基于最小二乘法的γ 輻射監(jiān)測儀非線性校正

陳元慶，王先賀，吳偉軍，王亞欣，沈長楓，杜一濱

（核工業(yè)航測遙感中心，河北石家莊，050011）

隨著核工程技術(shù)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防、醫(yī)療等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，放射性物質(zhì)和設(shè)備所造成的影響危害著人們的身體健康，因此核輻射檢測技術(shù)在工業(yè)生產(chǎn)、公共安全以及日常生活中也發(fā)揮著越來越重要的作用[1]。為了在輻射事故中，能夠迅速地對放射性物質(zhì)進(jìn)行檢測，γ 輻射監(jiān)測儀在環(huán)境監(jiān)測領(lǐng)域有著獨(dú)特的優(yōu)勢，因此γ 輻射監(jiān)測儀在環(huán)保、衛(wèi)生、核工業(yè)領(lǐng)域中需求量很大，有著廣闊的市場空間。如何提高γ 輻射監(jiān)測儀的測量精度，滿足實(shí)際的生產(chǎn)需求，成了研究和開發(fā)的熱點(diǎn)。

γ輻射監(jiān)測儀的劑量率與計(jì)數(shù)率的非線性關(guān)系一直是影響精準(zhǔn)測量的關(guān)鍵問題，非線性模型更接近實(shí)際，但由于其復(fù)雜性，在應(yīng)用時(shí)依然存在著許多的困難，那么提供一種合適的算法找到劑量率與計(jì)數(shù)率的數(shù)學(xué)關(guān)系成為提高測量精度的關(guān)鍵所在。工程上為了盡可能地降低由于非線性帶來的測量誤差，常用的分析方法有線性近似法、拉格朗日差值法、分段直線回歸法、最小二乘法等[2]。其中，天津理工大學(xué)秦娟[3]等人為了解決電容傳感器的非線性問題，采用了拉格朗日差值算法對電容值進(jìn)行擬合，并采用了三點(diǎn)校準(zhǔn)，改善了測量精度。郭曉聰、李寧[4]等人采用3 段3 次多項(xiàng)式對熱電偶電勢進(jìn)行了非線性擬合，取得了令人滿意的效果。王偉等人利用最小二乘法擬合水位流量關(guān)系曲線[5]，提高了擬合精度和工作效率，對水位流量測報(bào)提供了極大的幫助。

為了提高γ 輻射監(jiān)測儀的測量精度，本文提出了一種基于最小二乘法的非線性校正方法，采用分段性擬合方法，求解分段區(qū)間擬合函數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)校正，這對于提高γ 輻射監(jiān)測儀的精度有重要意義。

1 最小二乘法擬合原理

隨著近代矩陣?yán)碚摰纳钊胙芯恳约坝?jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展，使得最小二乘法不斷應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理以及工程建模中，在工程數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)等均獲得應(yīng)用。最小二乘法可以用某一個(gè)或某些未知量表征所測得的觀測值，往往被應(yīng)用到參數(shù)估計(jì)以及曲線擬合的問題中。最小二乘法的研究和應(yīng)用一直是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域中的前沿課題，隨后被推廣應(yīng)用于其他的科學(xué)領(lǐng)域而受到廣泛關(guān)注。

最小二乘法可用于解決參數(shù)的最可信賴值估計(jì)、用實(shí)驗(yàn)方法來擬合經(jīng)驗(yàn)公式等，通過最小化殘差的平方和求得最可信賴值，尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配[6]。最小二乘法擬合原理就是對實(shí)驗(yàn)或觀測獲得離散數(shù)據(jù)樣本建立對應(yīng)的連續(xù)模型，一般建立的連續(xù)模型為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式或一條曲線[7]。最小二乘法只要求擬合的曲線合理的反應(yīng)數(shù)據(jù)的基本趨勢，而并不要求曲線一定經(jīng)過每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此，利用最小二乘法可以簡便地求解未知參數(shù)以及建立數(shù)學(xué)模型，最小二乘法在工程應(yīng)用實(shí)踐中更具有實(shí)用性。

1.1 線性擬合

從數(shù)學(xué)上講，最小二乘法曲線擬合的基本原則是“殘差平方和最小”，即尋找與給定點(diǎn)（樣本數(shù)據(jù)）的距離平方和最小的函數(shù)曲線g(x)，g(x)稱為樣本數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)。設(shè)計(jì)要對一組N 個(gè)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)線性擬合，設(shè)已知函數(shù)的線性組合為：

其中ai(i=0,1,2,…,m)為待定系數(shù)。用最小二乘法來確定未知系數(shù)，令：

其中V(a0,a1,a2,…,am)為殘差的平方和，為使殘差的平方和最小，對式(2)求ai的偏導(dǎo)數(shù)，如下：

將樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)代入式（3）可得出未知參數(shù)ai(i=0,1,2,…,m)。

1.2 非線性擬合

一般情況下，最小二乘法可以用于線性擬合參數(shù)的求解，也可用于非線性擬合參數(shù)的求解。在工程實(shí)際問題中，最小二乘法大多數(shù)應(yīng)用于線性測量，而非線性測量需要借助于泰勒級數(shù)展開的方法近似地化成線性的形式再進(jìn)行求解。

如果將非線性方程y=f(x1,x2,…,xi,l1,l2,…,ln)直接代入式(1)，用殘差平方和最小求解未知參數(shù)b1,b2,…,bn的方法比較復(fù)雜，所以一般方法是：先對非線性方程進(jìn)行泰勒展開，然后忽略其高次項(xiàng)，轉(zhuǎn)換為線性方程后，再利用1.1 章節(jié)線性擬合方法求出未知參數(shù)[8]。

計(jì)算步驟：

第五步：通過求解式(6) 可求得aj，從而可解的，事實(shí)上lj是一個(gè)近似值，為了達(dá)到所需精度的lj，可將lj值賦值給作為新的初值，并重復(fù)上述計(jì)算過程直到滿足精度要求。

2 非線性校正算法

2.1 劑量率與計(jì)數(shù)率分析

通過對γ 輻射監(jiān)測儀采集樣本數(shù)據(jù)如表1 所示，以計(jì)數(shù)率為橫坐標(biāo)，以劑量率為縱坐標(biāo)，繪制出的樣本數(shù)據(jù)分布圖如圖3 所示。圖3 中的“*”為劑量率與計(jì)數(shù)率所對應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以看出γ 輻射監(jiān)測儀的劑量率與計(jì)數(shù)率特性呈非線性關(guān)系，如果用單一函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，其擬合匹配度差，所以需要對劑量率與計(jì)數(shù)率對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行非線性擬合，進(jìn)一步提高測量精度。從圖中1(a)可以看出，γ 輻射監(jiān)測儀的GM2 計(jì)數(shù)管在1mSv/h～258.4mSv/h 這個(gè)測量區(qū)間內(nèi)，劑量率與計(jì)數(shù)率數(shù)據(jù)分布呈線性關(guān)系，故采用線性函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，線性模型為：

圖3 擬合曲線圖

表1 樣本數(shù)據(jù)

而在258.4mSv/h～10Sv/h 這個(gè)測量區(qū)間內(nèi)，樣本數(shù)據(jù)分布如圖1(b)所示，劑量率與計(jì)數(shù)率數(shù)據(jù)分布呈非線性關(guān)系，可以看出樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的走勢與指數(shù)函數(shù)模型比較吻合，故采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，指數(shù)模型為：

圖1 樣本數(shù)據(jù)分布圖

采用最小二乘法求得未知參數(shù)k,m,a,b,c，確定劑量率與計(jì)數(shù)率的關(guān)系模型，得到擬合曲線圖。

2.2 分段性擬合

經(jīng)2.1 章節(jié)分析，劑量率與計(jì)數(shù)率在整個(gè)測量區(qū)間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，為達(dá)到測量精度要求，必須進(jìn)行分段性校正。通過誤差計(jì)算進(jìn)行區(qū)間劃分[9]，根據(jù)采集數(shù)據(jù)分布圖，將量程范圍劃分成兩個(gè)區(qū)間為宜，以不同的數(shù)學(xué)模型對兩區(qū)間進(jìn)行最小二乘法擬合。其中前一個(gè)區(qū)間作線性擬合，后一個(gè)區(qū)間作指數(shù)擬合。

其基本思路為：

第一步：假設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)，xi∈ [m,n]，根據(jù)工程需求，設(shè)定允許誤差ε。首先將(xi,yi)前2 個(gè)點(diǎn)根據(jù)最小二乘法進(jìn)行線性擬合，其線性擬合區(qū)間為[m,x2]，以式(7)作為數(shù)學(xué)模型，求取該區(qū)間的線性擬合函數(shù)，并依次計(jì)算各點(diǎn)的誤差值，計(jì)算表達(dá)式為：

第二步：先將前2 個(gè)點(diǎn)的誤差值εi與允許誤差ε 進(jìn)行比較，若前2 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差值均小于允許誤差，那么取出前三個(gè)點(diǎn)利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，并根據(jù)式(9)計(jì)算第3 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)x3的誤差值ε3。若第三個(gè)點(diǎn)的誤差值ε3仍小于允許誤差ε，則線性擬合區(qū)間[m,x2]再增加一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)x3，擬合區(qū)間為[M,x3]。依次類推，直到出現(xiàn)某個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)xk，若該數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差值εk大于允許誤差ε，說明點(diǎn)xk偏離線性曲線，便將[M,xk-1]定為線性區(qū)間，并求出線性函數(shù)表達(dá)式。

第三步：下一段從xk點(diǎn)開始，擬合區(qū)間為[xk,n]，以指數(shù)函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型，用最小二乘法非線性擬合的方法求出該區(qū)間的擬合函數(shù)。

其流程框圖如圖2 所示。

圖2 分段性擬合流程圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

γ輻射監(jiān)測儀以分段性擬合原則進(jìn)行非線性校正，設(shè)置允許誤差ε為1，其擬合結(jié)果如圖3 所示。運(yùn)行相關(guān)程序，求解函數(shù)模型的待定系數(shù)，k=0.0159，m=-0.1078，其1mSv/h～258.4mSv/h 線性模型表達(dá)式為：y=0.0159x -0.1078。同理，可得258.4mSv/h～10Sv/h 數(shù)據(jù)擬合指數(shù)表達(dá)式：y=152.8e6.4E-05x。

為驗(yàn)證非線性校正效果，并將該方法與不分段擬合相對比，不分段擬合采用了多項(xiàng)式擬合和指數(shù)擬合方法，將表1中的劑量率與計(jì)數(shù)率作為樣本數(shù)據(jù)，其擬合結(jié)果如表2 所示。

表2 擬合結(jié)果表

從表中可以看出，采用不分段擬合的方法，劑量率與計(jì)數(shù)率的相關(guān)系數(shù)相對較小，而采用分段擬合的方法，在設(shè)定好允許誤差之后，根據(jù)允許誤差的大小動(dòng)態(tài)調(diào)整分段點(diǎn)，得到兩個(gè)最優(yōu)擬合區(qū)間，分別采用線性擬合和指數(shù)擬合，其相關(guān)系數(shù)達(dá)到了1，最大程度的保證了擬合曲線逼近實(shí)際曲線，進(jìn)而提高了擬合精度，實(shí)現(xiàn)了對γ輻射監(jiān)測儀的非線性校正，提高了γ 輻射監(jiān)測儀測量的準(zhǔn)確度。

通過本文提出的非線性校正方法，在分段擬合條件下，對表1 中的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，其相對固有誤差分析結(jié)果如表3 所示。

表3 誤差分析結(jié)果

從誤差分析結(jié)果可知，在整個(gè)測量區(qū)間內(nèi)最大相對測量誤差為9.23%，其中在1mSv/h～258.4mSv/h 區(qū)間內(nèi)采用線性模型擬合，其最大相對誤差為-6.88%；在258.4mSv/h～10Sv/h 區(qū)間內(nèi)采用指數(shù)擬合函數(shù)，其最大相對誤差為9.23%。不分段擬合忽略了整體樣本數(shù)據(jù)的影響，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)比較大時(shí)勢必會(huì)對線性度產(chǎn)生較大的影響，造成誤差增大，而分段擬合算法避免了單一擬合函數(shù)擬合逼近程度差的問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：非線性校正方法可使γ輻射監(jiān)測儀的相對固有誤差<±10%，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)γ 輻射監(jiān)測儀的精確測量，本文提出了一種基于最小二乘法的非線性校正方法，通過程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了對測量數(shù)據(jù)的非線性擬合，采用最小二乘法作為核心算法，對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行了分段性擬合，對γ 輻射監(jiān)測儀實(shí)現(xiàn)了非線性校正。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)表明：該算法擬合精度高且易實(shí)現(xiàn)，達(dá)到了非線性校正的目的。該算法的合理應(yīng)用，進(jìn)一步提高了γ 輻射監(jiān)測儀的精度，其相關(guān)系數(shù)達(dá)到了1，相對固有誤差<±10%，滿足《JJG 393-2003 輻射防護(hù)用X、γ 輻射劑量當(dāng)量(率)儀和監(jiān)測儀檢定規(guī)程》[10]要求，拓寬了γ 輻射監(jiān)測儀的應(yīng)用范圍。