把握整體 注重關(guān)聯(lián) 突出本質(zhì)

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)體系。以二次函數(shù)的教學(xué)為例，教師可從“坐標(biāo)的數(shù)值變化”與“圖形的位置變化”的關(guān)系著手，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象的左右平移規(guī)律，明確研究的路徑與研究方法，注重與前后所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化學(xué)生對二次函數(shù)本質(zhì)的理解。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；整體關(guān)聯(lián)；數(shù)學(xué)本質(zhì)；二次函數(shù)圖象

【中圖分類號(hào)】G633.6 "【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A "【文章編號(hào)】1005-6009（2023）42-0039-04

【作者簡介】張鋒，江蘇省無錫市梅梁中學(xué)（江蘇無錫，214092）黨支部書記、校長，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在教學(xué)建議中指出：為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)；在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)體系。一方面要了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，了解課程內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容的安排意圖，另一方面強(qiáng)化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

在以課時(shí)為單位的教學(xué)中，教師比較關(guān)注局部知識(shí)和技能的獲得，忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，忽略了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究方法的一致性，導(dǎo)致學(xué)生對知識(shí)的發(fā)展過程缺乏整體感知，不能正確理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。如何整體把握教學(xué)內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？下面，筆者以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中注重知識(shí)之間關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、基本情況分析

1.教材分析

蘇科版教材中關(guān)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的內(nèi)容是按從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的順序安排的，其中數(shù)形結(jié)合的思想貫穿整個(gè)過程。本節(jié)課主要研究函數(shù)y=ax2與y=ax2+k、y=a（x+h）2圖象之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)對應(yīng)值表、圖象三個(gè)角度認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的左右、上下平移，用運(yùn)動(dòng)變化的視角，從“坐標(biāo)的數(shù)值變化”與“圖形的位置變化”的關(guān)系著手，探索二次函數(shù)y=ax2+k、y=a（x+h）2的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系。

2.學(xué)情分析

授課班級(jí)的教師對該單元內(nèi)容已進(jìn)行了重組：學(xué)生已學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax2+k與y=ax2的圖象之間的關(guān)系，知道了二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征及性質(zhì)，已初步體會(huì)研究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的一些基本方法和數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)通過上下平移的方法解釋二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與y=ax2的圖象的位置關(guān)系，對于“坐標(biāo)的數(shù)值變化”引起“圖形的位置變化”有初步的直觀感受。

二、備課環(huán)節(jié)思考

本節(jié)課的教學(xué)中，筆者分別從數(shù)和形兩個(gè)角度進(jìn)行對比，幫助學(xué)生理解自變量x“左加右減”的本質(zhì)，為此，筆者在備課時(shí)主要思考如下。

一是明確研究的路徑。從函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)對應(yīng)值表、圖象三個(gè)角度認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象的左右平移，從函數(shù)圖象上下平移的認(rèn)識(shí)遷移到對左右平移的認(rèn)識(shí)，多維度理解函數(shù)圖象的平移。二是明確研究的方法。類比上下平移的特征，學(xué)生可知左右平移的特征是縱坐標(biāo)不變，教師可帶領(lǐng)學(xué)生觀察橫坐標(biāo)的變化，取同一函數(shù)值y，由表達(dá)式求出相應(yīng)的x的值，觀察其大小關(guān)系，再在坐標(biāo)系中找出對應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系，從而得出平移的規(guī)律。

三、教學(xué)過程

1.課前熱身

師：請大家做一做這道習(xí)題“函數(shù)y=-x2+2的圖象是一條開口_____的_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，對稱軸是______，可由函數(shù)y=-x2的圖象向____平移___個(gè)單位長度得到?！痹诮忸}過程中，如何繪制這個(gè)二次函數(shù)的圖象？

生：可用列表、描點(diǎn)、連線來畫圖象；也可以先畫出y=-x2的圖象，再向上平移2個(gè)單位。

師：同學(xué)們的思路非常好！上節(jié)課我們研究了哪一類二次函數(shù)？這類函數(shù)圖象與y=ax2（a≠0）的圖象之間有什么關(guān)系？

生：研究了函數(shù)y=ax2+k（a≠0），它是由函數(shù)y=ax2（a≠0）沿y軸上下平移得到。

【設(shè)計(jì)意圖】課前熱身環(huán)節(jié)引入一道練習(xí)題，既幫助學(xué)生回顧二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與性質(zhì)，又可以了解學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，回顧上一節(jié)課中已學(xué)過的研究二次函數(shù)圖象的路徑與方法，為本節(jié)課學(xué)習(xí)提供思路和鋪墊。

2.探究新知

師：請大家思考三個(gè)問題。（1）函數(shù)圖象的平移，除了上下平移，還可以是？（2）接下來你準(zhǔn)備研究哪一種形式的二次函數(shù)？為什么？（3）根據(jù)你的已有經(jīng)驗(yàn)，你打算如何進(jìn)行研究？

生：二次函數(shù)圖象除了上下平移外，還可以左右平移；接下來，我們可以研究y=（x+1）2、y=（x-1）2、y=（x+3）2等函數(shù)，可以通過畫圖或列表計(jì)算的方法進(jìn)行研究。

師：非常好，同學(xué)們通過類比、猜想的數(shù)學(xué)方法，提出了y=（x+1）2、y=（x-1）2、y=（x+3）2等函數(shù)，我們可以概括為y=a（x+h）2。在研究這類二次函數(shù)時(shí)，可依舊采用畫函數(shù)圖象的通法——列表、描點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，再觀察其位置關(guān)系；還可以從函數(shù)表達(dá)式入手，抓住左右平移“縱坐標(biāo)不變”的特征，對同一函數(shù)值y，可求出相應(yīng)的自變量x，再觀察由此引起的位置變化。下面，請大家以特殊函數(shù)y=x2和y=（x+1）2為對象，展開探究，完成以下問題。為了方便區(qū)分，將兩個(gè)函數(shù)分別記為：y1=x12和y2=（x2+1）2。

（1）從表達(dá)式上看：由函數(shù)左右平移特征可知，y1=y2時(shí)，自變量x1、x2之間的數(shù)量關(guān)系為： " " " " " " " " " " " " " " " 。（可填：x1=x2+1或x1=-x2-1）

（2）從函數(shù)對應(yīng)值看：如下表，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)，自變量x2比x1 " " " " " （填“大”或“小”）1個(gè)單位長度，即函數(shù)y2圖象上的每個(gè)點(diǎn)是由函數(shù)y1圖象上的對應(yīng)點(diǎn)向左平移1單位長度所得。

[x1 … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y1=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 … x2 … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 … y2＝（x+1）2 … 16 9 4 1 0 1 4 … ]

（3）從圖象上看：函數(shù)y2=（x+1）2的圖象是由函數(shù)y1=x2的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的?，F(xiàn)在你能得出函數(shù)y2=（x+1）2的圖象的性質(zhì)嗎？函數(shù)y=（x-1）2的圖象和y=x2的圖象的位置有何關(guān)系？函數(shù)y=（x-1）2的圖象有哪些性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)伊始，筆者設(shè)置了三個(gè)問題，引出本節(jié)課的研究內(nèi)容——二次函數(shù)的左右平移。自然承接上一節(jié)內(nèi)容，體現(xiàn)了知識(shí)的延續(xù)和關(guān)聯(lián)性，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的完整結(jié)構(gòu)。為了讓學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)圖象表達(dá)式“數(shù)值變化”所引發(fā)的“位置變化”，筆者設(shè)計(jì)了讓學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)函數(shù)值相同的兩個(gè)函數(shù)自變量之間“平移關(guān)系”的表格，也可以設(shè)置成如下錯(cuò)位的表格，讓學(xué)生感受自變量的“平移”。

[x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y＝（x+1）2 … 9 4 1 0 1 4 9 … ]

把表格設(shè)計(jì)成錯(cuò)位的形式，可引導(dǎo)學(xué)生展開觀察和思考活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)值相等的兩個(gè)函數(shù)自變量之間的關(guān)系，從中感受函數(shù)圖象的“平移”的關(guān)系，從不同角度理解自變量x“加、減”的本質(zhì)，與初一所學(xué)內(nèi)容數(shù)軸上點(diǎn)的平移具有一致性的結(jié)論。

3.概括結(jié)論

思考：（1）根據(jù)自己的探究過程，請?jiān)诮M內(nèi)交流一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？現(xiàn)在是否可以得到一般的函數(shù)y=a（x+h）2的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系？（2）函數(shù)y=a（x+h）2的圖象有什么性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過相互交流、補(bǔ)充，逐步完善函數(shù)y=a（x+h）2的性質(zhì)，對函數(shù)的認(rèn)識(shí)也更深入，更好地理解了二次函數(shù)的本質(zhì)。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生知道了二次函數(shù)的增減性、開口方向和最大（?。┲狄謅gt;0和alt;0兩種情況來討論，再根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)，突出“數(shù)形結(jié)合”的思想。

4.例題解析

例題：請說出函數(shù)y=-2（x-3）2的圖象與y=-2x2圖象之間的位置關(guān)系，并畫出其圖象。

追問：函數(shù)y=-2（x-3）2的圖象是否可以由y=-2（x+1）2的圖象平移得到？

反思：對于形狀相同的拋物線，如何快速進(jìn)行平移？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)本例的目的，是讓學(xué)生直接運(yùn)用剛才得出的平移結(jié)論，讓學(xué)生進(jìn)一步理解：研究形狀相同的二次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，抓住核心——拋物線的頂點(diǎn)，即可快速確定如何平移。

5. 課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)過程中用到了哪些方法？

（2）根據(jù)研究二次函數(shù)的思路，你覺得接下來要研究什么？如何進(jìn)行研究？

四、教學(xué)反思

1.整體把握教學(xué)內(nèi)容，理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)

初中階段學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)雖有階段性的差異和發(fā)展，但內(nèi)容上具有整體性，邏輯上具有連貫性，思想上具備一致性，方法上具有普適性，思維上具有系統(tǒng)性。

二次函數(shù)的研究是蘇科版教材中函數(shù)的收尾部分，數(shù)形結(jié)合思想貫穿函數(shù)研究過程的始終。本節(jié)課的教學(xué)中，筆者結(jié)合一次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，整體把握二次函數(shù)的本質(zhì)和圖象與性質(zhì)主題的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+k與y=a（x+h）2的本質(zhì)，建構(gòu)起二次函數(shù)主題下的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

2.經(jīng)歷完整探究過程，培養(yǎng)學(xué)生整體思維

教師在設(shè)計(jì)時(shí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的結(jié)構(gòu)化的探究過程：從觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納中獲得猜想進(jìn)而證明，從問題的發(fā)現(xiàn)、提出，再到問題的分析、解決，從數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)到數(shù)學(xué)模型的建立，再從求解模型到最后驗(yàn)證模型。這樣，學(xué)生在經(jīng)歷完整的獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，積累數(shù)學(xué)探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的整體性，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］孫曉天，沈杰.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀：初中數(shù)學(xué)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.