追本溯源，攻破易混點(diǎn)

文／韓志琴

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，是中考必考內(nèi)容。一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)是這部分內(nèi)容的“主角”。從概念到圖像，從性質(zhì)到應(yīng)用，從它們之間的關(guān)系到它們與其他知識(shí)之間的關(guān)系，內(nèi)容錯(cuò)綜復(fù)雜，方法靈活繁多?，F(xiàn)將常見的易混點(diǎn)舉例并分析。

一、函數(shù)的概念

例1函數(shù)y=（m2-m）x2+mx+m+1，若該函數(shù)為一次函數(shù)，求m的值；若該函數(shù)為二次函數(shù)，求m的值。

【解析】若該函數(shù)為一次函數(shù)，得解得m=1。

若該函數(shù)為二次函數(shù)，則只要考慮二次項(xiàng)前面的系數(shù)m2-m≠0 即可，于是解得m≠0且m≠1。

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們?cè)诮獯鹩嘘P(guān)函數(shù)表達(dá)式問(wèn)題時(shí)，要厘清函數(shù)概念，不能模糊不清，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。

二、函數(shù)的增減性

例2已知點(diǎn)（-3，y1）、（-1，y2）、（1，y3）在下列某一個(gè)函數(shù)圖像上，且y3＜y1＜y2，那么這個(gè)函數(shù)是（ ）。

【解析】根據(jù)函數(shù)增減性，由函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，推測(cè)函數(shù)類型。選項(xiàng)A 是一次函數(shù)，當(dāng)k＞0 時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，應(yīng)有y1＜y2＜y3，故排除。選項(xiàng)B 是二次函數(shù)，對(duì)稱軸是y軸，所以當(dāng)x=1或x=-1 時(shí)，y2=y3，故排除。選項(xiàng)C 和D 都是反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＞0 時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0 時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，k=3＞0，故y2＜y1，故選項(xiàng)C 排除。所以正確選項(xiàng)是D。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于選項(xiàng)C 和D，我們還可以借助函數(shù)圖像，如圖1、圖2，既能提高正確率，又能感受到數(shù)形結(jié)合的魅力，提高直觀想象的能力。當(dāng)然作為選擇題，我們也可以用賦值法代入計(jì)算得出正確答案。

圖1

圖2

三、函數(shù)的最值

（2）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），當(dāng)3≤x≤5 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為-4≤y≤-2，則函數(shù)表達(dá)式為________。

【解析】本題需要考慮函數(shù)的增減性對(duì)點(diǎn)坐標(biāo)產(chǎn)生的影響，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)k＜0 時(shí)，函數(shù)y隨自變量x的增大而減小，當(dāng)k＞0 時(shí)，y隨x的增大而增大，所以本題存在兩種可能：①當(dāng)x=3 時(shí)，y=-2，當(dāng)x=5 時(shí)，y=-4，即圖像過(guò)點(diǎn)（3，-2）、（5，-4），則一次函數(shù)表達(dá)式是y=-x+1；②當(dāng)x=3 時(shí)，y=-4，當(dāng)x=5 時(shí)，y=-2，即圖像過(guò)點(diǎn)（3，-4）、（5，-2），則一次函數(shù)表達(dá)式是y=x-7。我們還可以借助圖像很清晰地得出兩種情況（如圖3、圖4）。

圖3

圖4

（3）已知二次函數(shù)y=-（x-h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1，則h的值為_____。

【解析】由二次函數(shù)y=-（x-h）2（h為常數(shù)）可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0），圖像開口向下，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)值ymax=0，不符合題意。由此可見，h不在2≤x≤5的范圍內(nèi)，所以要分類討論。當(dāng)h＜2 時(shí)，由圖5 可知，當(dāng)x=2 時(shí)，函數(shù)值y取最大值，有-（2-h）2=-1，解得h1=1，h2=3（舍去）；當(dāng)h＞5 時(shí)，函數(shù)值y取最大值，有-（5-h）2=-1，解得h3=6，h4=4（舍去）。綜上可知，h的值為1或6。

圖5