多元線性回歸模型在河流水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

李秋瑤

摘要：為實(shí)現(xiàn)基于水質(zhì)自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)水質(zhì)數(shù)據(jù)的快速預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)，以水質(zhì)自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理，基于多元線性回歸模型建模，將前一日自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為自變量，后一日各污染源因子濃度作為因變量，研究建立河流水質(zhì)預(yù)測(cè)模型的變化響應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)模型的檢驗(yàn)和校正，在試驗(yàn)斷面上，基本達(dá)到了快速預(yù)測(cè)預(yù)警的效果，模型在實(shí)際預(yù)測(cè)中效果較好。該方法所需數(shù)據(jù)較少，預(yù)測(cè)快速，準(zhǔn)確及時(shí)，因此，該方法可作為輔助手段應(yīng)用于實(shí)際水質(zhì)監(jiān)測(cè)預(yù)警工作。

關(guān)鍵詞：多元線性回歸預(yù)測(cè)；河流水質(zhì)預(yù)測(cè)；水質(zhì)預(yù)測(cè)方法

一、前言

水質(zhì)自動(dòng)監(jiān)測(cè)是一項(xiàng)與國(guó)民經(jīng)濟(jì)密切相關(guān)的基礎(chǔ)工作，也是開(kāi)展水質(zhì)預(yù)測(cè)預(yù)警的重要前提[1]。科學(xué)準(zhǔn)確的水質(zhì)預(yù)測(cè)預(yù)警有助于認(rèn)識(shí)水質(zhì)變化的規(guī)律和發(fā)展態(tài)勢(shì)，增加其在保障水質(zhì)安全、水污染防治上的決策主動(dòng)性和工作效率[2-3]。

近年來(lái)，《國(guó)務(wù)院關(guān)于印發(fā)水污染防治行動(dòng)計(jì)劃的通知》[4]等一系列通知，明確提出改善水環(huán)境質(zhì)量的目標(biāo)和要求，旨在推進(jìn)重點(diǎn)流域污染治理，切實(shí)改善水環(huán)境質(zhì)量。對(duì)于重點(diǎn)河流斷面，持續(xù)開(kāi)展水質(zhì)預(yù)測(cè)，以預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)作為后續(xù)污染防治工作決策的依據(jù)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

隨著地表水自動(dòng)監(jiān)測(cè)技術(shù)的成熟和推廣應(yīng)用，環(huán)境監(jiān)測(cè)監(jiān)管部門能夠?qū)崟r(shí)獲取監(jiān)測(cè)點(diǎn)位的水質(zhì)情況。自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)頻率高，監(jiān)測(cè)時(shí)間連續(xù)，具備開(kāi)展大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的條件。各地也陸續(xù)開(kāi)展了相關(guān)的研究和試點(diǎn)工作，利用自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)開(kāi)展統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)有以下研究意義：①由于自動(dòng)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)性高，可基于自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)快速預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)；②自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)量大，時(shí)序性高，因此可有效提高水質(zhì)預(yù)測(cè)精度；③通過(guò)基于自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的水質(zhì)預(yù)測(cè)能及時(shí)感知污染風(fēng)險(xiǎn)；④通過(guò)預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值比較，當(dāng)相差較大時(shí)，說(shuō)明條件發(fā)生了較大變化，尤其當(dāng)實(shí)測(cè)偏大時(shí)應(yīng)排查異常，及時(shí)把控風(fēng)險(xiǎn)。

通常，河流水質(zhì)預(yù)測(cè)采用綜合指標(biāo)法、平均增長(zhǎng)率法等經(jīng)驗(yàn)類推可以取得較好的研究結(jié)果[5]，但需要滿足河流斷面受周邊影響小、水質(zhì)變化小的前提，如河流斷面水質(zhì)受周邊環(huán)境影響較大，其實(shí)際數(shù)據(jù)變化不規(guī)則，采用類推的方法則達(dá)不到理想的效果，因此需要采用建立模型的方法進(jìn)行水質(zhì)預(yù)測(cè)。目前常用定額預(yù)測(cè)法、回歸分析法、灰色預(yù)測(cè)法等水質(zhì)預(yù)測(cè)方法。本研究采用多元線性回歸分析法進(jìn)行模型建模。多元線性回歸模型不僅要對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，還需要對(duì)假設(shè)性和共線性作用方面進(jìn)行研究與驗(yàn)證，從而優(yōu)化變量，篩選適合的模型，增加水質(zhì)預(yù)測(cè)的精確度。

二、多元線性回歸方法基本原理

（一）多元線性回歸模型

對(duì)于河流的水質(zhì)預(yù)測(cè)，水質(zhì)變化結(jié)果通常是多個(gè)因素共同影響的結(jié)果，因此，由多個(gè)自變量篩選優(yōu)化后建立的多元線性回歸模型，比單一自變量建立的一元線性回歸模型更符合實(shí)際，更加準(zhǔn)確與客觀。目前，常規(guī)的水質(zhì)自動(dòng)監(jiān)測(cè)因子包括：水溫、pH值、溶解氧、電導(dǎo)率、濁度、高錳酸鹽指數(shù)、氨氮、總磷、總氮等。以溶解氧為例，假定河流水質(zhì)濃度與前一日各因子濃度間存在線性關(guān)系如下：

y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…a_nx_m+ε

式中，y為因變量，x₁，x₂，x₃，……，x_m為自變量，a₁，a₂，……，a_n為回歸系數(shù)；ε為隨機(jī)誤差，假定ε～N（μ，σ²）。

（二）數(shù)據(jù)來(lái)源

本研究根據(jù)前一日各監(jiān)測(cè)因子的濃度水平來(lái)判定對(duì)當(dāng)日監(jiān)測(cè)因子的影響，以溶解氧因子為例，選擇溶解氧作為預(yù)測(cè)因子是因?yàn)槿芙庋跏茄芯康乇硭詢裟芰Φ囊环N重要依據(jù)，相對(duì)其他因子來(lái)說(shuō)，溶解氧與水溫、pH及其他因子有著密切的關(guān)系，因此可以假定溶解氧濃度可通過(guò)前一日各項(xiàng)因子濃度進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本研究建模數(shù)據(jù)來(lái)源于2022年1月至6月廣西某湖庫(kù)水質(zhì)自動(dòng)站的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)日均值。該水站小時(shí)數(shù)據(jù)有效率為97.32%，日數(shù)據(jù)有效率大于99%。其有效自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的完整度和連續(xù)性為研究數(shù)據(jù)演變關(guān)系提供了很大便利，水站監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)包括水溫、pH值、溶解氧、電導(dǎo)率、濁度、高錳酸鹽指數(shù)、氨氮、總磷、總氮。設(shè)自變量前一日水溫為x₁，pH為x₂，溶解氧為x₃，電導(dǎo)率為x₄，濁度為x₅，高錳酸鹽指數(shù)為x₆，氨氮為x₇，總磷為x₈，總氮為x₉，因變量溶解氧預(yù)測(cè)濃度為y。

三、建立方程模型

本文采用的模型基于R語(yǔ)言編寫。首先，將訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入R語(yǔ)言，通過(guò)線性回歸模型進(jìn)行建模，第一次建模得到模型擬合數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的R²為0.9596，R²度量了多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度，說(shuō)明擬合優(yōu)度較好，但模型反應(yīng)水溫、高錳酸鹽指數(shù)、總磷、總氮P值較大，P值代表犯第一類錯(cuò)誤（Ⅰ型錯(cuò)誤）的概率，在回歸方程中，體現(xiàn)了自變量的顯著性。P值越大，說(shuō)明自變量顯著性越低。從第一次模型參數(shù)中得出，水溫、高錳酸鹽指數(shù)、總磷、總氮的顯著性較低，因此將4個(gè)指標(biāo)剔除后重新建模，R²為0.9594，且整體顯著性與第一次建模相當(dāng)，且剔除指標(biāo)后由于減少了干擾，剩余指標(biāo)的顯著性得到了提升。可推斷出因變量yi可以被前一日pH、溶解氧、電導(dǎo)率、濁度、氨氮濃度的線性方程進(jìn)行描述，即：自變量為{x₂，x₃，x₄，x₅，x₇}。

通過(guò)重新建模，用上一日水質(zhì)因子數(shù)據(jù)與當(dāng)日水質(zhì)因子數(shù)據(jù)，建立多元線性回歸方程為：

y=4.943388-0.284600x₂+0.913373x₃-0.009313x₄+0.020536x_₅-0.602887x₇

四、模型檢驗(yàn)

（一）模型優(yōu)化

回歸模型的優(yōu)化主要從模型假設(shè)診斷，多重共線性進(jìn)行模型的優(yōu)化，首先需要診斷多元回歸模型和假設(shè)相符，即模型的殘差呈正態(tài)分布。其次，模型的自變量不存在多余重復(fù)信息，為簡(jiǎn)化模型提供依據(jù)。

1.模型診斷

通過(guò)繪制殘差圖診斷模型的假定，從圖1殘差圖中可以看出，第4點(diǎn)、第69點(diǎn)、第85點(diǎn)有較大殘差，其中第4點(diǎn)的殘差較大。據(jù)調(diào)查是該日藻類增加導(dǎo)致pH、溶解氧同時(shí)增加，pH前三日數(shù)據(jù)分別為7.16、7.14、7.23，第4日突增到8.02，溶解氧前三日數(shù)據(jù)分別為6.89、6.39、6.82，第4日突增到7.45，但都在3類標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)，因此驗(yàn)證了該模型方法對(duì)突發(fā)事件預(yù)警的能力。排除4號(hào)點(diǎn)影響后，模型整體殘差在兩側(cè)分布均勻，在-0.2與0.2之間，殘差期望值接近于0。通過(guò)圖1模型的正態(tài)Q-Q圖檢驗(yàn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在y=x附近，可以得出模型的殘差值基本呈正態(tài)分布。進(jìn)一步驗(yàn)證模型的構(gòu)建是有效的。

2.共線性優(yōu)化

首先可以對(duì)指標(biāo)開(kāi)展相關(guān)性檢驗(yàn)，相關(guān)性檢驗(yàn)可以檢驗(yàn)指標(biāo)之間是否存在明顯的相關(guān)關(guān)系。根據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果，相關(guān)性統(tǒng)計(jì)如表1。

所選指標(biāo)中pH和濁度呈正相關(guān)，pH和氨氮呈正相關(guān)，溶解氧和氨氮呈負(fù)相關(guān)，濁度和氨氮呈負(fù)相關(guān)，因此所選指標(biāo)存在共線性。且氨氮與其他3個(gè)指標(biāo)存在明顯的相關(guān)性，考慮先將氨氮作為待剔除指標(biāo)，需進(jìn)一步借助VIF與容忍度驗(yàn)證共線強(qiáng)度檢驗(yàn)。根據(jù)R輸出的結(jié)果如表2，在考慮剔除指標(biāo)時(shí)，由于pH和氨氮存在較大的共線性關(guān)系，這也與實(shí)際相符，氨氮與水形成弱堿，氨氮的濃度越高，水中的pH值越大，因此優(yōu)先考慮剔除其中一個(gè)指標(biāo)，剔除指標(biāo)方法結(jié)合顯著性、容忍度、VIF（方差膨脹因子）進(jìn)行判斷。一般認(rèn)為VIF大于10，容忍度小于0.1，說(shuō)明自變量之間存在顯著的共線性，這里將VIF較大的氨氮進(jìn)行剔除。

VIF越大，容忍度越小，共線性越嚴(yán)重。將指標(biāo)氨氮剔除后，重新建立模型，再次對(duì)模型進(jìn)行容忍度和VIF檢驗(yàn)，輸出結(jié)果如表3，自變量容忍度均大于0.1，VIF小于10。新的模型R²變?yōu)?.9581，較之前無(wú)明顯變化。

3.逐步回歸驗(yàn)證

本文采用赤池信息量準(zhǔn)則（AIC）進(jìn)行逐步回歸分析，得到最小AIC組合為：pH、溶解氧、濁度、電導(dǎo)率。最終表明無(wú)需再剔除指標(biāo)，模型方程得到確認(rèn)。

最終模型方程為：

y=1.576793-0.103860x₂+0.967248x₃-0.003806x₄+0.018848x₅

（二）擬合檢驗(yàn)

通過(guò)對(duì)溶解氧的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差進(jìn)行比較，以及y和yi之間的相對(duì)誤差分析，根據(jù)圖2曲線圖可以看出，溶解氧實(shí)際值和預(yù)測(cè)值擬合度良好，擬合值和實(shí)測(cè)值呈顯著的正相關(guān)性，說(shuō)明多元線性回歸模型具有較高的精準(zhǔn)度，對(duì)歷史值的預(yù)測(cè)較好。

五、結(jié)果驗(yàn)證

通過(guò)多元線性回歸模型對(duì)水站2022年8月—12月每日溶解氧數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的擬合結(jié)果如圖3所示，預(yù)測(cè)結(jié)果誤差核密度如圖4所示。

從相對(duì)誤差核密度圖可看出，多元線性回歸預(yù)測(cè)平均相對(duì)誤差近似為0.328%（接近于期望0），最大相對(duì)誤差為14.5%，75%誤差分位數(shù)為3.2%，90%分位數(shù)為5.4%，95%分位數(shù)為7.8%，即95%的情況下，誤差精度在8%以內(nèi)，說(shuō)明多元線性回歸模型滿足水質(zhì)預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的精度要求，模型預(yù)測(cè)效果較好，為水質(zhì)預(yù)測(cè)預(yù)警提供了數(shù)據(jù)支撐。

六、結(jié)語(yǔ)

1.本研究利用水站歷史自動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，基于多元線性回歸分析法，建立多元線性回歸模型對(duì)溶解氧進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，在此站點(diǎn)，多元線性回歸模型對(duì)預(yù)測(cè)溶解氧濃度具有較高的精確度。

2.利用本研究建立的模型對(duì)水站2022年8月—12月每日溶解氧數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，驗(yàn)證數(shù)據(jù)顯示模型滿足水質(zhì)預(yù)測(cè)的精度要求，預(yù)測(cè)效果較好，為水質(zhì)預(yù)警預(yù)測(cè)提供了數(shù)據(jù)支撐。

3.該方法建模過(guò)程簡(jiǎn)單，結(jié)果直觀，精確度高，大幅度減少了計(jì)算時(shí)間，可在其他斷面推廣和應(yīng)用。

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作者單位：中國(guó)人民大學(xué)