前有“蘊(yùn)蓄” 后有“突破”
——單元整體視角下《平行與垂直》教學(xué)與思考

文|徐曉良 黃陳辰

一、剖析：直面現(xiàn)狀，尋圖形教學(xué)的癥結(jié)點(diǎn)

在日常教學(xué)中，雖然學(xué)生掌握了相關(guān)的概念，但是并不能應(yīng)用概念來識(shí)別圖形，對(duì)圖形本質(zhì)特征以及圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系的理解還不到位。以2019年嘉興市五年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)卷中的一道題為例：下圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是5 厘米和4 厘米，圖中的四邊形ABCD 是（ ）形。全市學(xué)生的正確率僅為38.9%。

進(jìn)一步對(duì)城區(qū)學(xué)校五年級(jí)某班進(jìn)行第二次測(cè)試，改編問題為填空加論述：有一大一小兩個(gè)正方形，圖中的四邊形ABCD 是（ ）形，你的判斷依據(jù)是什么？學(xué)生填空的正確率為36.6%。進(jìn)一步訪談發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤的原因是：第一感覺看著不像梯形，63.4%的學(xué)生覺得看著是平行四邊形。

可見，學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了單元內(nèi)容后仍依賴于“直觀感知”區(qū)分圖形，沒有從概念本質(zhì)出發(fā)。而在日常學(xué)習(xí)中，標(biāo)準(zhǔn)圖形刺激遠(yuǎn)大于變式圖形刺激，學(xué)生憑表象感知來識(shí)別圖形，在變式圖形的計(jì)數(shù)與判斷上容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生。

二、調(diào)查：學(xué)情分析，探知識(shí)生長(zhǎng)的初始點(diǎn)

基于生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)生活中的平行與垂直現(xiàn)象有一定的感知。為深入了解學(xué)生關(guān)于兩條直線的位置關(guān)系以及本單元最難掌握的梯形的已有認(rèn)識(shí)，隨機(jī)抽取了本校40 名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)（如表1）。

表1 《平行與垂直》教學(xué)前測(cè)

根據(jù)前測(cè)結(jié)果，結(jié)合對(duì)學(xué)生的訪談可知，對(duì)于第1 題，僅有兩名學(xué)生正確作答；對(duì)于第2 題，學(xué)生對(duì)平行有直觀感知，但對(duì)何為“垂直”基本沒有概念；對(duì)于第3題，大多數(shù)學(xué)生對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)式的，或者旋轉(zhuǎn)后位置發(fā)生改變的梯形判斷有難度，學(xué)生基本是憑直覺大致看一眼判斷，誤認(rèn)為①②④不是梯形。

可見，學(xué)生對(duì)于有一定生活經(jīng)驗(yàn)的“平行”能正確識(shí)別，而對(duì)于抽象性較強(qiáng)的“垂直”，以及與生活經(jīng)驗(yàn)匹配度不高的特殊四邊形，會(huì)因?yàn)樗季S固化，或者缺乏同化經(jīng)驗(yàn)而不能靈活遷移。因此在建構(gòu)概念時(shí)要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力和思維水平從低起點(diǎn)出發(fā)。

三、解讀：前延后伸，定單元學(xué)習(xí)的核心點(diǎn)

作為從一維的線向二維的面過渡的兩個(gè)重要概念，“平行與垂直”以線段、射線、直線和角的學(xué)習(xí)為認(rèn)知基礎(chǔ)，也是后續(xù)平行四邊形、梯形、三角形的概念及面積計(jì)算，長(zhǎng)方體、正方體知識(shí)學(xué)習(xí)的重要根基?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)此要求能辨認(rèn)同一平面內(nèi)兩條直線是否平行或垂直。對(duì)比人教版、蘇教版、浙教版、北師大版教材（如表2），可以發(fā)現(xiàn)各版本教學(xué)中都以問題為先導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生開展探索交流。雖然各版本呈現(xiàn)方式有所不同，對(duì)兩個(gè)核心概念的認(rèn)識(shí)順序各異，但都重視學(xué)習(xí)素材的直觀呈現(xiàn)，借助動(dòng)態(tài)演示或具體操作，幫助學(xué)生內(nèi)化概念本質(zhì)。

表2 各版本《平行與垂直》教學(xué)內(nèi)容對(duì)比

聚焦本單元重點(diǎn)內(nèi)容平行四邊形和梯形，作為二維圖形的再認(rèn)識(shí)內(nèi)容，要求進(jìn)一步從圖形的要素、名稱及關(guān)系來描述其特征，既是從邊和角的要素進(jìn)行圖形認(rèn)知，也是從高和底的角度對(duì)“面”感知。如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行四邊形和梯形形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，并能運(yùn)用猜想驗(yàn)證、類比遷移、特征分類等加深對(duì)圖形本質(zhì)特征和圖形之間關(guān)系的深度理解，實(shí)現(xiàn)從直觀感受圖形特征到探索圖形本質(zhì)屬性的成長(zhǎng)與跨越，是我們本單元教學(xué)中的核心點(diǎn)和思考點(diǎn)。

四、統(tǒng)整：蘊(yùn)蓄突破，架“表象———本質(zhì)”的著力點(diǎn)

基于以上分析與思考，嘗試將“認(rèn)識(shí)平行和垂直”和“認(rèn)識(shí)梯形”進(jìn)行重組，將本單元最難認(rèn)識(shí)的梯形在“平行和垂直”的教學(xué)中進(jìn)行滲透，將四邊形教學(xué)貫穿單元教學(xué)的始終。第一課時(shí)從探究圖形出發(fā)，到特殊圖形中尋找平行、相交、垂直不同的位置關(guān)系，再回到對(duì)圖形的再認(rèn)識(shí)，通過系列化的學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形與要素、圖形與概念之間的關(guān)系，明確數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)方式，促進(jìn)學(xué)科關(guān)鍵能力的提升。

（一）圖形解構(gòu)，直觀化中理解概念

從直角梯形引入，依托直觀化的素材，通過“梯形解構(gòu)——共性尋找——趣味命名——深入辨析”四個(gè)環(huán)節(jié)，凸顯核心概念。在這一環(huán)節(jié)中學(xué)生在理解平行和垂直概念的同時(shí)，對(duì)梯形的特征有了第一次初步的感知。從梯形分解引入，為后面進(jìn)一步“還原”梯形研究其本質(zhì)特征做鋪墊。

首先，將梯形進(jìn)行解構(gòu)，分解出兩組對(duì)邊、四組鄰邊。將每一組鄰邊所在的直線向兩端無限延長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)生先想象延長(zhǎng)后形成的圖形，再PPT 演示驗(yàn)證直線延長(zhǎng)過程，以此提升學(xué)生的空間想象能力。

結(jié)合延長(zhǎng)后所形成的圖形，引導(dǎo)學(xué)生從四組相交的情況中找共同點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生多樣化的回答，如從“角”（有的圖形形成了兩個(gè)銳角和兩個(gè)鈍角，有的圖形形成了四個(gè)直角；這些圖形的對(duì)角都相等），從這些圖形都有一個(gè)交叉點(diǎn)（即兩條直線的交點(diǎn)）等多角度的思考中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

以“趣味命名”方式凸顯核心概念。先讓學(xué)生童趣化“命名”，然后揭示數(shù)學(xué)家的定義，形成“相交、交點(diǎn)、垂直”等概念，進(jìn)一步獲得鄰邊所在的直線都相交的結(jié)論。特別地，對(duì)于“垂直”這個(gè)新名詞，抓住“兩條直線相交成直角”的本質(zhì)特征，經(jīng)歷垂直的驗(yàn)證過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

借鑒學(xué)習(xí)鄰邊的經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)拋出問題“對(duì)邊中是否也有這樣的相交現(xiàn)象”，借助《學(xué)習(xí)單》探究對(duì)邊所在直線的兩種不同情況，經(jīng)歷自主思考、作品交流、深入辨析的過程，通過延長(zhǎng)的方法得到左、右對(duì)邊所在的直線都相交的結(jié)論，完善學(xué)生對(duì)相交的認(rèn)知。針對(duì)上、下底所在直線的這一組對(duì)邊，讓學(xué)生解釋一定不相交的理由，發(fā)現(xiàn)“永不相交———平行”的現(xiàn)象，也讓學(xué)生對(duì)平行線間的距離處處相等有一定的感知。

（二）聯(lián)結(jié)重組，結(jié)構(gòu)化中突出本質(zhì)

在學(xué)生知曉了平行和垂直的概念之后，讓學(xué)生在生活中尋找舉例，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。對(duì)于“互相平行、互相垂直、垂足”等概念的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生以自學(xué)釋疑的方式，在自學(xué)課本內(nèi)容圈一圈、畫一畫的基礎(chǔ)上，說一說學(xué)到了什么，再聚焦核心問題解析重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，讓新知的習(xí)得順理成章。

練習(xí)的設(shè)計(jì)從線到面，層層遞進(jìn)。練習(xí)一是對(duì)平行與垂直的鞏固，涵蓋了延長(zhǎng)后是否屬于平行或垂直的情況，也涉及兩條曲線的情況。針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)的④號(hào)圖形，讓學(xué)生展開辨析，抓住垂直本質(zhì)特征進(jìn)行判斷。

練習(xí)二是對(duì)梯形特征的梳理，尤其是非標(biāo)準(zhǔn)式的梯形和旋轉(zhuǎn)后位置發(fā)生改變的梯形的抽象，突出梯形“只有一組對(duì)邊平行的四邊形”這一本質(zhì)屬性。學(xué)生認(rèn)識(shí)了梯形的各種表現(xiàn)形式，留在腦中的梯形表象將更加鮮明，對(duì)梯形特征的理解也更加深刻。

練習(xí)的設(shè)計(jì)不僅指向?qū)W生深度理解平行和垂直的概念，還進(jìn)一步運(yùn)用概念抽象感悟梯形本質(zhì)特征。這樣的結(jié)構(gòu)打破了原來先認(rèn)識(shí)平行和垂直，再研究平行四邊形和梯形的教學(xué)方式。在研究圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)一組對(duì)邊平行，一組不平行的四邊形是梯形，將表象感知與本質(zhì)特征結(jié)合起來，使學(xué)生對(duì)圖形的識(shí)別不僅僅依賴于表象，更能從圖形本質(zhì)特征進(jìn)行理性判斷，實(shí)現(xiàn)從圖形本質(zhì)意義上對(duì)梯形特征的第二次認(rèn)識(shí)。

（三）多維建構(gòu)，模塊化中貫通關(guān)聯(lián)

延伸第一課時(shí)重組教學(xué)路徑，從單元視角出發(fā)，站在結(jié)構(gòu)化整合視角，關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián)度，以板塊化的形式進(jìn)行重組，形成更具有結(jié)構(gòu)化、模塊化的“邊”“角”“高”“解決問題”“圖形變換”五大系列，讓知識(shí)的發(fā)生發(fā)展更貼近學(xué)情，有助于核心知識(shí)點(diǎn)的提煉與研究，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。（如表3）

表3 《平行四邊形和梯形》單元整合

其中，第二課時(shí)以“角”為切入點(diǎn)，猜想并驗(yàn)證平行四邊形與梯形的特征，對(duì)梯形進(jìn)行分類，完善對(duì)四邊形的認(rèn)知。第三課時(shí)以“高”為主線，基于畫垂線與在平行四邊形和梯形中畫高在本質(zhì)上的共通性，從畫垂線出發(fā)，將垂線段放置于圖形中，溝通高的定義，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)融會(huì)貫通。第四課時(shí)從解決問題的角度出發(fā)，基于對(duì)畫垂線的掌握，用畫垂線的方式建構(gòu)畫長(zhǎng)方形的過程，將垂線段的性質(zhì)應(yīng)用于解決生活中的實(shí)際問題。第五課時(shí)以趣味化的內(nèi)容，在圖形變換中尋找平行四邊形與梯形間的聯(lián)系與區(qū)別，在變換中體會(huì)四邊形容易變形的特征，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更具體驗(yàn)感與挑戰(zhàn)性。

在后續(xù)深入學(xué)習(xí)平行四邊形后，再結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，借助圖形轉(zhuǎn)換，類比分析，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)梯形的特征并實(shí)現(xiàn)對(duì)它們的分類，通過研究圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，關(guān)注圖形與圖形之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，多維度構(gòu)建對(duì)梯形的全方位認(rèn)識(shí)，完成對(duì)梯形特征的真正理解與應(yīng)用，在三次認(rèn)知中實(shí)現(xiàn)學(xué)生幾何思維能力的真正提升。