網(wǎng)絡(luò)信息工程應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)教學(xué)法研究

摘" 要：網(wǎng)絡(luò)信息工程等新工科專業(yè)在人才培養(yǎng)過程中普遍存在數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足的問題，表現(xiàn)在廣度上數(shù)學(xué)視野狹窄，深度上數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱。針對此問題該文提出關(guān)聯(lián)教學(xué)法，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)信息工程的專業(yè)特點(diǎn)，把應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)庫劃分為核心集和擴(kuò)展集，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)庫和專業(yè)知識(shí)庫之間建立粗、細(xì)顆粒度的兩級(jí)關(guān)聯(lián)。由工程問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，由應(yīng)用數(shù)學(xué)支撐專業(yè)知識(shí)體系，通過發(fā)掘關(guān)聯(lián)案例、建立關(guān)聯(lián)案例集、教學(xué)實(shí)踐三步進(jìn)行關(guān)聯(lián)教學(xué)。通過三個(gè)案例演示關(guān)聯(lián)教學(xué)法的實(shí)施過程。實(shí)踐證明，關(guān)聯(lián)教學(xué)法有助于從廣度和深度兩個(gè)維度解決本科生數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足的問題，幫助學(xué)生建立立體化網(wǎng)狀的知識(shí)體系。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)信息工程；應(yīng)用數(shù)學(xué)；關(guān)聯(lián)教學(xué)法；知識(shí)庫；關(guān)聯(lián)案例

中圖分類號(hào)：G640" " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號(hào)：2096-000X（2023）29-0139-05

Abstract： Lack of mathematics reserve is a long existing problem in the education for new engineering majors like network information engineering. It shows students have narrow horizon and weak foundation with mathematics. To solve this problem， this paper proposed a correlative teaching method. Based on the specialty characteristics of network information engineering， applied mathematics library is classified into kernel set and extension set， and it is correlated to specialty knowledge library by two grades of connection， coarse granularity and fine granularity. The correlative teaching method is based on the tenet of \"Engineering questions introduce mathematics learning， and applied mathematics supports specialty knowledge system\". The method is composed of three steps： designing correlative samples， building the library of correlative samples， teaching practices. Three teaching cases are given to show how to implement the method. Practices showed that the method could help conquer the problem of \"lack of mathematics reserve\" from two dimensions of horizon and depth， and help students build a solid mesh knowledge system.

Keywords： network information engineering; Applied Mathematics; correlative teaching method; knowledge library; related case

基金項(xiàng)目：2023年度廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題（高等教育專項(xiàng)）“新工科電子信息類專業(yè)的關(guān)聯(lián)教學(xué)研究”（２０２３ＧＸＪＫ４８６）；2021年度廣東省本科高校高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“面向工程認(rèn)證的網(wǎng)絡(luò)信息工程相關(guān)新工科專業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)教育研究”（粵教高函[2021]29號(hào)）；2021年度廣東省高等學(xué)校教學(xué)管理學(xué)會(huì)課程思政建設(shè)項(xiàng)目“信息理論與編碼”（粵高校教管學(xué)會(huì)[2022]1號(hào)）；2022年度廣東省高等教育學(xué)會(huì)實(shí)驗(yàn)室管理專業(yè)委員會(huì)基金項(xiàng)目“粗細(xì)顆粒度相結(jié)合的《計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)》實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法”（GDJ20220290）；2020年度廣東省課程思政示范課堂項(xiàng)目“物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)（傳感器網(wǎng)絡(luò)）”（粵教高函[2021]4號(hào)）；2022年度廣東省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“基于網(wǎng)絡(luò)信息論的均勻分?jǐn)?shù)網(wǎng)絡(luò)容量域研究”（2022A1515011345）；2021年度廣東省普通高校特色創(chuàng)新項(xiàng)目“基于網(wǎng)絡(luò)編碼的云存儲(chǔ)編碼研究”（2021KTSCX124）；２０２３年度梅州市自組網(wǎng)與云計(jì)算工程技術(shù)研究中心（２０２３ＧＣ０３）；2022年度梅州市社會(huì)發(fā)展科技計(jì)劃項(xiàng)目“基于OPNET的森林火險(xiǎn)監(jiān)防傳感網(wǎng)和災(zāi)害救助應(yīng)急通信網(wǎng)仿真研究”（2022B110）；2022年度嘉應(yīng)學(xué)院課程思政示范課程項(xiàng)目“物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)”（嘉院教[2022]48號(hào)）；2020年度嘉應(yīng)學(xué)院高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“網(wǎng)絡(luò)信息工程相關(guān)新工科專業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)教育研究”（JYJG20200102）；2022年度嘉應(yīng)學(xué)院高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“面向工程認(rèn)證的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)教學(xué)體系”（JYJG2022222）；2021年度嘉應(yīng)學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目“計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)”（嘉院教[2021]20號(hào)）；2023年嘉應(yīng)學(xué)院科研項(xiàng)目“基于OPNET的移動(dòng)自組網(wǎng)MAC協(xié)議研究”（2023KJY020）

第一作者簡介：劉宴濤（1975-），男，漢族，吉林蛟河人，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)通信、網(wǎng)絡(luò)信息論、物聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算等。

*通信作者：秦娜（1982-），女，漢族，遼寧葫蘆島人，博士，助理實(shí)驗(yàn)師。研究方向?yàn)榻逃夹g(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等。

網(wǎng)絡(luò)信息工程是在通信工程、電子信息工程、網(wǎng)絡(luò)工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等傳統(tǒng)工科專業(yè)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，通過對這些專業(yè)交叉、融合、改造、升級(jí)形成的新工科專業(yè)?，F(xiàn)代社會(huì)已經(jīng)進(jìn)入了“萬物互聯(lián)，無網(wǎng)不勝”的網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，隨著通信網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施的日益完善和三網(wǎng)融合的不斷推進(jìn)，催生出電子商務(wù)、搜索引擎、門戶網(wǎng)站、網(wǎng)絡(luò)直播、視頻點(diǎn)播、智能電網(wǎng)、移動(dòng)通信、云計(jì)算和物聯(lián)網(wǎng)等眾多新技術(shù)、新經(jīng)濟(jì)和新業(yè)態(tài)，并進(jìn)而帶動(dòng)上下游產(chǎn)業(yè)鏈，極大推動(dòng)了國民經(jīng)濟(jì)的突飛猛進(jìn)發(fā)展。這些新興的互聯(lián)網(wǎng)產(chǎn)業(yè)亟需大量熟悉通信、計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)知識(shí)的專門人才。由于網(wǎng)絡(luò)通信涉及到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活的方方面面，從衛(wèi)星遙測到潛艇導(dǎo)航，從民用移動(dòng)通信到軍用戰(zhàn)術(shù)數(shù)據(jù)鏈，從森林監(jiān)測到社區(qū)安防，從視頻會(huì)議到遠(yuǎn)程醫(yī)療，應(yīng)用領(lǐng)域之廣、涉及技術(shù)之多是其他工業(yè)形式所不能比擬的，所以網(wǎng)絡(luò)信息工程人才的知識(shí)和技能應(yīng)該是多維度、全方位的，這就對相關(guān)專業(yè)的課程內(nèi)容和教學(xué)方法體系提出了新的、更高的要求。

在網(wǎng)絡(luò)信息工程人才培養(yǎng)體系的建設(shè)過程中，始終存在著一個(gè)亟待解決的卡脖子問題，即“數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足”，這個(gè)問題在傳統(tǒng)工科專業(yè)的人才培養(yǎng)過程中也長期存在并廣為用人單位所詬病。比如學(xué)生進(jìn)入企業(yè)實(shí)習(xí)或參加面試的過程中，常有用人單位抱怨：“工科專業(yè)的本科生怎么連dB是什么都不知道？通信專業(yè)學(xué)生怎么不懂香農(nóng)公式？本科生怎么不會(huì)用數(shù)值分析的方法計(jì)算微積分？”凡此種種，雖然這些只是個(gè)案，不能代表本科生的普遍水平，但至少從側(cè)面反映了現(xiàn)有工科培養(yǎng)體系中的確存在“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)、知識(shí)面不廣闊”的問題。

為了解決工科專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足的問題，很多研究者從不同的角度進(jìn)行了探索。彭慧春等[1]在新工科背景下針對多學(xué)科交叉探究式數(shù)學(xué)教學(xué)提出了三種教學(xué)模式：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、基于數(shù)學(xué)問題的探究模式。陳焱[2]針對工程數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題，在教材選用、教學(xué)內(nèi)容、考核方式等方面提出了一系列改革措施。類似的，針對工程數(shù)學(xué)教育中存在的重計(jì)算輕思想、重理論輕應(yīng)用、與計(jì)算機(jī)和大數(shù)據(jù)時(shí)代不相銜接等問題，宋述芳等[3]從學(xué)生的創(chuàng)新思維及應(yīng)用和教師的教學(xué)方法及手段兩個(gè)角度深入探究了如何進(jìn)行工程數(shù)學(xué)教育改革，以滿足社會(huì)對于創(chuàng)新應(yīng)用型人才的需要。楊文霞等[4]站在課程群的角度，本著工程數(shù)學(xué)服務(wù)于新工科建設(shè)的理念，闡述了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和復(fù)變函數(shù)與積分變換這兩門課程的教學(xué)改革實(shí)踐。文獻(xiàn)[5]和[6]分別討論了新工科背景下高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析這兩門課程的應(yīng)用型教學(xué)改革問題。通過分析新工科導(dǎo)向下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的困境，楊永富等[7]以河海大學(xué)為例，提出并創(chuàng)建了大學(xué)數(shù)學(xué)課程的“1455”創(chuàng)新能力培養(yǎng)體系。上述研究都是基于新工科的大背景下，更為具體的，王先傳等[8]針對計(jì)算機(jī)類專業(yè)的人才培養(yǎng)，基于“翻轉(zhuǎn)課堂”和“OBE”等教育理念，提出了數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的思路。張鐸等[9]提出了針對電氣信息類專業(yè)的工程數(shù)學(xué)改革思路。詹耀輝[10]系統(tǒng)思考了光電類專業(yè)工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)定位、教學(xué)問題和教學(xué)策略，提出了目標(biāo)導(dǎo)向式、數(shù)學(xué)軟件可視化、線上線下混合式等教學(xué)方法，在專業(yè)交叉的復(fù)合型人才培養(yǎng)中發(fā)揮了重要作用。

本文針對網(wǎng)絡(luò)信息工程及其相關(guān)專業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)教育問題，通過現(xiàn)狀分析發(fā)現(xiàn)存在的問題，提出了一種關(guān)聯(lián)教學(xué)法，通過發(fā)掘應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)案例，建立關(guān)聯(lián)案例庫并進(jìn)行實(shí)踐教學(xué)，該方法以工程問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有助于從廣度和深度兩方面解決本科生數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足的問題，有利于理論與實(shí)踐相結(jié)合，加深對專業(yè)知識(shí)的理解。

一" 網(wǎng)絡(luò)信息工程應(yīng)用數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀分析

對于像通信工程、網(wǎng)絡(luò)工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等傳統(tǒng)工科專業(yè)來說，一直存在的一個(gè)誤區(qū)就是“工科學(xué)生應(yīng)該強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力，沒必要學(xué)習(xí)太多理論課程”。這是一種典型的“重工程應(yīng)用，輕科學(xué)理論”的錯(cuò)誤思想。事實(shí)上，科學(xué)是工程的基礎(chǔ)，沒有科學(xué)理論的支撐，工程實(shí)踐只能在盲目的試驗(yàn)和錯(cuò)誤中摸索前行。

這種錯(cuò)誤思想在工科專業(yè)的數(shù)學(xué)教育上表現(xiàn)得尤為明顯。目前，國內(nèi)高校理工類專業(yè)的本科生只學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、概率論和線性代數(shù)三門數(shù)學(xué)課，這對后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)和知識(shí)體系的構(gòu)建是非常欠缺的。以通信專業(yè)為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)通信原理的時(shí)候應(yīng)該具有隨機(jī)過程、信息論和近世代數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，否則就無法透徹地理解噪聲、信息量、香農(nóng)公式及編譯碼等概念和原理?？墒怯捎诜N種原因，很多院校都沒有給本科生開設(shè)這些課程，導(dǎo)致學(xué)生只能死記硬背公式，知其然而不知其所以然。

“數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足”這一問題表現(xiàn)在廣度和深度兩個(gè)維度上。在廣度上，目前的本科生知識(shí)面和數(shù)學(xué)視野太過狹窄，除了高等數(shù)學(xué)、概率論和線性代數(shù)之外，對諸如隨機(jī)過程、排隊(duì)論、信息論、圖論、矩陣論、組合論、博弈論、數(shù)值分析、近世代數(shù)和幾何學(xué)等工程應(yīng)用中經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)或工具知之甚少。知識(shí)面狹窄造成的直接后果表現(xiàn)在兩方面：一方面，學(xué)生對于所學(xué)的高數(shù)、概率和線性代數(shù)到底有什么用懵懂無知，無法和工程實(shí)踐相對接，導(dǎo)致極大挫傷了其學(xué)習(xí)興趣和積極性；另一方面，學(xué)生走上工作崗位后在面對實(shí)際問題時(shí)，又苦于找不到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具加以解決，經(jīng)常發(fā)出“書到用時(shí)方恨少”的慨嘆。在深度上，本科生普遍患有“數(shù)學(xué)恐懼癥”，即使在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、概率論和線性代數(shù)這三門基礎(chǔ)課時(shí)也感覺困難重重，無法體會(huì)公式、定義、定理的含義，不能熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算，更不要說領(lǐng)悟數(shù)學(xué)背后的哲學(xué)思想。數(shù)學(xué)功底不扎實(shí)導(dǎo)致的直接后果就是考研上線率低，用人單位滿意度低。

“數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足”這一問題產(chǎn)生的原因可以概括為教師側(cè)和學(xué)生側(cè)兩方面，但主要原因在教師側(cè)。具體來說，現(xiàn)行的本科教學(xué)體制中為工科專業(yè)僅開設(shè)了高等數(shù)學(xué)、概率論和線性代數(shù)這三門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，而且大多由數(shù)學(xué)專業(yè)的教師執(zhí)行授課任務(wù)。對于工科專業(yè)學(xué)生而言，這種教學(xué)安排存在如下弊端。

第一，數(shù)學(xué)教學(xué)與專業(yè)知識(shí)結(jié)合度不夠。由于數(shù)學(xué)專業(yè)科班出身的教師并不了解各個(gè)工科專業(yè)的背景和知識(shí)，所以在上數(shù)學(xué)課的時(shí)候總是站在純數(shù)學(xué)的角度，無法關(guān)聯(lián)各個(gè)專業(yè)并融會(huì)貫通。事實(shí)上，針對工科專業(yè)比較好的數(shù)學(xué)教學(xué)方法應(yīng)該是把數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)知識(shí)相結(jié)合，相輔相成、互通有無地增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)度和理解度。筆者曾經(jīng)為通信工程和電子信息工程專業(yè)的學(xué)生講授過概率論和信息論，對這兩門課程涉及的概念、定理、定義、人物和歷史事件等知識(shí)點(diǎn)之間千絲萬縷的聯(lián)系采用對比、關(guān)聯(lián)、歷史回顧等方法進(jìn)行講解，取得了很好的效果。

第二，數(shù)學(xué)教學(xué)缺少關(guān)聯(lián)。在現(xiàn)行的課程體系下，各門課的任課教師各司其職，只講授本門課的內(nèi)容，很少涉及其他課程，這導(dǎo)致學(xué)生建立的知識(shí)體系呈現(xiàn)孤立煙囪狀，缺少知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和彼此支持。針對這一問題，如果各門課程的教師能夠旁征博引，廣泛聯(lián)系，為學(xué)生引出其他數(shù)學(xué)科目并簡要介紹這些科目的基本概念、問題及與本課程的關(guān)系，就可以為學(xué)生勾勒出一張網(wǎng)狀的知識(shí)地圖，這將非常有助于學(xué)生建立立體化網(wǎng)狀的知識(shí)體系，理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，增加學(xué)習(xí)興趣。比如在講授微積分的時(shí)候，不妨引申出數(shù)值分析課程中微積分是如何采用離散的方法實(shí)現(xiàn)的，這不僅有助于學(xué)生更深刻地理解微積分的本質(zhì)，而且使學(xué)生了解應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和計(jì)算的方法。

由于在教師側(cè)存在上述問題，加之?dāng)?shù)學(xué)本身枯燥乏味的特點(diǎn)，導(dǎo)致在學(xué)生側(cè)產(chǎn)生懼學(xué)、厭學(xué)、棄學(xué)的惡性循環(huán)，并對后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及專業(yè)課的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了極大的障礙。

綜上所述，工科學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的根源在于教師側(cè)，在于教師僵化的講授方法。如果教師們能夠創(chuàng)造或發(fā)掘靈活多樣的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，為數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)尋找專業(yè)課教學(xué)中與之相對應(yīng)的應(yīng)用案例，或者為專業(yè)課知識(shí)點(diǎn)構(gòu)筑與之相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)集，那么就可以達(dá)到縱橫捭闔、融會(huì)貫通、旁征博引的授課效果，幫助學(xué)生建立一個(gè)立體化網(wǎng)狀的知識(shí)體系，理解各門學(xué)科的差異與關(guān)聯(lián)，掌握各門課程的關(guān)鍵點(diǎn)，了解現(xiàn)階段科學(xué)發(fā)展的邊界。最終幫助學(xué)生消除懼學(xué)、厭學(xué)、棄學(xué)的消極心理，轉(zhuǎn)化為喜學(xué)、愛學(xué)和主動(dòng)自學(xué)的良性循環(huán)，形成對科學(xué)知識(shí)濃厚的興趣、好奇和渴望。

為此，本文提出了一種針對網(wǎng)絡(luò)信息工程及其相關(guān)專業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)教學(xué)法，尋找和挖掘應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)和建立兩者之間的關(guān)聯(lián)案例集，通過對關(guān)聯(lián)案例的講解，從廣度和深度兩個(gè)維度解決本科生“數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足”的頑疾，通過為應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間架設(shè)橋梁來鞏固和加深對專業(yè)知識(shí)的理解，把一個(gè)個(gè)孤立的、煙囪式的專業(yè)課加以融會(huì)貫通，構(gòu)建成一個(gè)立體化網(wǎng)狀的知識(shí)體系，從而滿足網(wǎng)絡(luò)信息工程相關(guān)產(chǎn)業(yè)的人才需求。

二" 網(wǎng)絡(luò)信息工程應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)教學(xué)法

本文提出的“關(guān)聯(lián)教學(xué)法”為網(wǎng)絡(luò)信息工程及其相關(guān)專業(yè)探索了一個(gè)有效的、可操作的應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)思路和方法，該方法的關(guān)鍵和核心是發(fā)掘應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)案例，建立應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)課之間的關(guān)聯(lián)知識(shí)庫，并采用對比、關(guān)聯(lián)的教學(xué)方法啟發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高對重點(diǎn)、難點(diǎn)的理解度。

本文建立了一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)庫和網(wǎng)絡(luò)信息工程相關(guān)專業(yè)知識(shí)庫之間的關(guān)聯(lián)案例集。關(guān)聯(lián)關(guān)系劃分為粗顆粒度和細(xì)顆粒度兩個(gè)等級(jí)。粗顆粒度關(guān)聯(lián)是指學(xué)科關(guān)聯(lián)或課程關(guān)聯(lián)，如圖1所示，反映了應(yīng)用數(shù)學(xué)和網(wǎng)絡(luò)信息工程各門課程之間的交叉聯(lián)系；細(xì)顆粒度關(guān)聯(lián)則是指各門課程的具體知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，這一級(jí)關(guān)聯(lián)的數(shù)量極其龐大，關(guān)系更為復(fù)雜，呈現(xiàn)立體化網(wǎng)狀交叉結(jié)構(gòu)。

（一）" 關(guān)聯(lián)教學(xué)法

關(guān)聯(lián)教學(xué)法的基本內(nèi)容是建立應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)案例庫，并通過解析關(guān)聯(lián)案例學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)知識(shí)。關(guān)聯(lián)教學(xué)法的實(shí)施過程分為如下三步。

1" 第一步，設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)案例

關(guān)聯(lián)教學(xué)法的核心工作是發(fā)掘和設(shè)計(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)案例。能夠承擔(dān)這一工作的應(yīng)該是各個(gè)專業(yè)的資深教師，必須對本專業(yè)的知識(shí)體系和數(shù)學(xué)在本專業(yè)的具體應(yīng)用非常熟悉，具有豐富的專業(yè)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，能準(zhǔn)確洞悉學(xué)生的困惑所在。

考慮到數(shù)學(xué)抽象難懂的特點(diǎn)，專業(yè)課教師在教學(xué)過程中要探索和嘗試靈活多樣的教學(xué)方法，切忌刻板僵化地為了教數(shù)學(xué)而教數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)方法。關(guān)聯(lián)教學(xué)法的核心思想是由工程問題引導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)，只有讓學(xué)生直觀地看到數(shù)學(xué)知識(shí)有用，其才會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。筆者在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)課程中講授單播網(wǎng)絡(luò)最大流最小割定理時(shí)曾為學(xué)生引申出組播路由容量的問題，并為其介紹如何用博弈論的方法求解該問題，由此為學(xué)生們引導(dǎo)出博弈論的基本概念，讓學(xué)生真切地感受到原本只是聽說過、沒見到過的科學(xué)知識(shí)居然距離自己如此近，從而對博弈論產(chǎn)生了濃厚的興趣。然而，不可否認(rèn)的是把較為深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論用樸素平實(shí)的語言解釋給本科生，而且還要與各專業(yè)的工程問題相關(guān)聯(lián)并非易事，這需要教師深入思考，廣泛閱讀，突破專業(yè)知識(shí)的禁錮，拓展視野，把科研與教學(xué)緊密結(jié)合，不斷提升自身能力。

2" 第二步，建立關(guān)聯(lián)案例集

以持續(xù)、開放、滾動(dòng)和更新的方式建立應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)庫和網(wǎng)絡(luò)信息工程專業(yè)知識(shí)庫之間的關(guān)聯(lián)案例集，這是關(guān)聯(lián)教學(xué)法的主要工作。這一工作沒有完成時(shí)，只有進(jìn)行時(shí)。在這部分工作中，要注意把控好關(guān)聯(lián)度和邊界，應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科體系很復(fù)雜，分支學(xué)科很多，考慮到本科生的實(shí)際知識(shí)儲(chǔ)備，不可能把所有學(xué)科分支都包括進(jìn)來，也不可能同等地對待這些分支。為此，針對網(wǎng)絡(luò)信息工程的知識(shí)背景，本文提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)的兩級(jí)關(guān)聯(lián)體系，包括核心集和擴(kuò)展集，如圖2所示。在關(guān)聯(lián)案例的發(fā)掘和教學(xué)過程中重點(diǎn)講授核心集，對擴(kuò)展集的數(shù)學(xué)知識(shí)只介紹基本概念即可。

3" 第三步，關(guān)聯(lián)教學(xué)實(shí)踐

應(yīng)用所建立的關(guān)聯(lián)案例集為本科生解析數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和專業(yè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。由于學(xué)時(shí)所限，為本科生系統(tǒng)完整地開設(shè)培養(yǎng)方案之外的數(shù)學(xué)課程尚不可行，但可以采用論壇、專題講座、短期培訓(xùn)班、Case Study等多種靈活的教學(xué)方式，而且教學(xué)地點(diǎn)也不限于教室，可以在實(shí)驗(yàn)室、會(huì)議室甚至是草坪或餐廳，這也是國外高校進(jìn)行正常教學(xué)之外的學(xué)術(shù)研討多采用的方式，這種靈活、不拘小節(jié)甚至是松散的學(xué)習(xí)和研討方式更能激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和學(xué)習(xí)興趣，更適用于臨時(shí)性、非系統(tǒng)教學(xué)、針對比較小的知識(shí)點(diǎn)、以啟發(fā)興趣和發(fā)現(xiàn)問題為主要目的的學(xué)習(xí)。

（二）" 關(guān)聯(lián)案例

關(guān)聯(lián)教學(xué)法在具體實(shí)施時(shí)，需要考慮不同年級(jí)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況并區(qū)別對待。為了解釋和演示關(guān)聯(lián)教學(xué)法的本質(zhì)和實(shí)施過程，本文通過三個(gè)關(guān)聯(lián)案例來說明如何在應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)之間架設(shè)橋梁。

1" 把概率中正態(tài)分布與數(shù)字通信中噪聲特性和譯碼錯(cuò)誤概率相關(guān)聯(lián)（案例一）

在學(xué)習(xí)概率時(shí)，數(shù)學(xué)老師曾強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布是處于核心地位的連續(xù)隨機(jī)變量分布，但并沒有說明其用處和使用方法。為此，本文把正態(tài)分布和通信中噪聲特性相關(guān)聯(lián)。首先，根據(jù)中心極限定理，如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和構(gòu)成，其中每個(gè)分量對總量只作出微小的貢獻(xiàn)，則總量服從正態(tài)分布。該定理在通信噪聲分析中有著重要意義，比如通信接收機(jī)中帶電粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)引起大量短促脈沖的疊加形成熱噪聲；再比如雷達(dá)回波信號(hào)中由大量獨(dú)立散射體的反射信號(hào)疊加造成回波噪聲，根據(jù)中心極限定理，這些噪聲的瞬時(shí)值都服從正態(tài)分布，因此，通信中常把這些噪聲建模為高斯噪聲（通信領(lǐng)域常把正態(tài)分布稱為高斯分布）。

其次，高斯噪聲疊加在有用信號(hào)的幅度上形成對信號(hào)的隨機(jī)擾動(dòng)，疊加生成的和信號(hào)呈現(xiàn)以有用信號(hào)為均值的正態(tài)分布。如圖3所示，數(shù)字通信信號(hào)分別以電平“+A”和“-A”的脈沖代表數(shù)字信號(hào)“1”和“0”（這被稱為二元對稱信道），通信過程中數(shù)字脈沖疊加噪聲后，接收機(jī)采樣得到的瞬時(shí)信號(hào)電平是以“+A”和“-A”為均值的正態(tài)分布隨機(jī)變量，圖3中f（r|0）和f（r|1）分別表示發(fā)送信號(hào)“0”或“1”的條件下，接收信號(hào)的概率密度函數(shù)。按照最小距離譯碼規(guī)則，接收端取0電平作為判決門限，若采樣值小于0，則接收端判決發(fā)送端發(fā)送的是電平“-A”，即信號(hào)0；若采樣值大于0，則接收端判決發(fā)送端發(fā)送的是電平“+A”，即信號(hào)1。

最后，如果發(fā)送端發(fā)送的是數(shù)字信號(hào)“0”，但由于噪聲干擾使得采樣值大于0，則接收端會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤判決或錯(cuò)誤譯碼，這個(gè)概率（記為p）就是圖3中概率密度函數(shù)f（r|0）下方在0右側(cè)的陰影面積。反之亦然。

上述教學(xué)過程把正態(tài)分布、概率密度函數(shù)、概率計(jì)算和數(shù)字通信噪聲、譯碼規(guī)則、譯碼錯(cuò)誤概率很好地關(guān)聯(lián)起來，不但幫助學(xué)生鞏固了連續(xù)隨機(jī)變量概率的計(jì)算方法，而且?guī)椭淅斫饬嗽肼晫π盘?hào)傳輸造成干擾的本質(zhì)是什么。

2" 把概率中全概公式和逆概公式與數(shù)字通信譯碼規(guī)則相關(guān)聯(lián)（案例二）

全概公式和逆概公式是概率論中很重要、很基礎(chǔ)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，然而數(shù)學(xué)老師在講述這部分的時(shí)候往往是以抓小球、扔骰子等例子進(jìn)行講述，造成學(xué)生無法和自己的專業(yè)關(guān)聯(lián)起來。為此，本文把全概公式、逆概公式與數(shù)字通信中的接收端譯碼規(guī)則和錯(cuò)誤概率關(guān)聯(lián)起來，如例1所示，把干巴巴的數(shù)學(xué)公式變成了生動(dòng)的通信實(shí)例，提高了學(xué)生的體驗(yàn)度。

例1：假設(shè)上述案例一中的二元對稱信道如圖4所示，假設(shè)譯碼錯(cuò)誤概率（又稱轉(zhuǎn)移概率）p=2/3，此概率即為圖3中陰影部分面積。設(shè)發(fā)送端發(fā)送符號(hào)“0”和“1”的先驗(yàn)概率分別為P（0）和P（1），其取決于信源符號(hào)的概率分布，與通信過程和譯碼規(guī)則無關(guān)。設(shè)計(jì)如下兩種譯碼規(guī)則，并分別計(jì)算平均譯碼錯(cuò)誤概率。

譯碼規(guī)則1：收到+A脈沖，譯成發(fā)送端發(fā)送“1”；收到-A波形，譯成發(fā)送端發(fā)送“0”，則平均譯碼錯(cuò)誤概率為

PE=P（1）P（-A|+A）+P（0）P（+A|-A）

=P（1）p+P（0）p=p=2/3。

譯碼規(guī)則2：收到+A脈沖，譯成發(fā)送端發(fā)送“0”；收到-A波形，譯成發(fā)送端發(fā)送“1”，則平均譯碼錯(cuò)誤概率為

PE=P（1）P（+A|+A）+P（0）P（-A|-A）

=P（1）（1-p）+P（0）（1-p）=1-p=1/3。

顯然，本例中譯碼規(guī)則2要優(yōu)于規(guī)則1。上述過程是全概公式和逆概公式在數(shù)字通信中的典型應(yīng)用，把概率計(jì)算和數(shù)字通信中的譯碼規(guī)則和譯碼錯(cuò)誤很好地關(guān)聯(lián)起來，讓同學(xué)們通過概率計(jì)算透徹地理解數(shù)字通信中譯碼錯(cuò)誤的由來，以及如何通過合理設(shè)計(jì)譯碼規(guī)則來降低譯碼錯(cuò)誤。

3" 把線性代數(shù)、近世代數(shù)與編碼學(xué)相關(guān)聯(lián)（案例三）

近世代數(shù)，又稱抽象代數(shù)，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要分支，也是編碼學(xué)的理論基礎(chǔ)。國內(nèi)高校普遍沒有把近世代數(shù)納入工科專業(yè)的本科教學(xué)內(nèi)容，通信專業(yè)的教師和教材在講授線性分組碼的時(shí)候，采用的方法往往是直接給出編譯碼矩陣讓學(xué)生了解編譯碼操作，而不去涉及深層的理論知識(shí)。這種講授方法會(huì)導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然，因?yàn)槠洳恢谰幾g碼矩陣是怎么得來的。

為了把線性代數(shù)、近世代數(shù)、編碼學(xué)相關(guān)聯(lián)，首先，幫助學(xué)生回憶線性代數(shù)中線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性子空間和正交等概念；其次，以所有人都熟悉的四則運(yùn)算為切入點(diǎn)引出近世代數(shù)中有限域的概念，讓學(xué)生明白如何在有限的數(shù)集內(nèi)通過模運(yùn)算實(shí)現(xiàn)封閉的四則運(yùn)算；第三，通過分析線性分組碼的特點(diǎn)指出（n，k）線性分組碼是二元域上的n維向量空間Vn中的一個(gè)k維子空間Vn，k；最后得出結(jié)論，線性分組碼的生成矩陣由k維子空間Vn，k的基底構(gòu)成。

上述關(guān)聯(lián)教學(xué)過程既幫助學(xué)生了解了線性代數(shù)的用途，又拓展了視野，幫助其了解了近世代數(shù)的基本概念，還幫助學(xué)生了解編碼學(xué)的理論基礎(chǔ)，從而建立了完善的知識(shí)體系。

三" 結(jié)束語

針對網(wǎng)絡(luò)信息工程等相關(guān)專業(yè)的人才培養(yǎng)過程中數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足的問題，本文提出了關(guān)聯(lián)教學(xué)法，探討了如何把應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，由工程問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，由應(yīng)用數(shù)學(xué)支撐專業(yè)知識(shí)體系。與其他研究[1-10]相比，本文的研究特色在于不是針對某一門數(shù)學(xué)課程開展研究，而是把應(yīng)用數(shù)學(xué)作為一個(gè)知識(shí)體系，建立其與專業(yè)知識(shí)體系之間的關(guān)聯(lián)。結(jié)合網(wǎng)絡(luò)信息工程的專業(yè)背景和特點(diǎn)，本文將應(yīng)用數(shù)學(xué)劃分為核心集和擴(kuò)展集，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)庫和專業(yè)知識(shí)庫之間建立了粗細(xì)顆粒度兩級(jí)關(guān)聯(lián)，并通過三個(gè)教學(xué)案例演示了如何發(fā)掘和建立關(guān)聯(lián)案例，以及如何進(jìn)行關(guān)聯(lián)教學(xué)。本文提出的關(guān)聯(lián)教學(xué)法有助于從廣度和深度兩個(gè)維度解決本科生數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足的問題，幫助學(xué)生建立立體化網(wǎng)狀的知識(shí)體系。

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