直流電機(jī)位置跟蹤系統(tǒng)的建模與控制方法研究

魯元昊，艾學(xué)忠，楊葉禮，胡昆，袁天奇

（吉林化工學(xué)院 信息與控制學(xué)院，吉林吉林，132000）

0 引言

隨著智能裝備制造產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中。直流減速電機(jī)相較于步進(jìn)電機(jī)等同類(lèi)產(chǎn)品以其低廉的價(jià)格，較大的扭矩受到人們的青睞。然而在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，直流減速電機(jī)帶動(dòng)復(fù)雜負(fù)載運(yùn)動(dòng)時(shí)，電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)、復(fù)雜負(fù)載疊加在電機(jī)上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等問(wèn)題會(huì)致使電機(jī)位置控制產(chǎn)生超調(diào)、振蕩、精度較差等問(wèn)題。

針對(duì)電機(jī)伺服系統(tǒng)建模和位置控制精度的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)大量研究。文獻(xiàn)[1]針對(duì)無(wú)刷直流電機(jī)內(nèi)置行星減速器采用SolidWorks 仿真軟件建模。文獻(xiàn)[2]使用Simulink 搭建永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，并利用SolidWorks和Adams 仿真軟件建立同步帶傳動(dòng)模型，探究建立負(fù)載精確模型。文獻(xiàn)[3]采用Simulink 中的Simscape 庫(kù)對(duì)直流電機(jī)本體進(jìn)行建模，未涉及內(nèi)置減速裝置及外部負(fù)載建模。文中仿真也僅采用額定電壓驅(qū)動(dòng)電機(jī)并且不能實(shí)現(xiàn)電機(jī)實(shí)時(shí)切換正反轉(zhuǎn)。同時(shí)，也并未采用控制算法進(jìn)行伺服控制。文獻(xiàn)[4]提出了一種優(yōu)化的粒子群算法整定PID 參數(shù)提高伺服系統(tǒng)精確度。文獻(xiàn)[5]采用蟻群算法對(duì)PID 參數(shù)進(jìn)行整定，取得普通PID 參數(shù)的最優(yōu)解以此來(lái)優(yōu)化位置伺服系統(tǒng)。利用算法對(duì)傳統(tǒng)PID 參數(shù)整定的方法雖然會(huì)使控制精度有所提高，但系統(tǒng)實(shí)時(shí)性不夠好。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一個(gè)非線(xiàn)性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀(guān)測(cè)器對(duì)速度和擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行觀(guān)測(cè)補(bǔ)償。文獻(xiàn)[7]通過(guò)設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[8]采用反饋線(xiàn)性化的控制算法，這些算法必須要在能得到被控對(duì)象精確模型的前提下才能保證伺服系統(tǒng)的高性能。文獻(xiàn)[9]為解決無(wú)人機(jī)巡檢精度問(wèn)題提出了一種基于反步法－積分滑模的控制策略。文獻(xiàn)[10]運(yùn)用反步法設(shè)計(jì)滑?？刂破鳎捎玫屯V波器消除“微分膨脹”問(wèn)題。目前仍存在被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型與實(shí)際存在偏差，控制算法實(shí)時(shí)性不好，位置跟蹤易產(chǎn)生超調(diào)與振蕩現(xiàn)象等問(wèn)題。

上述論文給本文提供了極大的參考價(jià)值。本文總體設(shè)計(jì)方案如圖1 所示，為解決多剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模與實(shí)際存在誤差，提出在仿真軟件Simulink 中利用Simscape庫(kù)建立直流電機(jī)帶載物理模型，模擬直流減速電機(jī)帶動(dòng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)。利用反步法求得滑?？刂扑惴?，控制運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)精準(zhǔn)定位。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)PID，本文控制算法在應(yīng)對(duì)多剛體動(dòng)力學(xué)模型運(yùn)動(dòng)控制具有魯棒性好，響應(yīng)速度快，位置跟蹤精度高等優(yōu)點(diǎn)。

圖1 總體設(shè)計(jì)方案圖

1 直流電機(jī)帶動(dòng)負(fù)載物理模型

在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，直流減速電機(jī)被用來(lái)驅(qū)動(dòng)各種機(jī)械設(shè)備，比如齒輪，轉(zhuǎn)盤(pán)等機(jī)械零部件組合成的復(fù)雜系統(tǒng)。在進(jìn)行伺服系統(tǒng)控制研究的時(shí)候，一方面工業(yè)設(shè)備數(shù)學(xué)建模困難，另一方面負(fù)載之間的作用力復(fù)雜，極大的影響了伺服系統(tǒng)的位置控制精度。對(duì)于在工業(yè)生產(chǎn)中常見(jiàn)的多剛體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，選取其中一種如圖2所示系統(tǒng)進(jìn)行建模。直流減速電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)設(shè)備，對(duì)外提供動(dòng)能。電機(jī)內(nèi)置行星齒輪減速器，以降低轉(zhuǎn)速的辦法來(lái)增大扭矩，動(dòng)能通過(guò)鏈傳動(dòng)的辦法傳遞到旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，帶動(dòng)其繞軸心旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)上的三個(gè)托盤(pán)等效為一個(gè)大圓盤(pán)，其上均勻分布小質(zhì)量物體，由于摩擦力做功，小質(zhì)量物體跟隨托盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)。

針對(duì)此運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，本文提出在仿真軟件中建立電機(jī)帶載伺服系統(tǒng)物理模型，解決數(shù)學(xué)建模對(duì)于實(shí)際擾動(dòng)估計(jì)不準(zhǔn)確的問(wèn)題，更貼近于實(shí)際情況，也更能反映出控制算法對(duì)于多剛體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的控制情況。搭建的直流電機(jī)位置跟蹤系統(tǒng)物理模型如圖3 所示。

圖3 直流電機(jī)帶載物理模型

物理模型前半部分搭建的是電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路?，F(xiàn)實(shí)情況下，控制器產(chǎn)生PWM 信號(hào)改變輸出電壓的占空比，再通過(guò)H 橋電路驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)。在本文仿真中，H 橋模塊有4 個(gè)輸入口，分別為PWM 口、REF 口、REV 口、BRK 口?？刂菩盘?hào)取絕對(duì)值經(jīng)由數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)換模塊輸入至受控電壓源模塊轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，電壓信號(hào)再經(jīng)由PWM 模塊轉(zhuǎn)化為等值PWM 信號(hào)，隨后PWM 信號(hào)接入H 橋模塊驅(qū)動(dòng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)。PWM 模塊輸出頻率為10k Hz，滿(mǎn)占空比輸入電壓為3.3 V。H 橋模塊和PWM 模塊的REF 口與受控電壓源的負(fù)端共地。為使H 橋模塊能夠根據(jù)控制信號(hào)的正負(fù)驅(qū)動(dòng)電機(jī)正反轉(zhuǎn)，設(shè)置參數(shù)反轉(zhuǎn)閾值電壓為趨于零的值。經(jīng)實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)REV 口輸入電壓大于反轉(zhuǎn)閾值電壓時(shí)，H 橋控制電機(jī)反轉(zhuǎn)。因此，取控制信號(hào)的負(fù)值經(jīng)數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)化模塊再轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)接入REV 口。BRK 口為電機(jī)制動(dòng)信號(hào)輸入口，設(shè)置制動(dòng)閾值電壓為大于零的值，外部接地，則電機(jī)不會(huì)制動(dòng)。

物理模型中間部分搭建的是直流減速電機(jī)模型，由電阻、電感、旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)械轉(zhuǎn)換器、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量模塊、轉(zhuǎn)子阻尼模塊、行星齒輪減速箱和理想轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器組成。行星齒輪減速箱模擬直流減速電機(jī)內(nèi)部減速機(jī)構(gòu)，通過(guò)降低直流電機(jī)轉(zhuǎn)速來(lái)提供較大的扭矩。直流減速電機(jī)末端通過(guò)理想轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器模塊模擬旋轉(zhuǎn)編碼器，實(shí)時(shí)反饋伺服系統(tǒng)角速度和角位移。模塊輸出角速度和角位移單位為弧度/秒、弧度，為保證伺服系統(tǒng)控制的精準(zhǔn)度，根據(jù)單位換算關(guān)系，將傳感器輸出信號(hào)輸出角速度和角位移單位為度/秒、度。

物理模型后半部分搭建的是負(fù)載模型，由鏈傳動(dòng)模塊、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量模塊、負(fù)載模塊、輪軸、承載接觸摩擦模塊組成。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量模塊表示的是轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而負(fù)載模塊則是通過(guò)力矩產(chǎn)生模塊給模型施加一個(gè)脈沖信號(hào)代表擾動(dòng)。輪軸模塊將繞軸機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為垂直于軸心機(jī)械平動(dòng)的力。當(dāng)小質(zhì)量物體均勻分布在轉(zhuǎn)盤(pán)邊緣時(shí)，由受力分析可得，摩擦力帶動(dòng)小質(zhì)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)，因此模型中設(shè)置了承載接觸摩擦模塊。在本文研究對(duì)象中，物體的質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量過(guò)小，因此物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)。

行星齒輪減速箱仿真模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖4 所示，由兩組行星齒輪組連接構(gòu)成，模擬直流減速電機(jī)內(nèi)部的減速機(jī)構(gòu)。電機(jī)傳動(dòng)由太陽(yáng)輪輸入，再由行星架齒輪輸出。

圖4 行星齒輪減速箱模塊

單個(gè)行星齒輪組減速比求解公式滿(mǎn)足：

行星齒輪組要達(dá)到同向減速的效果，須使環(huán)形齒圈固定，太陽(yáng)輪輸入，行星架輸出。行星架角速度再作為第二組的太陽(yáng)輪角速度輸入，最后第二組行星架角速度輸出。

解得：

其中，wC為行星架角速度，wS為太陽(yáng)輪角速度，gRS為環(huán)形齒圈與太陽(yáng)輪傳動(dòng)比。

對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式為：

轉(zhuǎn)盤(pán)在仿真中可近似為薄圓盤(pán)，它的面密度為：

在圓盤(pán)上任取半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，質(zhì)量為σ2π rdr。

聯(lián)解(4)、(5)，得圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(4)、(5)、(6)式中：J圓盤(pán)為轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量；R1為轉(zhuǎn)盤(pán)半徑。

2 滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1 直流電機(jī)狀態(tài)方程

構(gòu)建控制器前提是求出直流電機(jī)狀態(tài)方程。根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律，列出直流電機(jī)基本方程式為：

聯(lián)解(7)、(8)、(9)、(10)式可得：

(7)、(8)、(9)、(10)、(11)中，R 為電樞總電阻；i(t)為電樞回路電流；L 為電樞總電感；Ea為反電動(dòng)勢(shì)；u(t)為加載到電機(jī)兩端電壓；KE為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；KT為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)；w為轉(zhuǎn)子角速度；B 為電機(jī)轉(zhuǎn)子阻尼；J 為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；d代表負(fù)載轉(zhuǎn)矩、機(jī)械損耗、電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)等擾動(dòng)。令x1為轉(zhuǎn)子角位移，x2為轉(zhuǎn)子角速度，可得直流電機(jī)狀態(tài)方程為：

2.2 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)期望角位移為xa，則位移跟蹤誤差為：

跟蹤誤差的導(dǎo)數(shù)為：

由李雅普諾夫判據(jù)方法：若存在連續(xù)可導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，且V(x)正定，(x)負(fù)定，則x 漸近穩(wěn)定。

定義Lyapunov 函數(shù)：

取虛擬控制項(xiàng)：

令e2=x2-α，可得：

取滑模面s=e2;

定義Lyapunov 函數(shù)：

設(shè)計(jì)滑模控制項(xiàng)：

滑?？刂破鬟x取合適的趨近律，有利于提高控制器的性能。因此在設(shè)計(jì)趨近律時(shí)采用sat(s)函數(shù)代替sgn(s)函數(shù)，降低抖振。即：

式中：

Δ 為邊界層厚度。

將式(21)代入式(20)中可得：

3 仿真驗(yàn)證

本文仿真驗(yàn)證選用直流減速電機(jī)及負(fù)載參數(shù)如表1 所示，物體質(zhì)量取0.01 kg,轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量取1～15 kg，以此來(lái)檢驗(yàn)控制器帶動(dòng)電機(jī)加載不同負(fù)載的狀態(tài)。

表1 物理模型參數(shù)

行星減速箱仿真結(jié)果如圖5 所示，令環(huán)形齒圈與太陽(yáng)輪傳動(dòng)比gRS1和gRS2為7，輸入常量經(jīng)理想旋轉(zhuǎn)速度源模塊變換為等量的角速度信號(hào)，通過(guò)行星齒輪箱后，再由角速度傳感器測(cè)量前后角速度的比值，可得到仿真總減速比為64。

圖5 行星齒輪減速箱仿真圖

本文仿真對(duì)照組選用工程實(shí)踐中常用的普通PID 控制算法和模糊控制算法作為對(duì)比。經(jīng)試湊法得出較優(yōu)的控制參數(shù)為P=5，I=0.1，D=0.01。滑?？刂扑惴▍?shù)c1=10，ε=10，Δ=0.02。在本文研究對(duì)象中，轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量小于15 kg，當(dāng)期望值為階躍信號(hào)時(shí)，取轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量為1kg，5kg，10kg，15kg 得到如圖6、圖7、圖8、圖9 仿真結(jié)果。如圖所示，普通PID 算法及模糊算法在控制直流減速電機(jī)帶有負(fù)載的情況下會(huì)產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象，隨后在期望值附近振蕩，最終歸于穩(wěn)態(tài)。并且隨著負(fù)載的增大，普通PID 算法控制的位移曲線(xiàn)超調(diào)量變大，振蕩趨于穩(wěn)態(tài)的速度變慢。模糊控制相較于PID 算法,仍然存在超調(diào)現(xiàn)象，但超調(diào)量減小。而本文算法并未產(chǎn)生超調(diào)和振蕩現(xiàn)象，誤差精度控制在0.1 度范圍內(nèi)，但在轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量過(guò)小時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間略慢。

圖6 轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量1 kg

圖7 轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量5 kg

圖8 轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量10 kg

圖9 轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量15 kg

負(fù)載端施加脈沖信號(hào)，通過(guò)轉(zhuǎn)矩傳感器轉(zhuǎn)化為額定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，可得到如圖10 的仿真結(jié)果。在負(fù)載端伴有負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)的情況下，本文控制方法對(duì)于此多剛體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)相較于PID 控制和模糊控制算法，負(fù)載擾動(dòng)產(chǎn)生的角度偏移量小，更快趨于穩(wěn)態(tài)，具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

圖10 突加負(fù)載擾動(dòng)

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)直流減速電機(jī)帶動(dòng)復(fù)雜負(fù)載建立數(shù)學(xué)模型困難、控制效果不佳的問(wèn)題，本文利用Simulink 仿真軟件搭建直流減速電機(jī)帶動(dòng)復(fù)雜負(fù)載的物理模型，解決了復(fù)雜傳動(dòng)系統(tǒng)建模困難問(wèn)題，并運(yùn)用一種基于反步滑模方法實(shí)現(xiàn)電機(jī)位置跟蹤。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該種控制方法在帶動(dòng)不同質(zhì)量復(fù)雜結(jié)構(gòu)負(fù)載下，都能夠避免直流電機(jī)控制過(guò)程中的超調(diào)與振蕩現(xiàn)象，并且具有較強(qiáng)的抗干擾能力，這在一定程度上擴(kuò)大了直流減速電機(jī)在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用范圍。