尺規(guī)作圖：以數(shù)學(xué)的方式建立命題
———《三角形的三邊關(guān)系》教學(xué)實踐與思考

文|王平 鄭文倩

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第77、78 頁。

【教前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）在“三角形的三邊關(guān)系”的學(xué)習(xí)內(nèi)容中增加了尺規(guī)作圖和運用幾何基本事實“兩點之間線段最短”進(jìn)行推理的教學(xué)提示。尺規(guī)作圖是直觀幾何向歐幾里得幾何過渡的重要橋梁，是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、增強幾何直觀和形成推理意識的重要載體。從第二學(xué)段起，2022年版課標(biāo)對尺規(guī)作圖的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示都有明晰的表述。教學(xué)中，一方面要啟發(fā)學(xué)生在操作過程中思考三角形三條邊的長度之間的關(guān)系，感悟命題“任意兩邊之和大于第三邊”的意義，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生用“兩點之間線段最短”這個基本事實說明數(shù)學(xué)命題的正確性，形成推理意識。

【教學(xué)過程】

一、圍繞圖形要素，提出研究問題

師：通過昨天的學(xué)習(xí)，我們一起認(rèn)識了三角形。我們都是從哪些方面認(rèn)識三角形的，你對它們有了哪些認(rèn)識？

生：我們是從頂點、邊和角認(rèn)識三角形的，知道了它們的數(shù)量，還有三個頂點的位置關(guān)系，不在一條直線上。

生：我還會畫三角形。

師：能把三角形的特征整理一下嗎？

課件出示表格：

圖形要素 數(shù)量關(guān)系頂點3 個 3 個頂點不在一條直線上邊3 條？角3 個？

師：觀察他的整理成果，還有什么需要研究的問題嗎？

生：三角形三個頂點有這樣的關(guān)系，它的三條邊和三個角有什么關(guān)系呢？

師：對呀，三角形的三條邊是不是也存在著某種關(guān)系呢？具體說，是不是任意三條線段都能圍成三角形？如果不是，有什么要求嗎？（板書：三角形的三邊關(guān)系）

【思考：三角形的學(xué)習(xí)貫穿于整個義務(wù)教育階段的每個學(xué)段中，對它的要素研究是圖形特征認(rèn)識的起始。課始，教師通過提出回顧問題和整理要求將三邊關(guān)系的研究置于三角形特征研究的完整背景里，幫助學(xué)生從頂點、邊、角的維度進(jìn)一步認(rèn)識三角形，從而形成結(jié)構(gòu)良好、角度清晰的認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他幾何圖形提供研究方法和路徑?！?/p>

二、借助尺規(guī)作圖，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律

1.獨立嘗試，聚焦方法

課件出示：

師：選擇一種，想辦法圍一圍，再與同學(xué)交流。

師：我們從選擇8cm、5cm、4cm 的先來交流，你們都是怎樣圍的，結(jié)果怎么樣？

生：我選擇用吸管搭一搭，結(jié)果圍成了三角形。

生：我覺得吸管有點粗，可能不準(zhǔn)確。我是在紙上畫的線段。畫成了三角形，畫了好多次。（展示學(xué)生作品，如圖1）

圖1

師：的確畫了很多次，其他同學(xué)也是這樣嗎？遇到了什么困難？

生：我先畫8cm 的線段，第二條畫5cm 的線段，然后去量最后這條線段兩點之間的距離，有的時候長，有的時候短……

2.教師示范，討論原理

師：看來用規(guī)定的三條線段畫一個三角形并不簡單，有沒有好辦法呢？

（學(xué)生沉思）

師：我像剛才幾位同學(xué)一樣，先畫了一條8cm 的線段，并把線段的端點記為A 和B。（示范畫圖）

師：現(xiàn)在要找到一個點，它到A的距離是5cm，這樣的點有很多，用什么工具可以幫助你找到？

生：圓規(guī)。

（教師演示，以A 為圓心，畫半徑是5cm 的?。?/p>

師：那能找到很多點到B 點的距離是4cm 嗎？（教師演示）有沒有哪個點可以同時滿足兩個要求？

生：第一條弧上所有的點到A 的距離都是5cm，這條弧上所有的點到B 的距離都是4cm。它們相交的點到A 的距離等于5cm，到B 的距離等于4cm。

生：對啊，只要連接起來就成了一個邊長是8cm、5cm、4cm 的三角形。（如圖2）

圖2

師：現(xiàn)在你能說一說像這樣用直尺和圓規(guī)畫圖好在哪里嗎？

生：它先畫出符合兩個條件的很多點，相交的點就同時滿足兩個條件。這樣畫圖更加準(zhǔn)確。

3.尺規(guī)作圖，完善研究

師：比一比，你更喜歡哪種研究方法？把自己的研究完善一下。

師：哪位同學(xué)來匯報一下自己的畫圖過程和結(jié)果？

（呈現(xiàn)學(xué)生的畫圖成果，如圖3，并在表格里板書數(shù)據(jù)和結(jié)果）

圖3

選法線段長/cm 線段長/cm 線段長/cm 能否圍成①854√②852×③842×④542√

4.分析圖形，探究規(guī)律

師：觀察我們用直尺和圓規(guī)畫出的圖，①和④可以圍成三角形，②和③不能圍成，這是為什么？

生：從圖上看，②和③畫出的兩條弧都沒有交點，所以找不到滿足兩個條件的點，也就是找不到三角形的第三個頂點。

生：沒有交點是因為兩條線段太短了，不能首尾相接。比如②，5+2<8，兩個長度還不滿8cm，所以不能相交。

師：那么，反過來看，①和④可以圍成三角形，它們?nèi)我鈨蓷l線段長度的和與第三條線段的長度有什么關(guān)系？每次任意選擇兩條邊算出長度的和，再與第三條邊的長度比較，看看結(jié)果怎樣。

（學(xué)生獨立計算、比較）

師：你在每個三角形中是怎樣算、怎樣比的？

（板書算式和比較的結(jié)果）

師：從上面的比較中，你認(rèn)為圍成三角形的三條線段的長度間有什么關(guān)系？

生：任意兩邊的長度之和都比第三條邊大。

師：如果三條線段的長度分別是8cm、5cm、3cm，能圍成三角形嗎？為什么？

生：我們想象一下，當(dāng)兩條線段長度的和等于第三條時，兩條線段連接起來就和第三條線段重合，也不能圍成三角形。

生：我畫了圖，是這樣的（如圖4），它們雖然相交了，但交點在原來的線段上，這樣三個頂點就在同一條直線上了，所以不能圍成。

圖4

師：現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)任意三條線段一定能圍成三角形嗎？那三角形的三邊長度間的關(guān)系有什么特點？

生：三條線段的長度是有關(guān)系的，不是任意三條線段都能圍成三角形。短的兩條邊要能在長的邊外面搭起來，有交點。

生：隨便哪兩條邊加起來都比剩下的邊長。

生：也就是三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

師：我們從不能圍成三角形的線段長度與能圍成三角形的線段長度的研究中發(fā)現(xiàn)，三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

【思考：尺規(guī)作圖引入前，教學(xué)中常用的方法是給學(xué)生提供吸管、小棒等有結(jié)構(gòu)的材料進(jìn)行實驗，圍出成果后再進(jìn)行數(shù)據(jù)上的找規(guī)律，這樣做也可以初步建立命題。由于實驗材料的粗細(xì)等造成了較大的誤差，課堂中教師通過想象盡量回避相差較小的數(shù)據(jù)，這給學(xué)生留下了疑問。借助尺規(guī)作圖，教師可以將所有情況都畫出來，在畫的過程中學(xué)生就已經(jīng)明白能否圍成背后的原因，之后的數(shù)據(jù)分析就變成了對發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)表征，命題的建立過程更加直觀確定?！?/p>

三、運用基本事實，形成數(shù)學(xué)命題

1.再認(rèn)事實，建立聯(lián)系

師：剛才的研究發(fā)現(xiàn)在生活中有哪些運用呢？這樣的問題你們遇到過嗎？（課件出示圖5）

圖5

生：從學(xué)校到少年宮有三條路線，中間的一條最近。

師：這是為什么呢？

生：我是把學(xué)校、電影院和少年宮看成三角形的三個頂點，根據(jù)今天我們研究得出的結(jié)論，三角形任意兩邊之和都大于第三條邊，所以從學(xué)校到電影院再到少年宮一定比中間一條路線長。

生：同樣的，從學(xué)校經(jīng)郵局到少年宮也比中間一條長，所以從學(xué)校直接到少年宮的路線最短。

生：其實不用這樣比，學(xué)校和少年宮是兩個點，我們知道兩點之間線段最短，所以中間路線比剩下的兩條都短。

2.嘗試推理，形成命題

師：剛才同學(xué)們用“兩點之間線段最短”和“三角形任意兩邊之和都大于第三條邊”說明了自己的想法，它們之間有聯(lián)系嗎？

生：根據(jù)“兩點之間線段最短”，我們也可以得到“三角形任意兩邊之和都大于第三條邊”。

生：（如圖6）三角形中，邊a是頂點A、B 之間的線段，而邊b和c 是折線，所以它們肯定比a邊要長一點。

圖6

生：同樣的，邊a 和b 的和一定比c 大，邊a 和c 的和一定比b 大。

生：簡單地說就是兩點之間線段最短。

師：基于這個基本事實我們就可以推理了，你能不能用一個算式來表示兩邊之和大于第三邊的結(jié)論？

生：AB 兩點之間b+c>a；BC兩點之間a+c>b；CA 兩點之間a+b>c。

師：前面我們用直尺和圓規(guī)畫圖發(fā)現(xiàn)和驗證，再經(jīng)過用數(shù)學(xué)事實推理，反復(fù)驗證它是一個正確的結(jié)論。今天這個反復(fù)被我們使用的結(jié)論叫什么？

生：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

【思考：三角形的三邊關(guān)系的教學(xué)很多時候都僅限于根據(jù)學(xué)生的操作或數(shù)學(xué)實驗的發(fā)現(xiàn)，對于數(shù)學(xué)命題的建立多是來自于不完全歸納，缺少數(shù)學(xué)推理的支撐，學(xué)生常常存疑。在學(xué)生的問題經(jīng)過操作驗證后，設(shè)計借助“兩點之間線段最短”的數(shù)學(xué)事實，推理形成數(shù)學(xué)命題的活動，一方面有利于前后知識的融會貫通，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識是聯(lián)系的，是可以生長的；另一方面有利于發(fā)展學(xué)生的推理意識，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)不只是來自于“看得見”的感性操作，更來自于“說得通”的理性推理?！?/p>

四、理解數(shù)學(xué)命題，拓寬生活應(yīng)用

●水平一：解釋——哪些線段可以圍成三角形，為什么？（課件出示圖7）

圖7

師：你們是怎么想的？

生：只要最短的兩條邊的和與第三邊進(jìn)行比較就可以了。

師：第三組為什么不能圍成三角形？

生：因為2+9＜15，所以圍不成。

●水平二：闡明——還能畫出哪些三角形？

師：圍成的兩個三角形之間有什么聯(lián)系嗎？

生：最長邊都是10cm，另外兩條邊之和都是14cm。

師：像這樣一條邊是10cm，另外兩條邊的和是14cm 的三角形還有嗎？

生：另外兩條邊可以是1cm和13cm，2cm 和12cm，3cm 和11cm，4cm 和10cm，5cm 和9cm。

生：不對，1cm 和13cm、2cm和12cm 不可以，因為1+10＜13，2+10=12，不符合任意兩邊之和大于第三邊。

師：假設(shè)三角形的邊長都是整厘米數(shù)，最短的邊可以是幾厘米？

生：最短的邊是3 厘米。

●水平三：應(yīng)用——還會形成什么圖形？

師：如果邊長不是整厘米數(shù)，三角形最短的邊又可以是幾厘米？

生：可能是2.1cm，還可能是2.01cm，只要比2cm 大都可以。

（教師使用幾何畫板，適時畫出一條邊是10cm，另外兩條邊的和是14cm 的三角形，如圖8）

圖8

師：想象一下，像這樣畫下去能畫出多少個三角形？

生：無數(shù)個。

師：再想象，把這些三角形的第三個頂點連起來，會是一個什么樣的圖形呢？（如圖9）

圖9

師：三角形的三邊關(guān)系與數(shù)學(xué)中的某些圖形也是有聯(lián)系的。

【思考：霍華德·加德納認(rèn)為，一個人能夠?qū)⒏拍?、原理和技能?yīng)用于解決新的問題和情境中，說明他充分掌握了這些內(nèi)容。根據(jù)“理解六側(cè)面”設(shè)計了三個水平的應(yīng)用活動，分別檢測“解釋”“闡明”和“應(yīng)用”水平，促進(jìn)學(xué)生的理解進(jìn)階。過程中，學(xué)生通過對尺規(guī)作圖原理的掌握，發(fā)現(xiàn)根據(jù)今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，運用作圖技能還可以創(chuàng)造出新的曲邊圖形。】

五、回顧探究過程，完善知識結(jié)構(gòu)

師：回顧一下，我們是怎樣研究三角形的三邊關(guān)系的？你有哪些收獲？

生：我學(xué)到了三角形任意兩邊之和必須大于第三邊。

生：我們首先進(jìn)行了猜想，三條邊是不是像頂點那樣有一定的關(guān)系，接著實驗驗證，再分析數(shù)據(jù)，最后根據(jù)以往學(xué)過的兩點之間線段最短進(jìn)行推理。

生：我還知道可以用直尺和圓規(guī)畫三角形。

生：我對三角形的認(rèn)識更完整了，我猜下面還會研究三角形三個角的關(guān)系。

【思考：三角形的認(rèn)識是學(xué)生圖形認(rèn)識第一次由直觀認(rèn)識轉(zhuǎn)入特征認(rèn)識。本課結(jié)尾再次回歸三角形認(rèn)識的完整背景中，將對“邊”的研究融入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過對過程和收獲的回顧促使學(xué)生掌握知識的同時獲得研究的維度和方法，為后續(xù)研究“角”以及其他圖形提供可遷移的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)?！?/p>