中考中三角形的廣泛性探析

文／李蘊(yùn)欣

通過歸納三角形有關(guān)知識的考查方式，我們發(fā)現(xiàn)其既能直接求解，也能承接知識點(diǎn)，還能為問題的解決提供關(guān)鍵一環(huán)。三角形的廣泛性在于，它可以與四邊形、圓、平面直角坐標(biāo)系等為背景的綜合題相融合。因此，我們只有會用、用好三角形知識，才能為解決復(fù)雜問題提供幫助。

一、三角形與三角形

例1（2022·湖北黃石）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連接CE。

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）若∠EAC=60°，求∠CED的度數(shù)。

圖1

（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，

即∠BAD=∠CAE。

在△ABD和△ACE中，

（2）解：∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠ABD。

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°。

∴∠CED=∠AEC-∠AED=75°-45°=30°。

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵。

二、三角形與四邊形

例2（2021·江蘇南京）如圖2，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C′與CD交于點(diǎn)E。若AB=3，BC=4，BB′=1，則CE的長為_______。

圖2

解：如圖2，連接DD′。

由旋轉(zhuǎn)可知，∠BAB′=∠DAD′，

AB′=AB=3，AD′=AD=4，

∴△BAB′∽△DAD′。

∴AB∶BB′=AD∶DD′=3∶1。

又∵∠AD′C′=∠AB′C′=∠B，

∠AD′D=∠B=∠AB′B，

∴∠AD′C′=∠AD′D，即點(diǎn)D′、D、C′在同一條直線上。

∵∠C′=∠ECB′，∠DEC′=∠B′EC，

∴△CEB′∽△C′ED。

∴B′E∶DE=CE∶C′E=B′C∶DC′，

即B′E∶DE=CE∶C′E=3∶。

設(shè)CE=x，B′E=y，

【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”、相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形的應(yīng)用等。本題還有多種不同的解法，同學(xué)們可以自己嘗試一下。

三、三角形與函數(shù)

例3（2021·江蘇無錫）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖像過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F，交二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖像于點(diǎn)E。

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長度；

（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)。

圖3

解：（1）在y=-x+3 中，令x=0，得y=3；令y=0，得x=3。

∴B（3，0），C（0，3）。

把B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3。

（2）在y=-x2+2x+3中，

令y=0，得x=3或x=-1，

∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，B和F為對應(yīng)點(diǎn)，如圖4。

圖4

設(shè)E（m，-m2+2m+3），則F（m，-m+3），

圖5

（3）連接NE，如圖5。

∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對稱，

∴∠NCE=∠FCE，CF=CN。

∵EF∥y軸，

∴∠NCE=∠CEF。

∴∠FCE=∠CEF。

∴CF=EF=CN。

【點(diǎn)評】本題的第（2）（3）問涉及三角形相似的判定與性質(zhì)、對稱變換等知識。點(diǎn)M是一個(gè)動點(diǎn)，需要引入?yún)?shù)來表示點(diǎn)E和F。解題的關(guān)鍵是先用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)的線段長度，然后在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似中找到對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)邊，根據(jù)對應(yīng)邊去分類討論，最后根據(jù)已知列方程求解。解決幾何圖形中的函數(shù)關(guān)系的問題，往往要用到幾何圖形的特征和相似的性質(zhì)。用含字母的代數(shù)式表示未知線段，代入利用相似得到的比例式中求解，是我們常用的方法。