對一幅習(xí)題插圖的糾正及延伸思考

姜兵 邵云

摘? ?要：從定性分析、實(shí)驗(yàn)探究、理論證明、函數(shù)作圖四個(gè)方面，對一道習(xí)題的一幅問題插圖進(jìn)行了討論、糾正，并對大擺角單擺擺線的拉力隨時(shí)間的變化情況進(jìn)行了初步的實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)現(xiàn)了一些特點(diǎn)和規(guī)律。

關(guān)鍵詞：擺線拉力；時(shí)間；圖像；余弦；擺角

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）4-0057-4

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)一道習(xí)題的插圖存在錯(cuò)誤，下面通過定性分析、DIS實(shí)驗(yàn)探究、理論證明并作圖，對該插圖進(jìn)行糾正，同時(shí)對相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旆治觥?/p>

1? ? 問題的緣起及初步的分析

原題 如圖1甲所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，將力傳感器接在擺球與O點(diǎn)之間?，F(xiàn)將擺球拉到A點(diǎn)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)A，C兩位置之間來回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置。圖1乙表示細(xì)線對擺球的拉力大小F隨時(shí)間t的變化曲線，其中t = 0為擺球從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，重力加速度g取10 m/s2。

（1）求單擺的振動(dòng)周期和擺長；

（2）求擺球的質(zhì)量；

（3）求擺球運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度。

這是一道單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律與力學(xué)定律相結(jié)合的習(xí)題，從題中圖1乙所給出的數(shù)據(jù)信息即可以解出答案。但是，當(dāng)筆者解完此題后重新審視圖1乙時(shí)卻發(fā)現(xiàn)該圖并不正確，曲線應(yīng)該呈現(xiàn)余弦函數(shù)曲線的形狀，而不是圖中的“齒”狀。對此分析，提出以下兩條理由。

1.1? ? 從因果關(guān)系來看

經(jīng)典物理學(xué)中一切連續(xù)變化系統(tǒng)內(nèi)的物理量均應(yīng)該是連續(xù)且可以無限求導(dǎo)的，這是由物質(zhì)分布與時(shí)空分布的連續(xù)性及因果律所決定的。要出現(xiàn)圖1乙中函數(shù)曲線在0.4π s，0.8π s位置其形狀上的尖點(diǎn)現(xiàn)象，勢必需要巨大的外力（比如沖力）參與才行。顯然，圖1甲中單擺質(zhì)點(diǎn)在其最高點(diǎn)A或C并未受到巨大的外力作用，因此圖1乙中函數(shù)曲線的尖點(diǎn)現(xiàn)象是不應(yīng)該存在的。

1.2? ? 從最高點(diǎn)瞬時(shí)速度等于零的特點(diǎn)來看

擺線拉力最小時(shí)擺球位于最高點(diǎn)，此時(shí)擺球的瞬時(shí)速度為零，并且瞬時(shí)速度在該零值附近還“維持”了一小段時(shí)間。因此，與速度值相關(guān)聯(lián)的擺線拉力（見下文）也會(huì)在此“滯留”一小段時(shí)間，即擺線張力在此隨時(shí)間的變化率（圖1乙中曲線的斜率）應(yīng)該為零。

盡管以上理由看起來已經(jīng)“十分”充分，但筆者仍然覺得有必要進(jìn)行更加深入細(xì)致的研究。

2? ? 實(shí)驗(yàn)探究、理論證明及圖像糾正

2.1? ? 利用實(shí)驗(yàn)探尋真實(shí)的圖像

實(shí)驗(yàn)器材 上海中將PASCO向心力擺，配套的力傳感器，支架，配套的數(shù)據(jù)傳輸處理設(shè)備。

實(shí)驗(yàn)操作 將實(shí)驗(yàn)單擺拉離平衡位置4°擺角由靜止釋放，并采集數(shù)據(jù)；擺角不變，改變擺長及擺球質(zhì)量重復(fù)實(shí)驗(yàn)；處理數(shù)據(jù)得到圖像如圖2所示。其中，圖2（a）為實(shí)驗(yàn)裝置圖，力傳感器被專用固件固定在工作臺(tái)邊沿；圖2（b）是兩種不同擺長的F-t圖像的對比圖，其中曲線I所對應(yīng)的擺長約為曲線II的4倍。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，減小采集數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔設(shè)置，使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布密集。這樣，盡管沒有用光滑曲線擬合，但從這些“緊挨”著的坐標(biāo)點(diǎn)已經(jīng)可以看出：曲線在極值點(diǎn)附近均呈圓弧狀，沒有“尖點(diǎn)”的現(xiàn)象；曲線的形狀確實(shí)與余弦函數(shù)圖像非常相似，而與圖1乙差別顯著。

2.2? ? 推導(dǎo)F（t）的具體函數(shù)以證明圖像

圖2（b）中的圖像到底是不是余弦函數(shù)圖像？接下來從理論上推導(dǎo)證明之。

根據(jù)原題意，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。設(shè)單擺的擺長為l，最大擺角為θ0，擺球擺至圖示P位置時(shí)擺線與豎直方向成θ角，θ0與θ均很?。涣碓O(shè)擺球的質(zhì)量為m，其重力G的分力分別為G1，G2。

由（13）式可見，在小角度擺動(dòng)的情況下，擺線對擺球的拉力近似隨時(shí)間呈余弦規(guī)律變化，這就證明了對圖2（b）中曲線形狀的余弦猜想。

2.3? ? 對圖1乙的糾正

根據(jù)F（t）的表達(dá)式（13）式并應(yīng)用Excel軟件，即可繪出F-t的正確圖像，以糾正原題圖1乙。顯然，要做到這一點(diǎn)，勢必需要根據(jù)圖1乙中的具體數(shù)據(jù)，先確定擺長l、擺球質(zhì)量m、最大擺角θ0的具體數(shù)值。其求解過程如下：

3? ? 問題的延伸

為了進(jìn)一步了解單擺在大擺角下拉力隨時(shí)間的變化情況，筆者用一質(zhì)量為0.108 kg、擺長為0.45 m的單擺，分別做了15°，30°，60°，90°4個(gè)大擺角下的擺線拉力監(jiān)測實(shí)驗(yàn)，并繪制出4條相應(yīng)的拉力隨時(shí)間的變化曲線，如圖5所示。從圖5中同一曲線的“波峰”與“波谷”處的等時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)密度的對比情況大致可見（實(shí)驗(yàn)精度原因），擺角越大，“波峰”相對于“波谷”會(huì)顯得越尖銳，F(xiàn)-t圖像會(huì)愈加偏離余（正）弦函數(shù)圖像，愈加表現(xiàn)出“峰細(xì)谷粗”的不對稱性。

從（21）式不難看出，隨著擺角θ0從15°增大至90°，拉力值的變化幅度Fmax-Fmin會(huì)越來越大，并且該幅度隨擺角θ0增大得也越來越快（cosθ0的緣故），這就解釋了圖5中15°與30°擺角下拉力幅度Fmax-Fmin變化不大的現(xiàn)象。另外，從圖5中又可見，隨著擺角θ0的增大，大幅度單擺擺動(dòng)的周期也在增加。對于該現(xiàn)象的解釋，與上文“峰細(xì)谷粗”的現(xiàn)象一樣，均需要用到較高端的橢圓積分知識(shí)。由于這些與本文的主題不甚相關(guān)，因此不予討論，有興趣的讀者不妨嘗試加以研究。

4? ? 結(jié)? 語

本文從定性分析、實(shí)驗(yàn)探究、理論證明、函數(shù)作圖四個(gè)方面，對一幅問題插圖進(jìn)行了充分的討論和糾正。此外，還對大擺角單擺擺線的拉力F隨時(shí)間t的變化情況進(jìn)行了初步的實(shí)驗(yàn)探究，結(jié)果表明：隨著擺角θ0的增大，F(xiàn)-t圖像會(huì)逐漸遠(yuǎn)離小擺角下的余（正）弦函數(shù)圖像，逐漸表現(xiàn)出“峰細(xì)谷粗”的形狀特征。

物理學(xué)中一切連續(xù)系統(tǒng)內(nèi)的物理量一般均可以無限地求導(dǎo)，這就相當(dāng)于數(shù)學(xué)上的解析函數(shù)的概念［1］。這也是判斷物理圖像是否真實(shí)可靠的慣常依據(jù)之一。

數(shù)字化信息系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室（DISLab）設(shè)備的使用，可以讓我們在不了解物理量的具體函數(shù)的情況下，直接獲得真實(shí)的物理量及其隨參量的變化圖像。這極大地拓展了我們的物理視野，提升了物理素養(yǎng)。

圖像是最簡潔、最直觀的物理語言之一。盡管圖1乙對于原題的求解并不構(gòu)成直接的影響，但是其不恰當(dāng)?shù)膱D像仍可能會(huì)對一些讀者產(chǎn)生一定的負(fù)面影響。因此，圖像的制作是習(xí)題編制的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，不能隨意。

參考文獻(xiàn)：

［1］胡嗣柱，倪光炯.數(shù)學(xué)物理方法（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：7-8.

（欄目編輯? ? 蔣小平）