跳躍因素下原油期貨定價模型的理論研究及實證分析①

任芳玲， 喬克林， 張少峰

延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000

眾所周知,原油是工業(yè)生產的命脈,對國家的經濟發(fā)展、貿易往來等多方面起著至關重要的作用.原油期貨(Crude Oil Future)是以遠期石油價格為標的物的一類石油期貨,自期貨誕生以來,學者們就對其產品設計、定價方法、期現(xiàn)關系理論等展開了研究.文獻[1]提出雙因素模型,該模型較好地預測了原油期貨價格的趨勢,其方程如下:

其中k,μ,σ1,σ2為模型參數(shù).文獻[3]根據(jù)期貨價格的特征,建立仿射期限結構模型,該模型假定現(xiàn)貨價格的自然對數(shù)可以分解成多個狀態(tài)變量的和:

lnSt=X1t+X2t+…+Xnt

其中Xit(i=1,2,3,…,n)表示影響價格變化的因素．

原油期貨的定價模型一般會假設隨機變量服從連續(xù)隨機過程,但是如遇戰(zhàn)爭等突發(fā)事件大概率會導致原油價格出現(xiàn)躍動,并且會影響很多相關產業(yè)[4-6].在此方面,很多學者也進行了分析研究,并得出相關的實用性模型[7-9]．

文獻[10]將跳躍擴散過程引入到石油期貨價格的定價模型中,揭示了期貨價格的變化特征.文獻[11]研究了天然氣價格跳躍下的期貨動態(tài)定價模型.文獻[12]則通過商品期貨研究,建立了跳躍-擴散模型,其模型表示如下:

dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dWt+JdNt(λ)

其中:Xt為標的資產的狀態(tài)向量,JdNt(λ)是跳躍強度為λ的跳躍過程,J為跳躍強度．

依據(jù)受2020年疫情影響的我國原油期貨價格特征,本文在文獻[13]三因素原油期貨定價模型的基礎上考慮價格的跳躍性,并結合現(xiàn)貨價格[14-15]的相關關系進行建模研究．

首先設現(xiàn)貨價格取自然對數(shù)后可以分解如下:

lnSt=X1t+X2t+X3t

其中: 短期偏離X1t和中期偏離X2t均服從O-U過程,期望為0,而長期均衡X3t服從布朗運動.其模型如下:

其中:k1,k2分別為短期偏離變量、中期偏離變量的均值回復率;μ為長期均衡變量的漂移率;σ1,σ2,σ3分別為X1t,X2t,X3t的波動率; dW1,dW2,dW3分別為X1t,X2t,X3t的標準布朗運動增量,且有

dW1·dW2=ρ1dt,dW2·dW3=ρ2dt,dW3·dW1=ρ3dt

N1,N2和N3分別表示跳躍強度h1,h2和h3的泊松過程,J1,J2和J3分別為X1t,X2t和X3t的跳躍度大小,N1,N2和N3相互獨立.為了能夠更好地推導出期貨價格的解析解,選擇跳躍度大小滿足正態(tài)分布.假設Ji(i=1,2,3)服從正態(tài)分布,即

另外,為了確保x1t和x2t的長期零均值,分別定義c1和c2為c1=h1γ1,c2=h2γ2．

為合理求得期貨價格,加入風險溢價因子,建立本文研究的模型如下:

(1)

1 模型的解析解

針對帶有跳躍性因素的原油期貨定價模型(1),對其進行求解,得到原油期貨的定價公式.求解步驟如下:

1) 求解X1t,X2t,X3t

對(1)式中的第一個等式同乘ek1t并且移項,且由微分d(uv)=udv+vdu得

兩邊積分得

移項同時除以ek1t,即得X1t的表達式為

同理由(1)式中的第二個等式求得X2t的表達式為

對(1)式中的第三個等式兩邊積分并移項即得X3t的表達式為

2) 求解lnSt的期望

為了求得期貨價格,先求解lnSt的期望和方差.按期望性質首先有

E(lnSt)=EX1t+EX2t+EX3t

又EU1=0,所以

由泊松過程的定義知

E[dN(s)]=d[0×P(N=0)+1×(λt+ο(Δt))+(N(s)≥2)×ο(Δt)]=d(λt)

即得

E[dNi(s)]=d(his),i=1,2,3

從而

由此得到X1t的期望,同理可得X2t和X3t的期望,它們分別為

進而可得lnSt的期望:

3) 求解lnSt的方差

按方差的性質有

首先求解X1t,X2t,X3t的方差:

同理求得

接下來求解Cov(X1t,X2t),Cov(X1t,X3t),Cov(X2t,X3t)

同理求得

進而可得lnSt的方差:

4)模型的解析解

所以t時刻的期貨價格解析解:

(2)

其中T為期貨到期期限,(2)式即為考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型的解析解．

2 模型的參數(shù)估計

若一天內只發(fā)生一次跳躍,則泊松過程就是伯努利過程,將(1)式離散化并移項得

同理求得

其中:Ui(i=1,2,3) 為標準正態(tài)隨機變量,Bi(i=1,2,3)為獨立的伯努利隨機變量,且有

P(Bi=1)=hiΔt,P(Bi=0)=1-hiΔt,i=1,2,3

本文給出如下記號:

n-m1個正常數(shù)據(jù)的密度函數(shù)為

樣本的似然函數(shù)為

需要估計的參數(shù)有Θ1={k1,λ1,σ1},對數(shù)似然函數(shù)為:

進而似然方程為:

即得方程組

解得

樣本的似然函數(shù)為

需要估計的參數(shù)Θ2={γ1,δ1},對數(shù)似然函數(shù)為

進而得似然方程為

解得

同理得

至此,考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型中的所有參數(shù)有了詳細的估計公式.利用此定價公式和參數(shù)估計方法,可以依據(jù)疫情環(huán)境下具體原油期貨合約的數(shù)據(jù),對跳躍性因素下的原油期貨進行分析和定價．

3 基于我國原油期貨合約的實證分析

采用平均絕對誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)統(tǒng)計量,評價模型的擬合和預測能力[14],公式如下:

(3)

(4)

3.1 參數(shù)估計

選取上海期貨交易所的4種短期主力合約(期限均為1年),選取4種長期合約(期限均為3年).將4種長期期貨合約價格的對數(shù)均值作為長期均衡變量的觀測值; 將所有長期合約價格的均值對數(shù)值減去所有短期合約價格的均值對數(shù)值的結果作為短期偏離的觀測值; 將現(xiàn)貨價格的對數(shù)值減去短期偏離值和長期均衡值之和所得的差值做為中期偏離的數(shù)值; 原油現(xiàn)貨價格從Choice金融終端軟件取得.選取上海期貨交易所的4種短期主力合約(期限均為1年),短期期貨合約代碼分別為sc1907,sc1908,sc1909,sc1910; 選取4種長期合約(期限均為3年),長期合約代碼分別為sc2103,sc2106,sc2109,sc2112.將2019年1月至6月的期貨合約數(shù)據(jù)按上述方法處理后得到短期偏離、中期偏離、長期均衡值.在數(shù)據(jù)日期選擇方面,由于上海期貨交易中心在法定節(jié)假日沒有期貨合約交易數(shù)據(jù),所以本文剔除了大慶原油現(xiàn)貨價格法定節(jié)假日的數(shù)據(jù),以便與上海原油期貨價格數(shù)據(jù)保持一致.由三因素原油期貨定價模型的參數(shù)估計表達式,利用excel表格進行模型參數(shù)的計算,得到三因素原油期貨定價模型的參數(shù)如表1所示．

表1 三因素原油期貨定價模型參數(shù)估計

我們選取上海期貨交易所的4種短期主力合約(期限均為1年),短期期貨合約代碼分別為sc2007,sc2008,sc2009,sc2010; 選取4種長期合約(期限均為3年),長期期貨合約代碼分別為sc2203,sc2206,sc2209,sc2212.短期偏移變量、中期偏移變量、長期均衡變量的取值均按照上述方法獲得.對2020年1月至6月的期貨合約數(shù)據(jù)進行參數(shù)的估計,同樣剔除了大慶原油現(xiàn)貨價格法定節(jié)假日的數(shù)據(jù).由模型的參數(shù)估計方法,在n=116個數(shù)據(jù)中經過計算得到3類跳躍數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)量分別為m1=43,m2=67,m3=36,計算出h3=0.310 3.利用excel表格進行參數(shù)的計算,得到帶有跳躍性因素的原油期貨定價模型的參數(shù)如表2所示．

表2 考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型參數(shù)估計

3.2 模型擬合能力和預測能力

利用三因素原油期貨定價模型對sc1911原油期貨進行預測,預測期限為2019年8月.依據(jù)三因素原油期貨定價模型的解析解公式得出預測值,依據(jù)上海期貨交易所的每日結算價得到原油期貨合約的真實值.對兩種數(shù)據(jù)的比較結果見表3．

表3 2019年8月原油期貨真實值與三因素原油期貨定價模型對sc1911的預測值 /元

利用三因素原油期貨定價模型對sc2108原油期貨合約進行預測,預測期限為2020年8月.依據(jù)三因素原油期貨定價模型的解析解公式得出預測值,通過上海期貨交易所的每日結算價得到原油期貨合約的真實值,如表4所示．

表4 2020年8月原油期貨真實值與三因素原油期貨定價模型對sc2108的預測值 /元

為了更精確得到模型的擬合和預測能力,本文給出了模型的擬合能力評價標準,利用公式(3)和公式(4)對三因素模型得到的預測值與真實值進行計算,得到三因素原油期貨模型擬合能力評價值如表5所示．

表5 三因素原油期貨定價模型擬合能力評價值

由于模型擬合能力評價值越小說明模型的預測能力越好,從表5中得出三因素模型對2019年的原油期貨合約預測能力較好,對于2020年該模型的預測能力較差．

利用帶有跳躍性因素原油期貨定價模型對sc2108原油期貨進行預測,預測期限為2020年8月.依據(jù)考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型解析解公式(2)得出預測值,通過上海期貨交易所的每日結算價得到sc2108原油期貨合約的真實值,如表6所示．

表6 2020年8月原油期貨真實值與考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型對sc2108的預測值 /元

依據(jù)預測值和真實值數(shù)據(jù)繪制出對比圖(圖1)．

圖1 2020年8月原油期貨真實值與考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型對sc2108的預測值對比

進一步給出模型的擬合能力評價標準.利用公式(3)和公式(4)對考慮跳躍性因素的原油期貨定價模型得到的預測值與真實值進行擬合能力評價,其中:FMAE=-0.535,FRMSE=3.7637．

經與表5中得出的擬合能力評價值比較,三因素模型對2019年的原油期貨合約預測能力較好,對于2020年該模型的預測能力較差.考慮跳躍性因素的原油期貨模型對受疫情影響的2020年的原油期貨價格的預測能力較好,說明該模型具有一定的科學性和實用性,可為從事原油期貨的研究及實務人員從事相關研究和實務操作提供一定的理論依據(jù)和參考信息．