及內(nèi)力

1.4.1撓度

求解控制方程(10),得到彈性地基梁撓度四階齊次微分方程通解的一般形式為：

(13)

式中：c1,c2,…,c4為位移系數(shù);r1,r2,…,r4為方程的特征根。

撓度通解(13)的向量格式為：

(14)

基函數(shù)導(dǎo)數(shù)向量表達(dá)式為：

f′v=fvZv

(15)

式中：Zv為撓度基函數(shù)向量對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣。不同工況下?lián)隙然瘮?shù)向量表達(dá)式見表1。

表1 不同工況下?lián)隙然瘮?shù)向量表達(dá)式Table 1 Deflection basis function vector expressions under different working conditions

導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣可由基函數(shù)向量求導(dǎo)得到。例如,對(duì)于工況5導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣為：

(16)

對(duì)于工況7導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣為：

(17)

1.4.2變形

1.4.3內(nèi)力

2 組合地基梁自振分析

2.1 結(jié)構(gòu)模型及邊界條件

典型的組合地基梁為由兩端搭支在彈性地基上的彈性地基梁與中間懸空的普通梁組成的三段連續(xù)梁(圖2)。結(jié)構(gòu)參數(shù)為：支承長(zhǎng)度lⅠ=lⅢ=250 mm;溝寬lⅡ=3 000 mm;地基壓縮剛度k=100 N/mm3;地基剪切剛度GP=40 MPa。組合地基梁的邊界條件見表2。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為桿件編號(hào);1,2,…,4為節(jié)點(diǎn)編號(hào)。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ are lever number,1,2,…,4 are node number.圖2 組合地基梁示意圖Fig.2 Diagram of combined foundation beam

表2 組合地基梁邊界條件Table 2 Combined foundation beam boundary conditions

2.2 組合地基梁自振方程

依據(jù)組合地基梁邊界條件,代入位移及內(nèi)力表達(dá)式建立自振方程：

Acoefc=0

(18)

式中：Acoef為系數(shù)矩陣,表達(dá)式為：

(19)

式中,c為位移系數(shù)向量,c={c1c2…c12}T。

2.3 自振周期及振型分析

Acoef中的元素均是與自振頻率ω相關(guān)的表達(dá)式。對(duì)于齊次線性方程組,振動(dòng)時(shí)有非零解,須滿足系數(shù)矩陣行列式等于0,即得到自振頻率的特征方程：

|Acoef|=0

(20)

采用數(shù)值計(jì)算方法,求解方程(20)得到組合地基梁的自振頻率。將自振頻率代入周期計(jì)算公式：

(21)

計(jì)算出組合地基梁的自振周期。將自振頻率回帶自振方程(18),求得對(duì)應(yīng)的位移系數(shù)向量。結(jié)合撓度表達(dá)式(14)得到各模態(tài)下彈性地基梁振型曲線。

3 算例與分析

3.1 組合地基梁自振特征

為研究組合地基梁的自振特征,以典型漏糞地板為分析對(duì)象,采用壓剪地基平轉(zhuǎn)動(dòng)Timoshenko梁模型對(duì)其進(jìn)行自振分析。結(jié)構(gòu)參數(shù)為：截面尺寸100 mm×100 mm、支承長(zhǎng)度lⅠ=lⅢ=250 mm、溝寬lⅡ=3 000 mm、地基壓縮剛度k=100 N/mm3、地基剪切剛度GP=40 MPa、材料的彈性模量E=32.5 GPa、剪切模量G=11.4 GPa、密度ρ=2 400 kg/m3、截面剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)μ=1.2。

采用本研究模型,計(jì)算得到組合地基梁前5個(gè)模態(tài)的振型曲線見圖3。結(jié)果表明：1)采用本研究模型可以有效得到組合地基梁的自振周期和振型曲線;2)與普通梁相比,組合地基梁的振型出現(xiàn)了非單調(diào)波形增加的現(xiàn)象。

圖3 組合地基梁前5模態(tài)的振型曲線Fig.3 The first five mode shape curves of combined foundation beams

為進(jìn)一步研究組合地基梁的自振規(guī)律,本研究選取了10個(gè)結(jié)構(gòu)模型,在總梁長(zhǎng)不變的前提下,分別改變其溝寬尺寸和地基剛度,得到了各模型下的自振周期及對(duì)應(yīng)的振型曲線。自振周期計(jì)算結(jié)果見表3。典型組合地基梁(模型4)和典型彈性地基梁(模型7)的振型曲線分別見圖4和圖5。由計(jì)算結(jié)果可以看出：組合地基梁的模態(tài)與普通等直梁的模態(tài)有明顯差別,表現(xiàn)在不僅自振頻率不同,振型分布也存在差異性。模型7為典型的彈性地基梁,前5階振型曲線呈現(xiàn)典型的單一梁自振規(guī)律,其他所有組合地基梁的振型曲線分布均和全參數(shù)典型漏糞地板模型結(jié)果一致。其原因是,中間普通梁段的剛度較小,基本周期較大,在長(zhǎng)周期狀態(tài)下,彈性地基梁段尚未發(fā)生振動(dòng),中間普通梁段帶動(dòng)了兩邊地基梁段的振動(dòng),彈性地基梁段發(fā)生了近似剛體位移。

表3 組合地基梁不同模型結(jié)構(gòu)參數(shù)及自振周期Table 3 Structural parameters and natural vibration period of different combined foundation beam models

圖4 模型4前5模態(tài)的振型曲線Fig.4 The first five mode shape curve of mode 4

圖5 模型7前5模態(tài)的振型曲線Fig.5 The first five mode shape curve of mode 7

3.2 漏糞地板自振周期

為得到典型鋼筋混凝土漏糞地板的自振周期,本研究采用不同的分析模型,計(jì)算漏糞地板的自振周期。共選取了10種工況,其中工況1為簡(jiǎn)支普通等直梁模型。漏糞地板彈性模量E=32.5 GPa;剪切模量G=11.4 GPa;密度ρ=2 400 kg/m3;截面剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)μ=1.2;溝寬lⅡ=3 000 mm;梁長(zhǎng)l=2lⅠ+lⅡ;截面高度h=100 mm;支承長(zhǎng)度lⅠ除工況4為500 mm外,其余均為250 mm;截面寬度b除工況3中bⅠ=bⅢ=125 mm外,其余均為100 mm。漏糞地板模型及結(jié)構(gòu)參數(shù)見表4,自振周期計(jì)算結(jié)果見表5。由計(jì)算結(jié)果可以看出：

表4 漏糞地板模型及結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 4 Models and structural parameters of leakage floor

表5 漏糞地板自振周期Table 5 Natural vibration period of leakage floor s

1)工況1比工況2基本周期短17.29%,這是因?yàn)榭紤]坑邊剛性點(diǎn)支承的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)忽略了地基的變形,導(dǎo)致梁支座剛度變大,自振周期減小明顯;工況3與工況2的基本周期完全一致,這是由于板帶模型寬度不改變板的振動(dòng)特性;工況4比工況2基本周期短76.83%,這是因?yàn)橹С虚L(zhǎng)度的增加導(dǎo)致了組合地基梁支承剛度增加,自振周期減小。工程中,可以通過調(diào)整支承長(zhǎng)度改變漏糞地板的自振周期,使其滿足舒適性要求。

2)工況5比工況2基本周期長(zhǎng)25.38%,隨著地基壓縮剛度的增大,漏糞地板自振周期的呈減小趨勢(shì),但減小漸緩,其原因是地基剛度的提高使得結(jié)構(gòu)整體剛度隨之增大,自振周期減小,但當(dāng)?shù)鼗鶆偠茸銐虼蠛?地基變形增加不再明顯,組合地基梁逐漸呈現(xiàn)出坑間簡(jiǎn)支梁的變形特征,因此可以通過改變地基墊層密實(shí)度來對(duì)漏糞地板進(jìn)行振動(dòng)控制;工況6和8及7和9對(duì)比發(fā)現(xiàn)Timoshenko梁模型比Euler梁模型的基本周期長(zhǎng)0.09%左右,相差不大,其原因是Timoshenko梁模型考慮了剪切變形,使得結(jié)構(gòu)剛度減小,自振周期增加,相差不大的原因是與跨度相比地板厚度較薄,剪切變形與彎曲變形相比可以忽略;工況6和7及8和9對(duì)比發(fā)現(xiàn)平轉(zhuǎn)動(dòng)模型比平動(dòng)模型的基本周期長(zhǎng)0.04%以內(nèi),相差細(xì)微,其原因是平轉(zhuǎn)動(dòng)模型考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力,增加了結(jié)構(gòu)的位移,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度減小,自振周期增加,相差細(xì)微的原因是與跨度相比地板厚度較薄,截面抗彎剛度較小,轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力與平動(dòng)慣性力相比可以忽略;工況6和10及8和2對(duì)比發(fā)現(xiàn)壓剪地基梁模型比壓縮地基梁模型的基本周期短0.7%以內(nèi),偏差較小,其原因是壓剪地基梁模型考慮了地基的剪切剛度,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體剛度增加,自振周期減小,偏差較小的原因是兩端彈性地基梁段振型呈擬剛體運(yùn)動(dòng)特征,局部位移為直線分布,二階導(dǎo)數(shù)近似為零,由于地基反力剪切項(xiàng)與豎向位移的二階導(dǎo)數(shù)成正比,該分項(xiàng)較小,剪切引起的地基反力與壓縮引起的地基反力相比可以忽略。

為反映漏糞地板自振周期和地基剛度的關(guān)系,根據(jù)表3中的計(jì)算結(jié)果,漏糞地板第1周期隨壓縮剛度的變化見圖6。

圖6 漏糞地板第1周期隨壓縮剛度變化Fig.6 The curve of first period of the leakage floor with compression stiffness

3.3 簡(jiǎn)化漏糞地板自振周期計(jì)算方法

對(duì)漏糞地板進(jìn)行自振周期分析時(shí),在保證工程精度要求的前體下,應(yīng)采用組合彈性地基梁模型,為計(jì)算簡(jiǎn)便考慮,可忽略端部縫間板條、梁的剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力和地基的剪切剛度的影響。亦即采用壓縮地基平動(dòng)Euler組合地基梁模型對(duì)漏糞地板進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于壓縮地基平動(dòng)Euler組合地基梁模型,其撓度基函數(shù)向量為：

(22)

由式(19)可得系數(shù)矩陣表達(dá)式為：

(23)

式中：ZvⅠ和ZvⅢ由式(17)得到,ZvⅡ由式(16)得到。

4 結(jié)束語

本研究綜合考慮了地基的壓縮和剪切剛度、梁的彎曲和剪切變形、運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力以及軸力的二階效應(yīng),建立了幾何非線性壓剪平轉(zhuǎn)動(dòng)Timoshenko彈性地基梁動(dòng)力模型。給出組合地基梁自振特性計(jì)算方法,并對(duì)漏糞地板的自振特性進(jìn)行了分析。研究表明,組合地基梁的自振特性與普通梁相比存在明顯差異。各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)組合地基梁的自振周期存在不同程度的影響：端部縫間板條無影響;支承長(zhǎng)度及地基剛度影響明顯,不可忽略;剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力和地基的剪切剛度的影響較小,可以忽略不計(jì)。本研究建立的模型可對(duì)漏糞地板自振周期進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。