基于改進灰色Markov模型的建筑物沉降量預測

王洪德,李騫

(1.大連交通大學 交通運輸工程學院,遼寧 大連 116028;2.遼寧省隧道工程與災害防控專業(yè)技術創(chuàng)新中心,遼寧 大連 116028)

地鐵車站深基坑施工過程會對周圍地層產(chǎn)生擾動,從而對周圍建筑物造成沉降或傾斜,影響建筑物的安全和正常使用。因此,必須采取有效措施對施工引起的地面沉降進行監(jiān)測和預警[1-4]。采用準確、有效的科學手段對深基坑周邊建筑物的沉降量進行預測,不僅能夠減輕甚至規(guī)避風險,同時對復雜系統(tǒng)預測方法的研究具有重要的推動作用[5-8]。

目前,國內(nèi)外學者對深基坑開挖引起周邊建筑物沉降的預測方法進行了很多嘗試。Miliziano等[9]采用一個簡單的理想彈塑性本構模型,利用數(shù)值分析的方法獲得沉降預測值;Khosrojerdi等[10]利用參數(shù)研究的結果進行回歸分析,建立RSF最大沉降量的預測方程;馬征等[11]結合多智能體粒子尋求最小二乘法支持向量機,對昆明市某基坑開挖過程中周圍建筑物的沉降進行預測;沈簡等[12]采用雙曲線法、指數(shù)曲線法和灰色理論等方法對基坑周邊坡頂?shù)慕ㄖ锍两颠M行了預測;章紅兵等[13]結合土體變形空間分布規(guī)律,通過經(jīng)驗系數(shù)將土層性質(zhì)、周邊施工情況納入考量,提出了考慮基坑開挖空間效應的鄰近建筑物沉降預測方法。以上這些預測方法,在不同程度上對深基坑施工引起周邊建筑物沉降的防范提供了技術支撐。然而,通過深基坑開挖的工程實踐并結合國內(nèi)外相關文獻的分析發(fā)現(xiàn),對于小樣本的監(jiān)測數(shù)據(jù)量,已有的預測方法在實際應用過程中,經(jīng)常出現(xiàn)預測精度和偏差過大的情況,如灰色預測模型在中長期預測應用中出現(xiàn)的偏差越來越大。

鑒于此,本文結合某地鐵車站深基坑工程實際,以灰色模型為基礎,先對其進行改進,然后通過Markov誤差修正,建立改進的灰色Markov模型,實現(xiàn)對深基坑施工引起周邊建筑物累積沉降的預測研究,以期確保工程施工安全可靠。

1 建筑物沉降量預測模型的建立

1.1 改進灰色模型的建立

灰色模型是對原始數(shù)據(jù)序列進行累加,對于諸如建筑物沉降這種小樣本數(shù)據(jù)集的分析,存在較大的精度誤差。為提高中長期預測的準確性,在灰色模型的基礎上,通過對原始數(shù)據(jù)指數(shù)化處理,給出具體數(shù)據(jù)處理方法:

x(0)(k)=Aeu(k-1),k=1, 2, …,n

(1)

式中:x(0)(k)為指數(shù)化處理后的初始累積沉降數(shù)據(jù)序列;u為指數(shù)化處理后的發(fā)展系數(shù);A為指數(shù)化處理后的灰色作用量;k為指數(shù)化處理后的初始累積沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)序號。

一次累加后:

(2)

式中:x(1)(k)為初始累積沉降數(shù)據(jù)序列一次累加生成的序列。

以此為基礎,建立微分方程,用最小二乘法進行估計,得出u,A的估計值:

(3)

式中:a為灰色模型的發(fā)展系數(shù);b為灰色模型的灰色作用量。

基于此,建立初始數(shù)據(jù)序列模型:

(4)

1.2 相對誤差狀態(tài)劃分

改進灰色Markov模型的重要一步在于轉移概率矩陣的計算,只有得到轉移概率矩陣,才能知道預測值的修正方向,從而進行Markov誤差修正,使預測值更加貼近真實值。為了得到轉移概率矩陣,首先需要進行預測值與真實值之間相對誤差的狀態(tài)劃分。

通過改進的灰色預測模型求取各觀測點的預測值,將實測數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)的相對誤差作為Markov修正的初始數(shù)據(jù)序列,以此進行狀態(tài)劃分。具體方法是以該數(shù)列中心點為基準線,分別向上和向下做累積m條橫線,從而將初始數(shù)列劃分成m+1個狀態(tài)區(qū)間[14]。

1.3 轉移概率矩陣

通過轉移概率矩陣可以看到相對誤差的每一種狀態(tài)轉移到其他狀態(tài)的概率,從而確定預測值修正的方向。

第一步狀態(tài)轉移概率矩陣中,若發(fā)現(xiàn)第i行的轉移概率相等,則可用更多步的狀態(tài)轉移概率矩陣。由狀態(tài)區(qū)間Ej經(jīng)過k(k=1,2,…,n)步轉移到狀態(tài)區(qū)間Ei的初始數(shù)據(jù)個數(shù)為Mij(k),處于Ei的初始沉降數(shù)據(jù)的個數(shù)為Mi,則經(jīng)過k步轉移的狀態(tài)轉移概率為:

(5)

式中:pij(k) 為由狀態(tài)區(qū)間Ej經(jīng)過k步轉移到區(qū)間Ei的概率;Mij(k) 為由狀態(tài)區(qū)間Ej經(jīng)過k步轉移到區(qū)間Ei的數(shù)據(jù)個數(shù);Mi為處于狀態(tài)區(qū)間Ei的初始沉降量數(shù)據(jù)個數(shù)。

經(jīng)過k步的狀態(tài)轉移概率矩陣為:

(6)

1.4 誤差修正

觀察狀態(tài)區(qū)間的轉移方向,進行Markov誤差修正得出最終的累積沉降量預測值。Markov誤差修正為:

(7)

1.5 模型的檢驗指標

針對預測值與真實值之間的聯(lián)系與評價,相對誤差可以表示預測結果偏離真實值的實際大小,而且更能反映預測的可信程度。由于預測數(shù)據(jù)不止是一組,所以選擇相對誤差作為指標之一:

(8)

灰色模型的檢驗方法可以采用后驗差檢驗,后驗差檢驗包含后驗差比值C和小誤差概率P′[15],這是對殘差分布的統(tǒng)計規(guī)律檢驗。首先要求出建筑物累積沉降量數(shù)據(jù)序列與預測值的殘差和相對誤差,相對誤差的計算見式(8),殘差的具體計算為:

(9)

式中:E(0)(k)為第k個數(shù)據(jù)的殘差;n為初始數(shù)據(jù)的組數(shù)。

得出殘差之后,求出初始數(shù)據(jù)的均值和殘差均值為:

(10)

(11)

結合式(10)、式(11),可求其方差和殘差方差:

(12)

(13)

將后驗差比值、小誤差概率、相對誤差作為模型檢驗指標:

(14)

式中:C為模型的后驗差比值。

(15)

式中:P′為模型的小誤差概率。

對應的檢驗指標的精度等級評定見表1。

表1 精度檢驗表

結合表1,后驗差比值C越小,表示預測出來的建筑物累積沉降量越精確。小誤差概率P′越大,表示模型預測出來的建筑物累積沉降量分布越均勻。

2 模型應用

記錄某地鐵車站周邊建筑物在基坑開挖過程中累積沉降量的數(shù)據(jù)。地鐵車站位于市內(nèi)繁華地段,地下為多套地層力學性質(zhì)差異較大的復雜場地,并存在微承壓水,地層結構對地下工程有較大影響。選取建筑物上靠近基坑一側的角點JCJ06,給出5月25日～7月2日的30組(日期不連續(xù)是因為當日沒有監(jiān)測,并不影響試驗研究)建筑物累積沉降量監(jiān)測數(shù)據(jù),見表2。

表2 建筑物累積沉降量監(jiān)測數(shù)據(jù)

由表2可以得出,建筑物累積沉降量的平均值為-40.16 mm,沉降最多時發(fā)生在6月22日,向下沉降了2.24 mm。

2.1 改進灰色模型的擬合

基于表2所列的建筑物累積沉降量實測數(shù)值,運用改進的灰色模型進行數(shù)值模擬,擬合效果見表3。

表3 模型擬合效果

由表3可以得出,改進的灰色模型模擬數(shù)值的平均值為-38.04 mm,與真實數(shù)值相差2.12 mm,沉降最多時發(fā)生在5月26日,比起上一期向下沉降了0.81 mm。

2.2 狀態(tài)區(qū)間劃分

原則上,狀態(tài)區(qū)間劃分越詳細越好。結合工程實際,經(jīng)多次試驗,同時考慮到狀態(tài)區(qū)間范圍更加均勻和相對誤差的分散范圍,確定將相對誤差劃分為4個狀態(tài)區(qū)間,見表4。

表4 誤差狀態(tài)區(qū)間表

2.3 轉移概率矩陣

為了得到轉移概率矩陣,需對不同狀態(tài)區(qū)間的個數(shù)和轉移趨勢進行統(tǒng)計和觀察。結合表3和表4可以看出,相對誤差處于狀態(tài)E1的個數(shù)為3個,處于狀態(tài)E2的個數(shù)為7個,處于狀態(tài)E3的個數(shù)為12個,處于狀態(tài)E4的個數(shù)為3個。通過觀察狀態(tài)區(qū)間的轉移趨勢可知,處于狀態(tài)E1的相對誤差下一次轉移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個數(shù)分別為2,1,0,0。處于E2狀態(tài)的相對誤差下一次轉移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個數(shù)分別為1,4,1,1。處于E3狀態(tài)的相對誤差下一次轉移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個數(shù)分別為0,1,10,1,。處于E4狀態(tài)的相對誤差下一次轉移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個數(shù)分別為0,0,1,2。

根據(jù)式(5)和式(6),得出一步轉移概率矩陣:

2.4 Markov修正

6月27日沉降量的相對誤差處于E4狀態(tài),根據(jù)求出的轉移概率矩陣,可以看出,6月28日的沉降量將轉移到E4狀態(tài)。根據(jù)誤差修正公式,可以求出6月28日的累積沉降量的預測值為-48.56 mm,比實測的6月27日的沉降量增加了0.31 mm。將6月28日的預測值作為原始數(shù)據(jù)代入改進的灰色模型進行預測,可以得出6月29日的預測值,重復上面步驟,根據(jù)相對誤差進行狀態(tài)劃分并做出轉移概率矩陣,并再一次進行Markov誤差修正。以此類推,預測出后5天的沉降量,模型預測結果見圖1。

圖1 模型預測結果

由圖1可知,改進的灰色Markov模型的預測值平均值為-49.97 mm,改進的灰色模型的預測值平均值為-48.89 mm,而原始值的平均值為-51.04 mm,表明改進的灰色Markov模型的預測值明顯更貼近實測值。

3 模型精度評價

按照前文所述模型檢驗方法,采用相對誤差作為檢驗指標。在改進的灰色Markov模型中,由于每一次預測都需要重新進行狀態(tài)劃分和誤差修正,所以每一次只能預測一個值。將5次預測出來的結果與用改進的灰色模型得出的結果進行相對誤差的比較,并求取5次相對誤差的平均值,模型精度對比見表5。

表5 模型精度對比

從表5的計算結果可以看出,每一次預測出來的精度都得以提高,改進的灰色Markov模型的平均相對誤差為2.1%,而改進的灰色模型的平均相對誤差為4.2%,表明修正之后的模型在相對誤差上精度提高了2.1%。修正之后模型的后驗差比值逐漸減小,說明修正后的模型在后期預測的數(shù)值與實際值離散程度相對較小,從而進一步驗證了修正后的Markov模型在中長期預測當中比改進灰色模型更加精確可靠。

4 結論

針對改進的灰色Markov模型,對地鐵車站深基坑施工引起周邊建筑物累積沉降量進行預測,得出結論如下:

(1)通過對灰色模型的改進(指數(shù)化處理傳統(tǒng)模型中的發(fā)展系數(shù)為u、灰色作用量為A),優(yōu)化預測序列的總體誤差,建立了改進后的灰色模型。

(2)轉移概率矩陣的建立是改進灰色Markov模型的重要一步,通過轉移概率矩陣可以看到相對誤差的每一種狀態(tài)轉移到其他狀態(tài)的概率,確定預測值修正的方向,最后運用Markov誤差修正得到最終預測值。

(3)改進的灰色Markov預測模型可用于小數(shù)值樣本數(shù)據(jù)集仿真分析,其預測相對誤差對比原改進灰色模型由原來4.2%下降到2.1%,從而使得深基坑施工引起周邊建筑物累積沉降的預測更加貼近實際。