結(jié)構(gòu)化材料，讓單元整體教學(xué)更具生命力
——以計數(shù)器在《除數(shù)是一位數(shù)的除法》教學(xué)中的應(yīng)用為例

文|丁 偉

教學(xué)材料是學(xué)生學(xué)習(xí)思辨的對象，也是引發(fā)思辨的根本。材料的選取需要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點和學(xué)生思維水平，助推學(xué)生思維走向深刻，引發(fā)高質(zhì)量的學(xué)習(xí)。

人教版三年級下冊第二單元《除數(shù)是一位數(shù)的除法》是小學(xué)筆算除法的關(guān)鍵期和轉(zhuǎn)折期，前聯(lián)二年級下冊《有余數(shù)除法》（一層豎式），后延四年級下冊《除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法》（多層豎式），教學(xué)意義非常重要。

一、解讀現(xiàn)有材料對教學(xué)的影響

教材在“被除數(shù)是兩位數(shù)的除法”中呈現(xiàn)了小棒圖幫助學(xué)生理解算理，通過細化分小棒的步驟——先分“4 個十，再分2 個一”，凸顯了小棒圖對豎式過程中算理理解的重要性。而在“被除數(shù)是三位數(shù)的除法”中，教材只提供情境，不再呈現(xiàn)算理信息，沒有其他學(xué)習(xí)材料幫助體驗對算理的過程理解。沒有具體材料的支撐，則缺乏直觀的過程性體驗與理解，讓學(xué)習(xí)顯得抽象，學(xué)生的學(xué)習(xí)更多依靠前概念遷移。

二、不同素材價值對比——確定結(jié)構(gòu)化材料

究竟怎樣的材料適宜整體性建構(gòu)被除數(shù)是三位數(shù)的筆算除法？這就要求對于材料的選擇必須以數(shù)學(xué)知識為內(nèi)核，能夠把零碎的數(shù)學(xué)知識和分散的教學(xué)環(huán)節(jié)串聯(lián)起來并貫穿于學(xué)習(xí)過程始終，體現(xiàn)出知識的內(nèi)在邏輯性和系統(tǒng)性。由于被除數(shù)是三位數(shù)的筆算除法研究機理具有內(nèi)在性的一脈相承，故筆者以256 表征為例從三個維度對比以下三種材料的價值，從而進行甄別與選取。

（一）能否更好體驗計數(shù)規(guī)則

不同材料情境下學(xué)生的思維活躍度是不一樣的。小棒表征是一根根小棒累加出來的，一根代表1，且形狀固定。人民幣表征1張可以代表1、10、100，而且形狀不同，故人民幣屬于實物直觀。計數(shù)器則用珠子表征，1 顆珠子可以代表1、10、100，而且珠子形狀相同。從抽象水平來看，小棒是最直觀的，人民幣次之，計數(shù)器最為抽象。小棒表征淡化了計數(shù)規(guī)則，人民幣本身自帶了大小的屬性，容易忽略對計數(shù)規(guī)則的關(guān)注，計數(shù)器在幫助學(xué)生體驗計數(shù)規(guī)則層面更具優(yōu)勢。

（二）能否緊扣核心凸顯算理

小棒直觀易操作，當被除數(shù)是兩位數(shù)比較小的時候，通過操作能夠很好地將分的過程與除法豎式對接，助力算理理解。隨著被除數(shù)變大，繼續(xù)分小棒反而讓整個操作過程繁瑣。人民幣屬于實物直觀，從表面上看能夠適用于被除數(shù)是三位數(shù)的除法，但是由于材料本身自帶了大小屬性，對于算理的具體理解反而過于籠統(tǒng)了。計數(shù)器自身具有的位值原則和數(shù)位關(guān)系——當百位不夠分、結(jié)合十位繼續(xù)分；十位不夠分、結(jié)合個位繼續(xù)分。強化分物時先分什么、再分什么，結(jié)合分的過程體驗感悟除法豎式為什么是多層的原因。因此計數(shù)器適用范圍更具一般性且能凸顯除法運算的算理。

（三）能否體現(xiàn)知識內(nèi)在原理一致性

表內(nèi)除法（13÷4）和本單元起始課（42÷2、52÷2），教材都是用小棒圖表征，但是隨著被除數(shù)位數(shù)的增加，如（256÷2、256÷6）以及涉及到小數(shù)除法（22.4÷4），再用小棒、人民幣表征算理信息不僅麻煩而且困難。而計數(shù)器的引入，不管被除數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)甚至小數(shù)，每次都是把除得的余數(shù)與低一位上的數(shù)合并繼續(xù)分，將思維聚焦在“計數(shù)單位轉(zhuǎn)換”這一核心，凸顯除法運算中余數(shù)不斷化成小單位繼續(xù)除的一般性道理。

計數(shù)器因其能體現(xiàn)“退一當十”的計數(shù)規(guī)則，具有的位值原則使其在除法豎式計算中體現(xiàn)知識內(nèi)在原理的一致性，所以計數(shù)器是合適的結(jié)構(gòu)化教學(xué)材料。

三、發(fā)揮計數(shù)器價值——結(jié)構(gòu)化材料貫穿單元整體教學(xué)

基于以上分析，以結(jié)構(gòu)化材料計數(shù)器貫穿單元整體教學(xué)，以理解算理為核心，掌握算法為目標，通過適度調(diào)整教學(xué)路徑理解算理、有機整合教學(xué)內(nèi)容溝通算理算法、重組教學(xué)板塊厘清思維混淆區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生體驗知識原理的內(nèi)在一致性，讓學(xué)生在本單元形成前聯(lián)后延的結(jié)構(gòu)化思維與意識。

（一）適度調(diào)整教學(xué)路徑——計數(shù)器助力深度理解算理

教材的編排是先教學(xué)42÷2后教學(xué)52÷2，教學(xué)42÷2 時教材規(guī)定從高位算起，實際上42÷2 從低位算起是可以的（各個數(shù)位都能整除），此處教材的規(guī)定（從高位算起）與學(xué)生已有經(jīng)驗、現(xiàn)實起點、認知邏輯都嚴重不符。

因此將“42÷2”和“52÷2”教學(xué)路徑互換，先教學(xué)“52÷2”后教學(xué)“42÷2”，多數(shù)學(xué)生由原先的順暢轉(zhuǎn)為糾結(jié)，因為無法直接得到結(jié)果，從而產(chǎn)生內(nèi)在的探究欲望，減少負遷移影響。

【教學(xué)片斷】

環(huán)節(jié)一：任務(wù)驅(qū)動，診斷起點

出示任務(wù)：計算52÷2。

環(huán)節(jié)二：動手操作，理解算理

師：52 根小棒平均分成兩份，怎么分？

生：先分2 根，再分4 捆，最后拆開1 捆，分3 次得到26 根。

生：先分4 捆，再拆開1 捆和2 根合起來成為12 根。

師：兩種分法，哪里不同？

生：一種分了2 次，另一種分了3 次。

師：同樣平均分成兩份，為什么可以少分一次？

生：第二種分法把剩下的1捆和余下的2 根合起來一起分，所以少分了1 次。

師：小棒大家會分了，要是計數(shù)器上怎么體現(xiàn)剛才分的過程？

生：道理是一樣的，就是先分十位的5 顆珠子，剩下的1 顆珠子和個位合起來繼續(xù)分。

環(huán)節(jié)三:抽象概括，深化算理

計數(shù)器的適時引入引發(fā)學(xué)生不得不思考：剩下的一顆珠子怎么辦？由于計數(shù)器自身的位值原則，學(xué)生“退一當十”的思考一直伴隨在整個分材料的過程，從而將思維有效激活，助力深度理解算理。

（二）有機整合教學(xué)內(nèi)容——計數(shù)器架起理法溝通橋梁

例3（256÷2）和例4（256÷6）兩節(jié)課結(jié)構(gòu)相似，內(nèi)容相近，有機整合教學(xué)內(nèi)容更符合編排邏輯，用結(jié)構(gòu)性材料不僅可以串聯(lián)整體認知，同時可以有效架起算理算法溝通橋梁。

【教學(xué)片斷】

環(huán)節(jié)一：任務(wù)驅(qū)動，診斷起點

出示任務(wù)：計算256÷2

環(huán)節(jié)二：動手操作，直觀理解

師：在計數(shù)器上分一分，結(jié)合分的過程，思考豎式過程的含義。

環(huán)節(jié)三：圖式對照，程序理解

環(huán)節(jié)四：語義表征，抽象理解

（1）結(jié)合圖式，你能說一說256÷2 的筆算方法嗎？

（2）還有256÷6，你覺得需要像剛才這樣教一遍嗎？為什么？

（3）現(xiàn)在你能說說被除數(shù)是三位數(shù)的筆算除法的方法嗎？

通過結(jié)構(gòu)化的材料——計數(shù)器（半直觀半抽象）支撐起被除數(shù)是三位數(shù)的算理，讓操作環(huán)節(jié)直觀化、讓思維過程可視化，通過溝通直觀理解（動手操作）、程序理解（圖式對照）、抽象理解（語義表征）之間的關(guān)系和聯(lián)系，為抽象的算式尋找到具象的解釋，實現(xiàn)理法相融，不僅將整個操作過程“先分什么、再分什么、最后分什么”清晰呈現(xiàn)，同時凸顯對計數(shù)單位的關(guān)注。

（三）重組教學(xué)板塊——計數(shù)器厘清思維混淆區(qū)

人教版教材的編排是例6“208÷2”和“216÷2”、例7“650÷5”和“245÷8 分為”兩節(jié)課，但是這兩節(jié)課都包含著“除0 商0”“不夠商1 就商0”，學(xué)生在兩個知識點之間不停地切換。相比人教版，北師大版本的編排是將知識點是“除0商0”為一節(jié)（“306÷3”和“840÷6”），知識點是“不夠商1 就商0”為一節(jié)（“912÷3”和“522÷4”）。從學(xué)生的思維習(xí)慣而言，北師大版本的編排路徑更符合學(xué)情。

在此基礎(chǔ)上借助結(jié)構(gòu)性材料計數(shù)器進一步幫助學(xué)生厘清思維混淆點。引導(dǎo)學(xué)生將“分——換——再分”這個過程與除法豎式有效融合，不僅讓學(xué)生直觀理解當大的計數(shù)單位不夠分轉(zhuǎn)化為更小的計數(shù)單位繼續(xù)分，同時直觀感知“除0 商0”“不夠商1 就商0”。

四、結(jié)構(gòu)化材料對單元整體教學(xué)的啟示

（一）結(jié)構(gòu)化材料如何選取

結(jié)構(gòu)化材料的選取必須以數(shù)學(xué)核心知識為內(nèi)核，能夠把零碎的知識和分散的教學(xué)環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)性和內(nèi)在原理的一致性。

（二）結(jié)構(gòu)化材料使用策略

1.整體呈現(xiàn)，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維

整體性呈現(xiàn)問題，將問題置于比較情境之中，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題主動辨析、比較，體會知識之間的聯(lián)系，從而將相關(guān)知識點主動納入原有的認知結(jié)構(gòu)中。

2.多元表征，滲透遷移性思維

計算教學(xué)中，算理是對算法的解釋，是理解算法的前提。算理理解越到位，算法建立越深刻。結(jié)構(gòu)化材料計數(shù)器（半直觀半抽象）支撐起被除數(shù)是三位數(shù)的算理，讓操作環(huán)節(jié)直觀化、讓思維過程可視化，通過溝通直觀理解（動手操作）、程序理解（圖式對照）、抽象理解（語義表征）之間的關(guān)系和聯(lián)系，為抽象的算式尋找到具象的解釋，實現(xiàn)理法相融。