非線性系統(tǒng)的自適應神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡跟蹤控制

周智勇，葉慶紅，惠賓亮，張劍峰

（上海航天能源股份有限公司，上海，201112）

0 引言

在實際控制過程中，被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一個重要考量。當被控對象身處環(huán)境復雜多變時，其參數(shù)容易受到各種內(nèi)外部因素的影響。為準確得到被控對象的性能指標和控制系統(tǒng)的誤差，利用系統(tǒng)的控制輸入或輸出的變化，自適應調(diào)整控制器參數(shù)使控制系統(tǒng)的性能實現(xiàn)最優(yōu)化，已廣泛運用到飛行器控制、工業(yè)流程控制等[1]。在文獻[2]中，采用魯棒控制理論，對于不確定非線性擾動系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)參數(shù)在變化過程中具有較強的抗干擾能力。在文獻[3]中針對跟蹤精度已知的不確定非線性系統(tǒng)研究了一種半全局穩(wěn)定的自適應神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步控制方案，系統(tǒng)信號有界得以保證。文獻[4]對于動態(tài)干擾的系統(tǒng)給出了一種誤差驅(qū)動的非線性反饋遞推方式，顯著提升了水面艦船自適應神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡跟蹤性能。然而，自適應控制常常受到外部干擾會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，因此，有必要考慮帶外部擾動的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

對存在不確定及外部擾動的非線性系統(tǒng)的建模，難以得到與實際系統(tǒng)一樣的數(shù)學模型。在文獻[5]中，對于輸出受限的擾動系統(tǒng)構(gòu)建控制律，得出系統(tǒng)的模型誤差快速收斂。反步控制發(fā)展三十多年來一直都是非線性系統(tǒng)設(shè)計的核心方式，其實現(xiàn)手段是對原系統(tǒng)分解的子系統(tǒng)完成控制律的設(shè)計，對于帶有擾動和未知參數(shù)的非線性系統(tǒng)，為避免對控制變量導函數(shù)的過度計算，常在反步控制中引入DSC 技術(shù)。在文獻[6]中，利用反步和DSC 技術(shù)，由Lyapunov 穩(wěn)定性理論，得出誤差有界且收斂。在文獻[7]中，針對存在未知動力學的嚴格反饋系統(tǒng)，利用DSC 和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近技術(shù)實現(xiàn)飛行器的穩(wěn)定運行及閉環(huán)信號的一致最終有界。

綜上，本文的行文思路是利用反步控制完成自適應控制律虛擬控制律等控制器的設(shè)計，引入DSC 來克服因反復微分造成的計算負荷，以及用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似逼近非線性系統(tǒng)中的函數(shù)。通過選取非負Lvapunov 泛函，推導出為使非線性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。得到跟蹤誤差在0 附近小幅振蕩。本文的貢獻如下：

（1）設(shè)計的自適應控制律，更新律式(25)及式(24)極大簡化了定理的證明過程。與文獻[8]相比，本文將誤差信號和給定參考軌跡嵌入到自適應控制律(18)中在穩(wěn)定性分析過程中保留更少變量，便于計算。與文獻[9]不同的是，本文用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近系統(tǒng)(1)中的函數(shù)fi，減少變量耦合及計算量。

（2）本文針對非線性擾動系統(tǒng)，采用反步，DSC 及不等式放縮等分析手段，得出閉環(huán)控制信號一致最終有界的條件，如式(39)所示。在例1 中驗證在不同擾動下f1(x1)的位置及速度的跟蹤誤差均收斂到 ∪(0,σ)；在例2 中實現(xiàn)四旋翼無人機系統(tǒng)“彈簧”軌跡跟蹤，得到系統(tǒng)跟蹤誤差在x，y軸方向上均有限時間收斂，跟蹤效果優(yōu)良。

1 準備工作與系統(tǒng)描述

RBF 網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)簡單（類雙層感知機模型），學習能力強，常用于非線性映射及函數(shù)逼近。設(shè)X=[x1,x2,…,xn]T為網(wǎng)絡(luò)的輸入，網(wǎng)絡(luò)隱層中的神經(jīng)元激活單元通常由高斯核函數(shù)（呈正態(tài)分布）組成，層與層之間含有連接權(quán)值，網(wǎng)絡(luò)的輸出，其理想權(quán)值，其中i=1,2,…,n。

引理1.1([10]) 常用的Young 不等式：對任意的a,b≥ 0，，有。

考慮帶有擾動的非線性系統(tǒng)：

式中um是系統(tǒng)輸入的最大值。為便于計算，進一步將u(v)表示為u(v)=mv，且：

假設(shè)1 擾動ψi(t)滿足||ψi||≤ιi，其中ιi＞ 0。

假設(shè)2 給定的參考信號r(t)的導函數(shù)是關(guān)于時間t的可微有界函數(shù)。

注1 對于非線性系統(tǒng)式(1)，需要構(gòu)造自適應控制器，以確保閉環(huán)信號是一致最終有界。假設(shè)1 是式(1)的穩(wěn)定性條件。對于假設(shè)2，參考軌跡的任何階導數(shù)都是有界和連續(xù)的，滿足，其中r(i)表示r(t)的第i階導函數(shù)，?是正的標量。

注2 本文基于式(1)，設(shè)計自適應控制律，虛擬控制律及更新律，使控制器滿足：系統(tǒng)的誤差信號穩(wěn)定后收斂到0的σ鄰域（由仿真驗證實現(xiàn)）；保證緊集中的信號一致有界（由定理證明實現(xiàn)）。

2 控制器設(shè)計

對式(1)中的fi(Xi(t))(i=1,2,…,n)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)做變換：

Step1.e1關(guān)于時間t的導數(shù)為：

設(shè)李雅普諾夫泛函：

由于：

式中μ∈?。根據(jù)式(8)-式(10)可知：

式中l(wèi)i是正的常數(shù)，zi是虛擬控制律。

定義自適應控制律

設(shè)第一個虛擬控制律：

式中l(wèi)i為未知參數(shù)，為ψ1的估計。根據(jù)式(12)，第一個低通濾波器可表示為：

Step i.引入第i個誤差面：

結(jié)合式(5)，對式(16)求導可得：

相應地，第i個自適應控制律：

式中參數(shù)的設(shè)計過程同式(13)。第i個虛擬控制律：

式中l(wèi)i為未知參數(shù)，為ψi的估計。根據(jù)式(12)，第i個低通濾波器表示為：

Step n.設(shè)第n個誤差面信號：

相應地，自適應控制律：

式中ε≠ 0，ρ是未知參數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

定義濾波誤差：

對式(26)求導有：

定理 3.1 考慮系統(tǒng)(5)，自適應控制律(13)，(18)，(23)，虛擬控制律(14)，(19)及更新律(25)。根據(jù)假設(shè)1 和假設(shè)2，使系統(tǒng)(5)中閉環(huán)信號是一致最終有界的條件為l1＞ 2，li＞ 2.5(i=2,…,n-1)，ln＞ 1.5，0 ＜ιi＜ 1(i=1,…,n)，κiλm/χm＜ 0，ρ/γ＞ 0。

證 設(shè)非負Lyapunov 泛函：

同理可知，

根據(jù)式(30)－式(34)并結(jié)合式(25)可知：

由引理1.1 可得：

實際上，

將式(36)-式(37)代入到式(35)，則有：

由式(38)可知，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)li，ιi，κi，λm，χm，ρ，γ需滿足：

4 仿真結(jié)果

例1 設(shè)x1，x2為式(1)的狀態(tài)變量，并有x1(0)=6，x2(0)=0。考慮在不同擾動5sin(x2(t)±x1(t))，2sin(t)，7sin(x2(t)+x1(t))，4cos(t)組合下的跟蹤效果。根據(jù)式(1)，在擾動5sin(x2(t)-x1(t))，2sin(t)下的數(shù)值模型為：

對比在擾動7sin(x2(t)+x1(t))，4cos(t)下的數(shù)值模型為：

在擾動5sin(x2(t)+x1(t))，2sin(t)下的數(shù)值模型為：

RBF 網(wǎng)絡(luò)權(quán)重向量初始化為0，設(shè)激活函數(shù)的寬度為5，中心向量分布在[-15,-9,0,9,15]T，系數(shù)l2=2.5，t2=0.25，κ1=0.04。仿真結(jié)果如圖1～圖6 所示。

圖1 上部分表示在擾動下5sin(x2(t)-x1(t))，2sin(t)下f1(x1)位置實際值與理想值的變化示意圖，二者之差為跟蹤誤差。由圖1 可知，一定時間后跟蹤誤差的值域在區(qū)間[δ2-δ1]內(nèi)振蕩，其中δ2為穩(wěn)定后跟蹤誤差值域的下確界，δ1為穩(wěn)定后跟蹤誤差值域的上確界。圖1 下部分為擾動7sin(x2(t)+x1(t))，4cos(t)下f1(x1)位置跟蹤誤差圖?？梢钥闯鰣D1 上部分|δ1-δ2|L與圖1 下部分|δ1-δ2|R的大小關(guān)系為|δ1-δ2|L＜|δ1-δ2|R，但|δ1-δ2|相對擾動幅值較小，控制系統(tǒng)的跟蹤性能優(yōu)良。圖2～圖6 的分析過程同理。圖2～圖6 中|δ1-δ2|L與|δ1-δ2|R相對關(guān)系如表1 所示(為方便起見，用｜·｜Lj表示圖j(j=1,2,…,6)中上部分|δ1-δ2|的值，用｜·｜Rj表示圖j(j=1,2,…,6)中下部分|δ1-δ2|的值)。例1 閉環(huán)系統(tǒng)的控制原理及仿真驗證的流程圖如圖7 所示。

圖1 式(40)和式(41)下f1(x1)的位置跟蹤對比圖

圖2 式(40)和式(41)下f1(x1)的速度跟蹤對比圖

圖5 式(41)和式(42)下f1(x1)的位置跟蹤對比圖

表1 圖1～圖6中|δ1-δ2|的相對關(guān)系

圖7 例1 系統(tǒng)原理過程圖

例2 本例研究對象選取四旋固定翼無人機。為便于分析與計算，假設(shè)無人機的質(zhì)量均勻分布，結(jié)構(gòu)對稱，槳葉旋轉(zhuǎn)時無偏移。圖8 為某型號無人機在三維空間運動的俯視圖，并抽象出機體坐標系XYZ。

圖8 四旋翼無人機俯視圖及空間坐標系

圖8 中θ1，θ2及θ3分別為運動過程中的橫滾角，俯仰角及偏航角。記q=[x,y,z,θ1,θ2,θ3]T為系統(tǒng)的狀態(tài)，(x，y，z)為無人機在機體坐標系下的位置坐標。將四旋翼無人機的模型寫成Euler-Lagrange 方程的形式，Euler-Lagrange 系統(tǒng)的一般形式為[11]：

令τ.x1=q，x2=，則式(44)可表示為：

采用自適應控制律(13)，(18)，(23)，虛擬控制律(14)，(19)及更新律(25)。令參考軌跡的表達式為：

初始值q(0)=[1,0.8,0.5,0,0,0]T，(0)=[0,π/5,0.20,0,0 0,0]T，仿真時間為15s。仿真結(jié)果如圖9～圖10 所示。

圖9 “彈簧”軌跡跟蹤

圖10 x，y 軸方向的跟蹤誤差

圖9 為“彈簧”軌跡的理想值與實際值，圖10 為x，y軸方向上的跟蹤誤差，實驗表明，在無人機系統(tǒng)中，x，y軸方向的跟蹤誤差均收斂到0 的∪(0,σ)鄰域內(nèi)，可快速實現(xiàn)預定軌跡的跟蹤。

5 總結(jié)

（1）由系統(tǒng)模型出發(fā)，通過恒等變換對系統(tǒng)模型中的未知函數(shù)用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近。在反步控制策略中設(shè)計自適應控制律及虛擬控制律并引入DSC 技術(shù)避免對虛擬控制變量的求導，減少計算負擔。

（2）根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，通過泛函分析，證明了閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定且推導出系統(tǒng)中閉環(huán)信號是一致最終有界的取值范圍。

（3）仿真實驗表明，例1 對比驗證了跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到0 的小鄰域內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)在不同擾動下，控制系統(tǒng)的跟蹤性能好，具有強魯棒性。例2 利用四旋翼無人機系統(tǒng)，選取的跟蹤軌跡為“彈簧”形狀，在整個仿真時間內(nèi)跟蹤誤差均在0 的小鄰域內(nèi)。