動手實踐，從感知到描述圖形運動
——以《軸對稱（2）》為例

文|楊 匯 章勤瓊 滕艷艷

【教學(xué)過程】

一、翻折圖形，喚醒認知

師：長方形的對稱軸在哪里呢？

生：長方形有橫著、豎著、對角線上的4 條對稱軸。

（請學(xué)生來折一折）

師：（追問）碰到什么困難了？

生：我發(fā)現(xiàn)長方形斜著的怎么折都不能重疊在一起。

生：長方形只有2 條對稱軸。

【設(shè)計意圖：通過折一折，經(jīng)歷找對稱軸的過程，激活學(xué)生對軸對稱圖形的認識，引導(dǎo)學(xué)生用語言描述出“完全重合”，理解軸對稱的本質(zhì)內(nèi)涵?！?/p>

二、認識對稱點及其性質(zhì)

1.從不對稱變?yōu)閷ΨQ

師：請你判斷一下這棵小樹是不是軸對稱圖形？（出示圖2）

圖2

生：我認為是軸對稱圖形。

生：我認為不是軸對稱圖形，右邊樹枝感覺沒有和左邊在一條線上。

生：如果有一把尺子就好了。

師：（出示方格紙）現(xiàn)在呢，你有什么想說的？

生：這個圖形不是軸對稱圖形。

師：你能把它變成軸對稱圖形嗎？

生：可以把點拉過來一點。

師：是這樣嗎？（出示圖3）

圖3

師：（出示圖4）為什么他想把這個點拉到這里呢？

圖4

生：這樣它們對折以后就能完全重合。

師：我們對折一下看看。

師：請你們再觀察這兩個對稱點，它有什么特點？

生：左邊這個點到左邊的樹干是兩格，右邊的點到右邊的樹干也是兩格。

生：左、右兩邊到對稱軸的距離都是3 格。

生：這兩個點到對稱軸的距離相等。

【設(shè)計意圖：方格紙可以確定大小關(guān)系跟位置關(guān)系，能讓學(xué)生通過要素及其關(guān)系認知、描述圖形。判斷小樹是否是軸對稱圖形還需要對折，這是學(xué)生已有的經(jīng)驗。從課件的翻轉(zhuǎn)到觀察對稱點的特點，自然而然關(guān)注到點，發(fā)現(xiàn)點之間的關(guān)系。】

2.畫對稱點，發(fā)現(xiàn)對稱點之間的關(guān)系

（1）出示題目。

圖5

（2）交流匯報。

①容易達成共識的關(guān)鍵點。

圖6

生：我們先在一邊找對稱點，比如點B 距離對稱軸2 格，在同一條線上再數(shù)2 格就是它的對稱點，后面的以此類推。

②有爭議的對稱點。

圖7

師：有沒有不屬于軸對稱的點？如果有，你是如何判斷的？如果沒有，你又是如何判斷的？

生：它們都不在凹進去、凸出來的地方，怎么會是對稱點呢？

生：我們可以折一下。

師：現(xiàn)在不能對折了，你還能說明為什么是對稱點嗎？

生：點F 到對稱軸的距離是1格，點F′到對稱軸的距離也是1格，它們到對稱軸的距離相等，所以它們是一組對稱點。其他的點也是這樣的。

生：我明白他的意思了，這個軸對稱圖形上有無數(shù)個點，都能找到它的對稱點，每一組對稱點到對稱軸的距離都相等。

小結(jié)：一開始你們關(guān)注到了面的重疊，現(xiàn)在你們發(fā)現(xiàn)了點之間的關(guān)系，真是觀察得越來越細致了。

【設(shè)計意圖：在這一環(huán)節(jié)，知道對稱點到對稱軸的距離相等，是必要的。只有這樣，下一個環(huán)節(jié)學(xué)生才有可能去調(diào)用這個知識，有的學(xué)生會仍然停留在憑感覺描繪另一半，但有的學(xué)生會嘗試用點來畫軸對稱圖形?！?/p>

三、利用性質(zhì)畫軸對稱圖形

1.出示題目

圖8

2.匯報展示

（1）照樣子畫。

圖9

生：我是按照左邊這一半畫出來的。我先畫到這里，之后發(fā)現(xiàn)位置不太一樣，就改過來畫到這里。

（2）找點、連線。

師：再來看這位小朋友，（出示圖10）他是先找出幾個對稱點？這些點是如何找出來的？

圖1

圖10

生：它先找到左邊凹進去、凸起來的這4 個點，然后根據(jù)對稱點到對稱軸的距離相等再畫出它們的對稱點，最后把這些點連起來。

師：為什么把這些點連起來，它就是軸對稱圖形了呢？不用像第一位同學(xué)那樣找線？

生：找到對稱點后，再依次把這些點連起來，兩邊就是完全重合的了。

【設(shè)計意圖：這一活動學(xué)生都會畫，但僅僅畫對是不夠的，我們需要讓學(xué)生明確知道自己是怎么畫的，其他同學(xué)是怎么畫的，這些方法有什么不同。要從整體的畫軸對稱的過程中，找到真正的提高點，“一找、二定、三連”這樣的方法更準確，形成畫圖的方法。方法的形成不應(yīng)該是教師強加給學(xué)生的，是在圖形認知水平提升的過程中自然形成的?！?/p>

四、利用性質(zhì)判斷軸對稱圖形

1.獨立畫

用最少的步驟畫出這個軸對稱圖形的另一半。

圖11

2.判斷

師：到底哪幅是正確的呢？（出示學(xué)生作品圖12）

圖12

師：認為左邊是對的請舉手，為什么它是對的？

生：對稱點到對稱軸的距離是2 格，所以它的對稱點應(yīng)該在這里。

師：覺得右邊是對的請舉手，你是怎么想的？

生：這個點的對稱點應(yīng)該在這里，不能是斜著的。

師：都在同一條線上，它們的差別到底是什么？

生：左邊對稱點的連線是豎直的，右邊對稱點的連線是斜的。

師：豎直的，你覺得它和對稱軸之間又有什么樣的特點？

生：垂直。

生：對稱點的連線和對稱軸要互相垂直。

【設(shè)計意圖：幾何認知水平需要通過學(xué)習(xí)才能提升，但學(xué)習(xí)活動不可能使學(xué)生的幾何認知水平呈現(xiàn)跳躍式發(fā)展，認知水平是在活動中不斷逐層提升的。在此之前，學(xué)生對“對稱點的連線和對稱軸互相垂直”的特征只有模糊的感受。本活動，先問認為右邊作品是對的學(xué)生是怎么想的，暴露問題，再通過對兩幅作品的辨析，更好聚焦“對稱點的連線和對稱軸互相垂直”，在不斷的疊加中，達成知識點的學(xué)習(xí)?！?/p>

【教學(xué)反思】

《圖形的運動（2）》的教學(xué)并不容易，難點就在于既要保持學(xué)生對圖形運動美感的感受，又要在美的基礎(chǔ)之上，用分析的眼光去描述圖形的運動。有很多教師在教學(xué)中會非常關(guān)注圖形運動中的幾要素，容易走向一個極端，就會把這些課的教學(xué)變得支離破碎，缺失美感。在教學(xué)中，需要從整體幫助學(xué)生提升幾何思維水平，認識數(shù)學(xué)要素（如對稱點、對稱軸）以及要素之間的關(guān)系，對此我們有如下幾點思考：

1.注重銜接，從直觀水平到描述水平

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》的要求，《圖形的運動（1）》應(yīng)側(cè)重對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的整體認知，注重感知經(jīng)驗的積累，形成空間觀念，能夠用數(shù)學(xué)語言來表達生活現(xiàn)象。《圖形的運動（2）》要求在數(shù)學(xué)表達的基礎(chǔ)上，能更加精準地用上數(shù)學(xué)關(guān)系，注重本質(zhì)特征的感悟，需要觀察、操作、想象等活動，體會平移、軸對稱的性質(zhì)與特征，最后實現(xiàn)能在方格紙的幫助下定量刻畫平移后的圖形，補全軸對稱圖形，發(fā)展空間觀念。

比如，在《軸對稱（2）》的教學(xué)中，我們要在學(xué)生已有的經(jīng)驗之上，逐漸提升他們的認知水平。從剛開始的時候?qū)W生認為，要判斷是不是軸對稱，必須通過對折，到后面開始去關(guān)注幾何要素，發(fā)現(xiàn)要素之間的關(guān)系，例如對稱點到對稱軸的距離相等。然后再通過畫圖，從整體描繪出軸對稱圖形的另一半，再到發(fā)現(xiàn)找點、再連線會更加準確。在任務(wù)推進的過程中，慢慢地清晰對稱點的連線和對稱軸互相垂直。知識點的落實、畫圖方法的形成，是融于任務(wù)之中的，是在認知水平不斷提高的過程中滲透下去的。

2.動手實踐，在畫圖中提升認知水平

幾何認知水平的提升具有遞進性，不可能從直觀水平直接跨越到描述水平。只有按照學(xué)生的認知水平規(guī)律設(shè)計實施課堂教學(xué)過程，才能更好地實現(xiàn)相鄰水平的過渡?！秷D形的運動（2）》一般會有兩種畫法，大多數(shù)學(xué)生會按照已知的圖形，照樣子畫出圖形；少部分學(xué)生會在認識了幾何要素后，根據(jù)特征找到對應(yīng)點并畫出圖形。為更好地提升學(xué)生的認知水平，在《軸對稱（2）》的畫圖中要把握以下三個層次的方法：

（1）根據(jù)已知圖形的一半，描出軸對稱圖形另一半的形狀。

（2）根據(jù)對稱點到對稱軸距離相等，確定軸對稱圖形另一半的點或邊的位置，并畫出軸對稱圖形的另一半。

（3）根據(jù)軸對稱圖形的一半與對稱軸之間的位置關(guān)系，確定軸對稱圖形另一半對稱點的位置，并畫出軸對稱圖形的另一半。

然而學(xué)生畫圖方法的提高，是基于認知水平的提升，是理解軸對稱圖形特征的具體體現(xiàn)。因此，教師設(shè)計了“找出軸對稱圖形的對稱軸———認識對稱點及其性質(zhì)——補全對稱軸是豎直的軸對稱圖形——補全對稱軸是水平的軸對稱圖形”這四個環(huán)節(jié)的活動，從圖形的整體認識入手，明確幾何要素，分析幾何要素之間的關(guān)系，形成對軸對稱圖形更深刻的認知。