似“糖水”一樣有味的一個(gè)教學(xué)案例

黃仁壽

摘 ?要：“函數(shù)的單調(diào)性”一課的教學(xué)展示，以“一碗水中加入一定量的糖，糖水濃度的變化規(guī)律”引入課題，最后用函數(shù)單調(diào)性的定義探究了在“未飽和狀態(tài)下，糖加得越多，糖水越甜”這一生活常識(shí)進(jìn)行呼應(yīng). 教學(xué)設(shè)計(jì)從整體高度確定教學(xué)目標(biāo)，遵從了概念課教學(xué)的一般規(guī)律，始終堅(jiān)持聚焦于學(xué)的基本原則，以問(wèn)題串為抓手推進(jìn)教學(xué)過(guò)程，是恰似“糖水”一樣有味的一個(gè)教學(xué)案例.

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性；整體立意；教學(xué)目標(biāo)；一般規(guī)律；預(yù)設(shè)和生成

“函數(shù)的單調(diào)性”一課的教學(xué)展示，以“一碗水中加入一定量的糖，糖水濃度的變化規(guī)律”引入課題，最后用函數(shù)單調(diào)性的定義探究了在“未飽和狀態(tài)下，糖加得越多，糖水越甜”這一生活常識(shí)進(jìn)行呼應(yīng). 整個(gè)教學(xué)過(guò)程流暢自然、精彩紛呈、引人入勝，堪稱(chēng)似“糖水”一樣有味的一個(gè)教學(xué)案例.

“函數(shù)的單調(diào)性”是高中數(shù)學(xué)函數(shù)主題的一個(gè)核心概念，當(dāng)然也是一個(gè)十分傳統(tǒng)的內(nèi)容. 執(zhí)教教師將傳統(tǒng)的內(nèi)容教出了新意. 具體表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

一、從整體高度確定課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

大單元整體立意是近年來(lái)關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的熱門(mén)話(huà)題. 從單元教學(xué)的層序性來(lái)看，函數(shù)的單調(diào)性的學(xué)習(xí)分為四個(gè)層次. 第一層次，從圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)渡，理解函數(shù)的單調(diào)性的概念，體會(huì)常用邏輯用語(yǔ)的重要意義，會(huì)用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；第二層次，研究幾種初等函數(shù)的單調(diào)性，理解用代數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性的基本思路；第三層次，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，感悟?qū)?shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性的有力工具；第四層次，利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列、不等式、方程等問(wèn)題，理解研究函數(shù)的單調(diào)性既是數(shù)學(xué)本身的需要，更是表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的需要，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的有效語(yǔ)言. 本節(jié)課的教學(xué)位于第一層次.

本節(jié)課在給函數(shù)的單調(diào)性下定義時(shí)，以[fx=x2]為例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性定義中“[?x1，x2∈D]（[D]為定義域的子集）”中[x1，x2]的任意性進(jìn)行了深度辨析，從而理解無(wú)論是取兩個(gè)值[x1，x2]或是取三個(gè)值[x1，x2，x3，] 甚至取無(wú)數(shù)多個(gè)值[x1，x2，x3，…]，均不能保證“[?x1，x2∈0，+∞，] 當(dāng)[x1

這是近年來(lái)高中數(shù)學(xué)教學(xué)立意的最明顯改變，是值得高度肯定的一種變化.

二、遵從概念課教學(xué)的一般規(guī)律

近年來(lái)，得到普遍認(rèn)同的概念課教學(xué)的一般規(guī)律是：先為概念的引入創(chuàng)建一個(gè)適切的情境，再在特定的情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，接著對(duì)概念進(jìn)行辨析和變式訓(xùn)練，最后進(jìn)行歸納總結(jié)和作業(yè)布置.

本節(jié)課以“糖水中不斷加糖，糖水越來(lái)越甜”創(chuàng)建了函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題情境，在學(xué)生熟悉并喜歡的背景中提出了函數(shù)單調(diào)性的概念，并以“糖水濃度問(wèn)題”為例詮釋了函數(shù)單調(diào)性定義的具體應(yīng)用，以及運(yùn)用過(guò)程中的一般程序，同時(shí)呼應(yīng)了引入課題的情境，可謂匠心獨(dú)運(yùn). 本節(jié)課教學(xué)所遵從的正是概念課教學(xué)的一般規(guī)律.

三、始終堅(jiān)持聚焦于學(xué)的基本原則

數(shù)學(xué)教學(xué)的植根基點(diǎn)在于學(xué)生的學(xué). 本節(jié)課堅(jiān)持了以“四基”為抓手，以“四能”為指向，以學(xué)生發(fā)展為中心的素養(yǎng)立意的教學(xué)觀. 教學(xué)中能充分地讓學(xué)生展示，并通過(guò)展示過(guò)程中的反饋調(diào)節(jié)，使教學(xué)的預(yù)設(shè)和生成成為一個(gè)相得益彰的有機(jī)統(tǒng)一體.

本節(jié)課的教學(xué)預(yù)設(shè)是符合課時(shí)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際的. 執(zhí)教教師沒(méi)有將任何一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論強(qiáng)加給學(xué)生. 每個(gè)結(jié)論都是在執(zhí)教教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主思考、合作交流后得出的. 與此同時(shí)，執(zhí)教教師給予了學(xué)生充分的展示空間. 展示中還有許多精彩的生成，執(zhí)教教師恰時(shí)恰點(diǎn)地因勢(shì)利導(dǎo)，放大了生成的正效應(yīng)，也讓學(xué)生體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，從而發(fā)展了學(xué)生的情感、態(tài)度.

例如，在師生良性的雙邊活動(dòng)中得出來(lái)的刻畫(huà)單調(diào)性的差商模型（如圖1），就是一個(gè)很好的生成.

再如，執(zhí)教教師布置的作業(yè)中包含一道必做題和一道選做題，具體如下.

作業(yè)1（必做題）：證明函數(shù)[y=x+2x]在區(qū)間[0， 2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，+∞]上單調(diào)遞增.

作業(yè)2（選做題）：利用畫(huà)板工具探究[fx1-fx2x1-x2]的大小與某區(qū)間內(nèi)函數(shù)值增長(zhǎng)快慢的關(guān)系.

這兩道作業(yè)題不是簡(jiǎn)單的“拿來(lái)主義”，而是課堂教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步深化和新的生成，也是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的進(jìn)一步延伸. 這是本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)出彩之處.

四、以問(wèn)題串為抓手推進(jìn)教學(xué)過(guò)程

本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程分為六個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)由九個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題串緊密相連、順次相依，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)了函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過(guò)程. 這個(gè)過(guò)程具有數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的啟迪功能. 以問(wèn)題串為抓手，以提問(wèn)和追問(wèn)為手段，在特定的問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，在不斷的問(wèn)題解決中發(fā)展數(shù)學(xué)能力，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，已經(jīng)成為教學(xué)過(guò)程的一般規(guī)律. 執(zhí)教教師遵從并發(fā)展了這個(gè)規(guī)律.

值得商榷的是，本節(jié)課的課題引入用了三個(gè)情境，分別是糖水問(wèn)題、李白《將進(jìn)酒》詩(shī)句、嘉峪關(guān)溫度曲線，費(fèi)時(shí)較多. 雖然《將進(jìn)酒》詩(shī)句具有濃郁的文化味，也確可以作為函數(shù)單調(diào)性概念的“先行組織者”，但筆者認(rèn)為要忍痛割?lèi)?ài)，因?yàn)閮蓚€(gè)引入情境已經(jīng)足夠了，多了反而會(huì)沖淡情境的作用. 而且《將進(jìn)酒》相關(guān)內(nèi)容在課堂教學(xué)中沒(méi)有呼應(yīng)，如果不用它，就做到了“所有的情境都有呼應(yīng)了”，這不是更好嗎？

本節(jié)課過(guò)程流暢、回味良多，是恰似“糖水”一樣有味的一個(gè)教學(xué)案例.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.