基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的新冠病毒群體免疫數(shù)值仿真

王佳亮 李海濱 李海燕

摘要：鑒于構(gòu)建流行病動(dòng)力學(xué)模型、探索流行病傳播規(guī)律對(duì)疫情防控具有十分重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在已有的均勻混合模型基礎(chǔ)上，針對(duì)個(gè)體接觸關(guān)系異質(zhì)化越發(fā)明顯，且每個(gè)個(gè)體都處在不同的接觸關(guān)系中，建立了兼顧個(gè)體狀態(tài)與接觸追蹤的動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)模型。模擬了新冠病毒在社會(huì)中的傳播過(guò)程。通過(guò)對(duì)比仿真結(jié)果，說(shuō)明了所建模型的合理性。在此基礎(chǔ)上，仿真計(jì)算了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與接種免疫人數(shù)占比共同作用下對(duì)新冠病毒傳播的影響，分析得到群體免疫臨界值。說(shuō)明所建傳播模型合理，接種疫苗實(shí)現(xiàn)群體免疫可行。

關(guān)鍵詞：小世界網(wǎng)絡(luò)；動(dòng)力學(xué)建模；新冠病毒；群體免疫

中圖分類號(hào)： TP391.9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

收稿日期：2021-09-06；修回日期：2021-12-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11962021）

第一作者：王佳亮（1996-），男，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與仿真。

通信作者：李海濱（1973-），男，內(nèi)蒙古呼和浩特人，博士，教授，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)不確定性分析與量化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算、六維力傳感器設(shè)計(jì)。

李海燕（1980-），女，內(nèi)蒙古呼和浩特人，本科，副主任護(hù)師，主要研究方向?yàn)閮?nèi)分泌疾病與糖足的臨床護(hù)理。

Numerical Simulation of the COVID-19 Herd Immunity Based on Complex Network Modeling

WANG Jialiang^1a， LI Haibin¹， LI Haiyan²

（1. a. College of Sciences; b. Engineering Training Center of Inner Mongolia University of Technology， Hohhot 010051， China; 2. Department of Endocrinology the First Affiliated Hospital of Inner Mongolia Medical University， Hohhot 010010， China）

Abstract：Constructing an epidemic dynamic model and exploring the spreading law of epidemic have very important theoretical significance for epidemic prevention and control. Based on the existing homogeneous mixing model， in view of the increasingly obvious heterogeneity of individual contact relationships， and each individual is in a different contact relationship， a dynamic small-world network model that takes into account individual status. Contact tracking has been established to simulate the spread of the COVID-19 in society. By comparing the simulation results， the rationality of the built model is explained. On this basis， the simulation calculated the impact of the network topology and the proportion of vaccinated people on the spread of the COVID-19， analyzed the critical value of herd immunity. The established propagation model is reasonable， and feasible to achieve herd immunization by vaccination.

Key words： small world network; dynamic modeling; COVID-19; herd immunity

0 引言

自從人類社會(huì)誕生以后，傳染病一直是困擾人類的難題之一，從早期的黑死病、天花、麻疹，到近期的埃博拉（EBOV）、寨卡病毒（Zika Virus）和新型冠狀病毒（COVID-19）^[1]。隨著航空、高鐵等交通網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展，便捷的交通為人類出行帶來(lái)方便，同時(shí)也為流行病迅速傳播提供了條件。建立流行病動(dòng)力學(xué)模型、探索病毒傳播規(guī)律、提供有效預(yù)防措施是疫情防控的重要研究?jī)?nèi)容。

經(jīng)典的均勻混合動(dòng)力學(xué)模型由Kermack和McKendrick于1926年提出，隨后基于此工作，出現(xiàn)了SEIR（Susceptible Exposed Infected Removed）、SEIQR（Susceptible Exposed Infected Quarantined Removed）等一系列擴(kuò)展模型用來(lái)研究流行病傳播，并取得了諸多重要結(jié)論和成果。針對(duì)新冠疫情，F(xiàn)ang等^[2]應(yīng)用SEIR模型進(jìn)行仿真模擬和數(shù)據(jù)擬合，預(yù)測(cè)了武漢疫情確診病例數(shù)的峰值，仿真結(jié)果表明所建模型具有較高的擬合精度。范如國(guó)等^[3]利用SEIR模型，模擬了5，7，10天3種不同潛伏期下的武漢疫情，預(yù)計(jì)此次疫情拐點(diǎn)在第71，74，78天出現(xiàn)。鐘南山院士團(tuán)隊(duì)^[4]利用優(yōu)化的SEIR模型和人工智能方法預(yù)測(cè)國(guó)內(nèi)疫情將在2月底達(dá)到高峰，4月底趨于平緩。如果封城等管控措施推遲5天實(shí)施，中國(guó)國(guó)內(nèi)的疫情規(guī)模將擴(kuò)大3倍。Gu等^[5]利用SEIR模型研究了COVID-19的傳播速度、空間范圍和動(dòng)力學(xué)機(jī)制，并對(duì)國(guó)內(nèi)疫情的擴(kuò)散趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Mwalili等^[6]利用改進(jìn)的SEIR模型，探索了新冠疫情在不采取防控措施下的蔓延情況，結(jié)果表明，若不加以防控，新冠疫情將在世界范圍內(nèi)持續(xù)擴(kuò)散，從而產(chǎn)生毀滅性影響。的確經(jīng)典的均勻混合動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)為流行病的防控做出了應(yīng)有的貢獻(xiàn)，但是在個(gè)體間接觸關(guān)系異質(zhì)化越來(lái)越明顯的情況下，均勻混合動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)無(wú)法描述目標(biāo)人群內(nèi)部復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)?；诰W(wǎng)絡(luò)建立的流行病動(dòng)力學(xué)模型能夠很好反映個(gè)體間接觸關(guān)系，從而出現(xiàn)了利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究流行病傳播的動(dòng)力學(xué)模型。楊洪勇等^[7]利用小世界網(wǎng)絡(luò)模型模擬了禽流感病毒的傳播過(guò)程，通過(guò)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比來(lái)說(shuō)明所構(gòu)建模型的有效性。程靜等^[8]用小世界網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)埃博拉病毒的傳播情況進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果與實(shí)際報(bào)道的傳播情況相符。劉漢卿等^[9]利用小世界網(wǎng)絡(luò)模型研究了COVID-19在其網(wǎng)絡(luò)中的傳播規(guī)律以及通過(guò)控制節(jié)點(diǎn)行為對(duì)其傳播的影響，數(shù)據(jù)仿真結(jié)果驗(yàn)證了模型的適用性。上述工作表明基于小世界網(wǎng)絡(luò)的流行病動(dòng)力學(xué)模型不僅能描述個(gè)體狀態(tài)轉(zhuǎn)化關(guān)系，還能夠描述個(gè)體間的有效接觸關(guān)系。因此，本文嘗試采用小世界網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建流行病傳播模型，以更好模擬新冠病毒在現(xiàn)實(shí)中的接觸傳播過(guò)程。

目前，中國(guó)的防控措施已從積極發(fā)現(xiàn)并隔離病例、追蹤隔離密切接觸者、控制人群流動(dòng)，發(fā)展到針對(duì)局部疫情暴發(fā)迅速采取多輪大規(guī)模人群病毒核酸檢測(cè)，形成了行之有效的防控策略^[10]。然而，非藥物干預(yù)措施下的疫情防控仍然面臨著外來(lái)輸入的風(fēng)險(xiǎn)，經(jīng)過(guò)科研人員的不懈努力，中國(guó)已經(jīng)成功研制出針對(duì)新型冠狀病毒的疫苗，中國(guó)國(guó)家藥品監(jiān)督管理局于2020年12月30日批準(zhǔn)了國(guó)藥集團(tuán)中國(guó)生物北京生物制品研究所新冠病毒滅活疫苗的注冊(cè)申請(qǐng)^[11]。在中國(guó)新冠疫情防控進(jìn)入疫苗時(shí)代，通過(guò)構(gòu)建群體免疫屏障來(lái)戰(zhàn)勝新冠病毒成為可能。所謂群體免疫，就是在人群中讓大多數(shù)人對(duì)某種傳染病產(chǎn)生免疫力，在社會(huì)層面形成一道保護(hù)屏障，當(dāng)一個(gè)或者多個(gè)傳染病患者進(jìn)入這樣的人群時(shí)，也不會(huì)出現(xiàn)傳染病暴發(fā)的情況^[12]。那么，接種疫苗人群占比多少能夠達(dá)到群體免疫效果是一個(gè)很有研究意義的問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題，吳丹等^[13]根據(jù)新冠病毒的基本再生數(shù)R0=1.6～6.5，通過(guò)基本再生數(shù)與群體免疫臨界值的關(guān)系式計(jì)算得到群體免疫臨界值為38%～85%。目前給出的群體免疫臨界值都是根據(jù)基本再生數(shù)通過(guò)關(guān)系式計(jì)算得到，屬于經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，缺乏必要的實(shí)驗(yàn)或仿真驗(yàn)證。因此，本文將在動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)中仿真計(jì)算免疫個(gè)體占比對(duì)新冠病毒傳播的影響，根據(jù)仿真結(jié)果給出群體免疫臨界值。

1 動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的流行病動(dòng)力學(xué)建模與仿真

在動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)中研究新冠病毒擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)過(guò)程，包括：在具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中研究新冠病毒的傳播，以及由于新冠病毒傳播對(duì)網(wǎng)絡(luò)中不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的影響。不僅需要考慮網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，還需要確定新冠病毒的傳播模式。本節(jié)將用小世界網(wǎng)絡(luò)模型模擬新冠病毒傳播過(guò)程，并與已有均勻混合模型做對(duì)比，來(lái)說(shuō)明所建模型的合理性。

1.1 小世界網(wǎng)絡(luò)上的新冠病毒傳播模型

小世界網(wǎng)絡(luò)模型最早由Watts和Strogatz提出，具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的小世界網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)造規(guī)則為^[14]：1）首先將N個(gè)節(jié)點(diǎn)排列成一個(gè)圓并順時(shí)針按序編號(hào)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)與其左右最近鄰的各K/2個(gè)節(jié)點(diǎn)連線，生成一個(gè)具有N·K/2條邊的最近鄰規(guī)則網(wǎng)絡(luò)；2）將步驟1）生成的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中的每一條邊以概率p進(jìn)行斷線重連處理，重連過(guò)程中，保證網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有重復(fù)邊和自連接的情況。當(dāng)p=0時(shí)，對(duì)應(yīng)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)；當(dāng)p=1時(shí)，對(duì)應(yīng)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)；當(dāng)0

流行病在傳播過(guò)程中，個(gè)體的狀態(tài)可分為易感態(tài)S、潛伏態(tài)E、有癥狀的患病態(tài)I、無(wú)癥狀的患病態(tài)A、隔離態(tài)Q、治愈態(tài)R和死亡態(tài)D等幾種基本狀態(tài)。其中，除了易感態(tài)S和有癥狀的患病態(tài)I是必選之外，其它狀態(tài)要根據(jù)實(shí)際需要加以選擇^[15]。根據(jù)新冠病毒傳播特性，本文將目標(biāo)人群中的個(gè)體狀態(tài)分為5類：易感態(tài)S（未患病但可以被感染）；非傳染潛伏態(tài)E1（無(wú)癥狀患病態(tài)但不具有傳染性）；傳染潛伏態(tài)E2（無(wú)癥狀患病態(tài)且具有傳染性）；患病態(tài)I（有癥狀患病態(tài)且具有傳染性）；隔離態(tài)Q（被隔離的有癥狀患病態(tài)）。根據(jù)新冠病毒傳播規(guī)律，易感態(tài)個(gè)體被接觸感染后變?yōu)闈摲鼞B(tài)，文獻(xiàn)[16]表明，潛伏態(tài)個(gè)體在潛伏期初期不具有傳染性，到了潛伏期后期開(kāi)始具有傳染性。因此，將潛伏態(tài)個(gè)體分為非傳染潛伏態(tài)和傳染潛伏態(tài)2個(gè)相互獨(dú)立的狀態(tài)。潛伏態(tài)個(gè)體經(jīng)過(guò)潛伏期后變?yōu)榛疾B(tài)，之后以一定概率被隔離。至此，完成了對(duì)任一易感態(tài)個(gè)體從感染到隔離全過(guò)程的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤描述。所以，本文確定網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程如下：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)處于易感態(tài)時(shí)，與其相連的每一個(gè)傳染潛伏態(tài)節(jié)點(diǎn)以概率β_E對(duì)其進(jìn)行感染，與其相連的每一個(gè)患病態(tài)節(jié)點(diǎn)以概率β_I對(duì)其進(jìn)行感染，同時(shí)需要判斷該節(jié)點(diǎn)是否被感染為非傳染潛伏態(tài)；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)處于非傳染潛伏態(tài)時(shí)，該節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)非傳染潛伏期τ_E1后轉(zhuǎn)化為傳染潛伏態(tài)；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)處于傳染潛伏態(tài)時(shí)，該節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)傳染潛伏期τ_E2后轉(zhuǎn)化為患病態(tài)；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)處于患病態(tài)時(shí)，該節(jié)點(diǎn)將以概率γ_Q被隔離轉(zhuǎn)化為隔離態(tài)。上述節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖1所示，對(duì)應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示。

綜合上述分析，將小世界網(wǎng)絡(luò)上的新冠病毒傳播過(guò)程總結(jié)為：1）初始化，生成一個(gè)具有N·K/2條邊的最近鄰規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。2）小世界網(wǎng)絡(luò)，將規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中的每一條邊以概率p進(jìn)行斷線重連處理，重連過(guò)程中，保證網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有重復(fù)邊和自連接的情況。3）引入傳染源，在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取比例為E0的非傳染潛伏態(tài)個(gè)體作為初始傳染源，其余為易感態(tài)個(gè)體。4）開(kāi)始傳染，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化與節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)化同步進(jìn)行，每同步進(jìn)行一次為一個(gè)迭代步，周期為1 d。5）記錄數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)每一個(gè)迭代步所有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，在觀測(cè)時(shí)間點(diǎn)上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并作圖。

1.2 小世界網(wǎng)絡(luò)上新冠病毒的傳播仿真

本節(jié)將通過(guò)與文獻(xiàn)[17]中的時(shí)滯均勻混合模型仿真對(duì)比來(lái)驗(yàn)證所構(gòu)建模型的合理性。在仿真之前首先要確定模型參數(shù)。

待定的模型參數(shù)有β_E，β_I，τ_E1，τ_E2，γ_Q。其中，接觸感染率β_E，β_I和潛伏期時(shí)間常數(shù)τ_E1，τ_E2等參數(shù)反映的是病毒傳播特性。文獻(xiàn)[15]根據(jù)武漢某醫(yī)院新冠患者接觸治療情況給出了一次接觸感染率β_E，β_I；文獻(xiàn)[18]給出了新冠病毒潛伏期參數(shù)估計(jì)的研究報(bào)道，潛伏期中位數(shù)為5.5 d，95%患者的潛伏期不超過(guò)13 d。據(jù)此本文設(shè)定新冠病毒的潛伏期為12～13 d，大致分為兩個(gè)階段，即非傳染潛伏期τ_E1為5～6 d、傳染潛伏期τ_E2為7～8 d。將上述各參數(shù)列于表1。隔離率γ_Q的設(shè)定取決于對(duì)疫情防控的響應(yīng)速度。

在上述參數(shù)條件下，分別利用小世界網(wǎng)絡(luò)模型和文獻(xiàn)[17]中的時(shí)滯均勻混合模型進(jìn)行疫情動(dòng)力學(xué)仿真。取網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=5 000，每個(gè)節(jié)點(diǎn)初始擁有的鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)K=28，斷線重連率p=0.05，非傳染潛伏態(tài)個(gè)體占比E0=0.01，其他參數(shù)見(jiàn)表1，以180 d為觀測(cè)終點(diǎn)進(jìn)行仿真。在上述各態(tài)不考慮隔離措施情況下，圖2中的“—”模擬了新冠疫情在動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)中傳播的全過(guò)程；圖2中的“○”為同參數(shù)條件下文獻(xiàn)[17]中的時(shí)滯均勻混合動(dòng)力學(xué)模型仿真所得結(jié)果。

對(duì)比圖2所得結(jié)果可以看到，兩種方法在疫情傳播過(guò)程中各態(tài)節(jié)點(diǎn)變化趨勢(shì)高度吻合，可以說(shuō)明本文所建模型的合理性。由于文獻(xiàn)[17]中的均勻混合傳播模型是以時(shí)滯微分方程形式描述的，模型給定初始條件后，應(yīng)用MATLAB中的“dde23”可以求出確定的解；且均勻混合傳播模型對(duì)應(yīng)“全連通網(wǎng)絡(luò)”，表示為任意一個(gè)患病態(tài)個(gè)體可以把病毒傳染給網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)易感態(tài)個(gè)體。本文所構(gòu)建的動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)傳播模型，既考慮了新冠病毒傳播過(guò)程中的隨機(jī)性，又根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)明實(shí)際的患病態(tài)個(gè)體只把病毒傳染給了所接觸的有限個(gè)體，從而造成了仿真結(jié)果的差異。基于網(wǎng)絡(luò)建立的傳播模型，既涵蓋了病毒的傳播特性，又包含了自身結(jié)構(gòu)的特性，可以使人們對(duì)新冠病毒接觸傳播的過(guò)程認(rèn)識(shí)更加清晰。

2 基于網(wǎng)絡(luò)的群體免疫數(shù)值仿真

以最小的代價(jià)去控制流行病的傳播，將流行病擴(kuò)散造成的影響和損失降到最低，可以通過(guò)對(duì)人群中大部分人進(jìn)行免疫來(lái)實(shí)現(xiàn)，這樣不僅接種疫苗的免疫者能夠得到保護(hù)，全人群也可能獲得保護(hù)。因此，本節(jié)將在動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)中討論免疫個(gè)體占比對(duì)新冠病毒傳播的影響。主要包括兩方面工作：1）仿真對(duì)比有、無(wú)免疫個(gè)體兩種情況下，新冠病毒在動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)中的傳播過(guò)程，通過(guò)仿真結(jié)果來(lái)說(shuō)明，由于免疫個(gè)體的存在對(duì)病毒傳播造成的影響。2）在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與初始免疫人數(shù)占比共同作用下，在不同觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上仿真計(jì)算了新冠病毒傳播的最終感染人數(shù)占比；根據(jù)感染人數(shù)占比計(jì)算有效再生系數(shù)，分析給出了群體免疫臨界值。

首先通過(guò)仿真來(lái)說(shuō)明免疫個(gè)體的存在對(duì)新冠病毒傳播的影響。取網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=5 000，每個(gè)節(jié)點(diǎn)初始擁有的鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)K=24，斷線重連率p=0.05，非傳染潛伏態(tài)個(gè)體占比E0=0.01，初始免疫個(gè)體占比R=0.2，其他參數(shù)見(jiàn)表1，以90 d為觀測(cè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行仿真。圖3、圖4分別模擬了有、無(wú)免疫個(gè)體情況下新冠病毒的傳播過(guò)程。

分析圖3與圖4所得結(jié)果，在90 d觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上，無(wú)免疫個(gè)體時(shí)最終感染人數(shù)占比約為51.68%，有免疫個(gè)體時(shí)最終感染人數(shù)占比約為17.66%，其中感染人數(shù)占比為非傳染潛伏態(tài)、傳染潛伏態(tài)、患病態(tài)個(gè)體占比的總和。通過(guò)仿真結(jié)果可以看出，免疫個(gè)體的存在能夠大幅減少病毒擴(kuò)散。

在網(wǎng)絡(luò)中討論接種免疫人數(shù)占比對(duì)病毒傳播的影響，需要考慮網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以及初始免疫人數(shù)的占比。假設(shè)表征網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的參數(shù)用平均路徑長(zhǎng)度L來(lái)描述，平均路徑長(zhǎng)度是指網(wǎng)絡(luò)中連接任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)所要經(jīng)過(guò)的最少連邊個(gè)數(shù)的平均值^[19]。由于圖3所得結(jié)果僅選擇了一組參數(shù)，下面將對(duì)模型參數(shù)取不同的值分別進(jìn)行仿真計(jì)算，以探索表征網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的參數(shù)L與初始免疫人數(shù)占比R共同作用下，對(duì)網(wǎng)絡(luò)中新冠病毒傳播最終感染人數(shù)G占比的影響。取網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=5 000，非傳染潛伏態(tài)個(gè)體占比E0=0.01保持不變，為了得到不同觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上感染人數(shù)G的占比，將在隨機(jī)變量L和R組成的各離散點(diǎn)上，分別以30 d，60 d，90 d為觀測(cè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行仿真計(jì)算，所得結(jié)果如圖5所示。

分析圖5所得結(jié)果，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度L較小時(shí)，病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度較快；隨著免疫人數(shù)占比的逐漸增加，病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度減慢，最終感染人數(shù)占比減少。下面將根據(jù)感染人數(shù)占比計(jì)算有效再生系數(shù)，分析給出不同觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上的群體免疫臨界值。

通過(guò)式（2）^[20]：

計(jì)算有效再生系數(shù)，其中，total（t）為第t天的感染人數(shù)占比（見(jiàn)圖5），t為傳播天數(shù)，取值為30，60，90；n為初始的感染人數(shù)占比，取值為0.01；k為有效再生系數(shù)；將圖5中所得的每種情況的total（t）分別對(duì)有效再生系數(shù)k進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果如圖6所示。

綜合分析圖5、圖6所得結(jié)果，在30 d觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上，當(dāng)免疫人數(shù)占比達(dá)到35%左右時(shí)，感染人數(shù)占比最多為1.88%，有效再生系數(shù)k=0.468 08，小于0.5，可以認(rèn)為達(dá)到群體免疫效果。在60 d觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上，當(dāng)免疫人數(shù)占比達(dá)到65%左右時(shí)，感染人數(shù)占比最多為1.81%，有效再生系數(shù)k=0.447 51，小于0.5，可以認(rèn)為達(dá)到群體免疫效果。在90 d觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上，當(dāng)免疫人數(shù)占比達(dá)到70%左右時(shí)，感染人數(shù)占比最多為1.84%，有效再生系數(shù)k=0.456 52，小于0.5，可以認(rèn)為達(dá)到群體免疫效果。

3 總結(jié)

針對(duì)流行病動(dòng)力學(xué)建模，本文建立了兼顧個(gè)體狀態(tài)與接觸追蹤的動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò)上的新冠病毒傳播模型，與均勻混合動(dòng)力學(xué)模型相比，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的新冠病毒傳播模型能夠更好地反映個(gè)體接觸的傳染情況，對(duì)病毒傳播過(guò)程的追蹤更容易。針對(duì)疫情防控策略的群體免疫，首先仿真計(jì)算了有、無(wú)免疫個(gè)體對(duì)網(wǎng)絡(luò)中新冠病毒傳播的影響。仿真結(jié)果表明，免疫個(gè)體的存在能夠大幅減少病毒擴(kuò)散。之后對(duì)模型參數(shù)取不同的值進(jìn)行仿真計(jì)算，定量探索了初始免疫人數(shù)占比與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)共同作用對(duì)新冠病毒傳播的影響。根據(jù)感染人數(shù)占比通過(guò)式（2）計(jì)算有效再生系數(shù)，綜合分析得到30 d，60 d，90 d觀測(cè)節(jié)點(diǎn)上的群體免疫臨界值分別為35%，65%，70%，即當(dāng)初始免疫人數(shù)占比分別達(dá)到35%，65%，70%時(shí)，疫情在網(wǎng)絡(luò)中傳播30 d，60 d，90 d也不會(huì)出現(xiàn)暴發(fā)的情況。隨著觀測(cè)時(shí)間向后推移，感染人數(shù)占比呈明顯上升趨勢(shì)，可知疫情長(zhǎng)期防控比短期防控難度更大，但是隨著疫苗的優(yōu)化與大規(guī)模接種，群體免疫屏障會(huì)越來(lái)越堅(jiān)固，人類終將戰(zhàn)勝新冠病毒。

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（責(zé)任編輯 李 進(jìn)）