基于Python的科里奧利力對物體運(yùn)動影響的可視化模擬

馬淑紅　侯振　焦照勇　常欽

關(guān)鍵詞 科里奧利力;拋體運(yùn)動;傅科擺;創(chuàng)新思維;Python編程

在理論力學(xué)教學(xué)中，科里奧利力 （科氏力）是非慣性系動力學(xué)部分的教學(xué)難點(diǎn)，其在實(shí)際生活、生產(chǎn)中產(chǎn)生的效應(yīng)微乎其微，難以直接觀察到。多數(shù)學(xué)生對科里奧利力的認(rèn)識僅停留在應(yīng)用其定義式進(jìn)行簡單的計(jì)算和定性分析。多數(shù)教材討論科里奧利力對地球表面的自由落體和傅科擺運(yùn)動的影響，都是運(yùn)用數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法求解出微分方程組的解析結(jié)果，學(xué)生缺乏對動態(tài)過程的直觀認(rèn)知，難于構(gòu)建清晰的物理圖像。

本文基于Python語言編程計(jì)算方法，結(jié)合運(yùn)動的初始條件、空氣阻力等因素，系統(tǒng)地討論科里奧利力對拋體運(yùn)動和傅科擺運(yùn)動的影響，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動過程直觀清晰的可視化分析。該方法不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生對科里奧利力的深刻理解和認(rèn)識，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力，提升分析和解決問題能力。

1轉(zhuǎn)動參考系中物體運(yùn)動微分方程

僅考慮地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動，從非慣性系視角研究其表面物體的運(yùn)動，設(shè)北半球某緯度λ 處，質(zhì)量為m 的物體運(yùn)動速度為v，其受到重力mg（地心引力與慣性離心力的合力）、其他相互作用力 F和科里奧利力（-2mω×v）。

視物體為質(zhì)點(diǎn)，以其初始位置P 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立固結(jié)于地球表面的直角坐標(biāo)系P-xyz（圖1（a）），其中，x 軸指向正南，y 軸指向正東，z軸豎直向上。在非慣性系中，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)所遵循的微分方程為[1]

2 拋體運(yùn)動可視化模擬與分析

此前，一些文獻(xiàn)運(yùn)用矢量分析作圖法和半定量分析法討論了地球自轉(zhuǎn)對運(yùn)動物體所產(chǎn)生的科里奧利力效應(yīng)[2-3]，如對飛機(jī)飛行的影響[3]。文獻(xiàn)[4-5]結(jié)合解析求解和數(shù)值計(jì)算方法探究了有無空氣阻力時(shí)科里奧利力對拋體運(yùn)動的影響。本文基于Python語言編程方法，對物體運(yùn)動微分方程式（1）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分別模擬斜拋、豎直上拋、自由落體運(yùn)動過程并進(jìn)行可視化分析，詳細(xì)討論拋出點(diǎn)緯度、拋射方向、拋射初速度、空氣阻力等不同條件下物體運(yùn)動結(jié)果，系統(tǒng)地探究科里奧利力對拋體運(yùn)動影響的異同與規(guī)律。

2.1 模擬計(jì)算與可視化方法

運(yùn)用Python語言中Numpy程序庫、Scipy數(shù)值計(jì)算庫中odeint函數(shù)和Matplotlib繪圖庫，實(shí)現(xiàn)微分方程式（1）的數(shù)值計(jì)算和可視化繪圖。在模擬拋體運(yùn)動中，地球自轉(zhuǎn)角速率ω =7.3×10^-5rad/s，重力加速度g=9.8m/s²，若未特殊說明，暫忽略空氣阻力，其他初始運(yùn)動條件見表1。

2.2 模擬結(jié)果與討論

（1） 拋射方向沿東偏上。拋體位于北緯40°，拋射仰角30°，初速率為10m/s時(shí)，計(jì)算結(jié)果圖2（a）所示，結(jié)果表明：沿東偏上運(yùn)動的拋體受到向南的科里奧利力，產(chǎn)生南偏位移。南偏距離隨著初速率增大而增大（見圖2（b）～（c）），這是由于科里奧利力大小與拋體速率成正比。當(dāng)初速率接近100m/s時(shí)，南偏距離約42.4cm;增大初速率至超音速時(shí)，南偏距離達(dá)幾十米;當(dāng)拋體高速飛行，初速率接近1000m/s時(shí)，南偏距離近450米。由此可見，日常生活和生產(chǎn)中低速拋體運(yùn)動的偏移甚微，但對于如炮彈、導(dǎo)彈、火箭、飛船返回地面等高速飛行物來說，科里奧利力的影響就不可忽略。

（2） 拋射方向沿南偏上。初始條件仍保持北緯40°、拋射仰角30°、初速率10m/s。計(jì)算結(jié)果如圖3（a）顯示：拋體運(yùn)動中發(fā)生西偏，落地后西偏距離約為0.52mm， 略大于相同條件下向東偏上拋體的南偏移距離，這是由于拋體在x 和z 兩個(gè)方向的運(yùn)動都產(chǎn)生了向西的科里奧利力，導(dǎo)致偏西距離略大。類似地，西偏距離隨拋體初速率增加而增大，如圖3（b）所示。

（3） 拋體偏移隨緯度變化。為便于觀察偏移效應(yīng)，初速率增大為100m/s，拋射方向分別沿東偏上和南偏上，拋射角為30°。計(jì)算模擬結(jié)果如從圖4所示，可以看出：北半球沿東偏上（南偏上） 運(yùn)動的拋體，其落地點(diǎn)南偏（西偏）距離隨緯度增加而增大，當(dāng)緯度增至70°以上時(shí)，即極點(diǎn)附近拋體橫向偏移距離隨緯度變化很小。在赤道處，東偏上和南偏上拋體僅受因向上（z）方向運(yùn)動產(chǎn)生向西科氏力引起微小西偏 （見圖4（b））。顯而易見，相同條件下東偏上拋體落地后的南偏距離小于南偏上拋體的西偏，這是由于z 方向運(yùn)動引起的向西科氏力的貢獻(xiàn)。

（4） 豎直上拋和自由落體運(yùn)動。在北緯40°，以10m/s初速率豎直上拋物體，圖5（a）結(jié)果表明：豎直上拋運(yùn)動物體在上升和下降階段均發(fā)生西偏和北偏，而南半球情況與此相反，發(fā)生西偏和南偏（見圖6（b）），且西偏移程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于南/北偏（可忽略）。對于南北半球自由下落物體落地后都發(fā)生東偏（見圖5（b））。對于豎直上拋/自由落體運(yùn)動，西偏/東偏距離隨緯度增加而減小，赤道處偏移最顯著，這是由于東西向科氏力為-2mω?zcosλ。

（5） 空氣阻力對拋體運(yùn)動的影響。分別以南、北緯40°，初速率100m/s豎直上拋運(yùn)動為例，設(shè)空氣阻力與物體運(yùn)動速度間關(guān)系為：f=-mkv，其中阻力系數(shù)k=0.01N·s/（m·kg）[4]。圖6計(jì)算模擬結(jié)果表明：空氣阻力作用使拋體運(yùn)動時(shí)間縮短，上升高度降低，落地后的西偏和北偏（南半球南偏）距離都減小。這是由于空氣阻力使拋體運(yùn)動速度減慢，科氏力減小，科里奧利效應(yīng)減弱。

3 傅科擺運(yùn)動可視化模擬與分析

關(guān)于傅科擺運(yùn)動的科里奧利效應(yīng)，文獻(xiàn)[6-7]運(yùn)用MATLAB編程模擬方法探究了不同初始條件（初位置、初速度大小和方向）下擺的運(yùn)動軌跡，定性分析了擺平面偏轉(zhuǎn)變化，對于實(shí)際傅科擺，其擺錘由最大振幅處無初速釋放后的運(yùn)動軌跡是內(nèi)旋輪線?；谏鲜鎏骄?，本文運(yùn)用Python語言編程模擬方法，定量探究擺平面偏轉(zhuǎn)方向與快慢的依賴因素。

3.1 模擬計(jì)算與可視化方法

仍基于Python軟件中scipy庫的odeint函數(shù)完成傅科擺運(yùn)動微分方程組（2）的數(shù)值計(jì)算，并運(yùn)用matplotlib繪圖庫實(shí)現(xiàn)清晰直觀的動態(tài)可視化模擬。計(jì)算模擬中不考慮空氣阻力作用，擺錘初始坐標(biāo)的取值均滿足擺幅角小于5°。初始時(shí)刻，傅科擺位于xOz 平面，自某一幅角靜止釋放，擺錘由南向北（沿-x 方向）開始擺動，擺錘初始條件用向量（x 坐標(biāo)，y 坐標(biāo)，x 速度，y 速度）來表示，重力加速度大小取9.8m/s²。由于地球自轉(zhuǎn)角速率較小，其產(chǎn)生的科氏力使傅科擺平面偏轉(zhuǎn)不明顯，為便于觀察和分析擺平面偏轉(zhuǎn)，計(jì)算模擬中將地球自轉(zhuǎn)角速率擴(kuò)大到400倍，相關(guān)文獻(xiàn)[6-7]也采用類似的放大。

3.2 模擬結(jié)果與討論

這里將通過改變傅科擺所在緯度、初始運(yùn)動條件、擺長來分析探究相對于地球擺平面的偏轉(zhuǎn)方向和偏轉(zhuǎn)快慢的依賴因素。

（1） 擺平面偏轉(zhuǎn)方向。分別模擬了傅科擺在南、北半球相同條件下的運(yùn)動，設(shè)緯度為49°，擺長l=67m，擺錘初始坐標(biāo)和速度為（4，0，0，0），由南向北沿x 軸開始擺動，擺錘軌跡為xoy 平面內(nèi)旋輪線（見圖7），而不是一條直線，這是由于擺錘相對于轉(zhuǎn)動的地球運(yùn)動而受到橫向科氏力從而引起擺平面偏轉(zhuǎn)。在北半球，運(yùn)動物體受到科氏力總是垂直并指向運(yùn)動右側(cè)（圖7中深色剪頭），導(dǎo)致擺平面沿順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，而南半球情況與此相反，擺平面沿逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)。

（2） 擺長對傅科擺運(yùn)動的影響。仍以北緯49°為例，傅科擺擺長l 分別為40m、60m 和80m，無初速釋放擺，初始位置坐標(biāo)和速度設(shè)為（3.0，0，0，0），滿足幅角小于5°，時(shí)間設(shè)置為3個(gè)擺動周期，分別歷經(jīng)不同的時(shí)長。由圖8結(jié)果可知：擺動周期T 隨擺長增大而增加，不同擺長的擺平面沿順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)的角度不同，但擺平面偏轉(zhuǎn)角速率近似相等，即擺平面偏轉(zhuǎn)快慢與擺長無關(guān)，模擬計(jì)算的角速率 0.022rad/s與理論解析（ωsinλ）計(jì)算結(jié)果一致。這是由于使擺平面偏轉(zhuǎn)的科氏力僅與地球自轉(zhuǎn)角速度和擺錘運(yùn)動速度兩矢量有關(guān)。

（3） 緯度對傅科擺運(yùn)動的影響。以北半球?yàn)槔?，傅科擺（擺長l=67m）所在緯度依次為0°、30°、60°、90°，初始條件為（4，0，0，0），模擬過程時(shí)長為3個(gè)擺動周期。模擬結(jié)果圖9顯示：赤道處擺平面無偏轉(zhuǎn)，軌跡是一條線段;隨緯度增加，擺平面偏轉(zhuǎn)角速率依次增大;在兩極處，擺平面偏轉(zhuǎn)最快。這是因?yàn)閿[平面受到的橫向科氏力（-2mω?xsinλ）隨緯度而增大，赤道處科氏力近似為零，兩極處科氏力最大。

（4） 初速度對傅科擺運(yùn)動的影響。以北半球緯度49°處傅科擺為例，擺長l=67m。初始條件為（3，0，vx ，0），即沿?cái)[動方向施加一初速度vx ，大小分別為0.5，1.0，1.2，1.5。模擬結(jié)果圖10表明：不同初速度傅科擺擺動8個(gè)周期（131.44s）后，擺平面偏轉(zhuǎn)角保持165.46°不變，即初速度大小不影響傅科擺平面偏轉(zhuǎn)角速率（0.022rad/s），但隨著初速度與初位置比值增加，擺的運(yùn)動軌跡發(fā)生改變，這與文獻(xiàn)[6，7]結(jié)果相同。

4 結(jié)語

本文基于Python計(jì)算模擬和可視化動態(tài)過程描繪，系統(tǒng)地探究了拋體運(yùn)動偏移方向和大小的多種影響因素及其原因，以及傅科擺平面偏轉(zhuǎn)方向和快慢的因素。結(jié)論如下： （1）南、北半球水平方向運(yùn)動引起的橫向偏移方向相反，北半球偏移方向發(fā)生在運(yùn)動右側(cè)，南半球則在運(yùn)動的左側(cè);（2）南、北半球的豎直方向運(yùn)動產(chǎn)生的橫向偏移方向相同，豎直上拋運(yùn)動物體西偏，自由落體偏東，且偏移距離隨緯度增加而減小;（3）科里奧利力只改變物體運(yùn)動的方向，其大小與轉(zhuǎn)動參考系和相對運(yùn)動速度密切相關(guān);（4）空氣阻力減弱科里奧利效應(yīng)。

教學(xué)中融合計(jì)算機(jī)模擬不僅使復(fù)雜運(yùn)動過程直觀化，促進(jìn)學(xué)生深入理解抽象的理論知識，構(gòu)建清晰的物理圖像，而且也能夠拓寬解決問題的途徑和思路，開闊學(xué)生的視野，促進(jìn)學(xué)生計(jì)算思維和科研探究能力的發(fā)展，提高學(xué)生分析和解決復(fù)雜問題的能力，提升教學(xué)效果。