懸鏈線理論在大弦傾角滑索設(shè)計(jì)計(jì)算中的應(yīng)用

趙九峰

(1．河南省特種設(shè)備安全檢測(cè)研究院,鄭州 450000;2．航空經(jīng)濟(jì)發(fā)展河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,鄭州 450046)

0 引言

滑索源于瑞士,用于高山峽谷地區(qū)運(yùn)輸物品或者載人,現(xiàn)在很多景區(qū)都有滑索?；饕园惭b在兩個(gè)具有落差支點(diǎn)上的承載索(通常為鋼絲繩)為軌道,以懸掛于承載索上的滑行小車為運(yùn)行載體,乘客穿戴柔性吊具懸掛于滑行小車上,在重力作用下沿承載索從高支點(diǎn)滑至低支點(diǎn)[1]?；魍ǔ？缭皆谏焦?、河流、湖面之上,因此其設(shè)計(jì)安全性非常重要[2]。

滑索屬于安全監(jiān)察的特種設(shè)備[3],國(guó)內(nèi)有關(guān)人員對(duì)其做了大量研究。文獻(xiàn)[4]研究了基于拋物線理論承載索張緊力的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[5]根據(jù)弦多邊理論對(duì)滑索鋼絲繩張力原理進(jìn)行分析。以上研究都是基于拋物線理論,對(duì)于大弦傾角滑索,傳統(tǒng)拋物線理論計(jì)算的誤差較大[6],宜采用懸鏈線理論計(jì)算滑索的參數(shù)。

在小弦傾角滑索的設(shè)計(jì)中,可按拋物線理論分析計(jì)算,求解承載索的撓度、長(zhǎng)度等參數(shù),以解決滑索的安裝問題。對(duì)于大弦傾角滑索的設(shè)計(jì)和安裝,滑索的中央撓度、最低點(diǎn)的位置、索長(zhǎng)等參數(shù)通常難以精確計(jì)算。為此,本文在滑索受力分析的基礎(chǔ)上,根據(jù)力的平衡原理,將懸鏈線標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為滑索懸鏈線方程,并得出滑索安裝參數(shù)的計(jì)算公式。結(jié)合實(shí)際,以跨度為315 m的滑索為例,在不同水平拉力下求解滑索安裝參數(shù)并繪制線形圖,結(jié)果表明,該計(jì)算方法可為大弦傾角滑索工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 滑索組成及工作原理

滑索結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 滑索結(jié)構(gòu)示意圖

滑索主要由滑索承載索、滑車(含滑行小車、滑行吊具)、上站支架、下站支架四部分組成[5]。其中承載索為滑索的主要受力部件,主要由連接上下支點(diǎn)的1根或者2根鋼絲繩組成。承載索作為滑車滑行的軌道,滑車和乘客依靠自身的重力從上站滑行至下站,因此承載索連接的上下支點(diǎn)存在一定的落差[3]。

滑索設(shè)計(jì)需先進(jìn)行安裝參數(shù)的計(jì)算,因此,承載索作為滑索的重要組成部分之一,其選擇是在滑索的弦傾角、水平跨度、無荷索長(zhǎng)、中撓系數(shù)等安裝參數(shù)確定后進(jìn)行。

2 滑索安裝參數(shù)

2.1 弦傾角

滑索兩端固定點(diǎn)的連線為弦線,弦線與水平面之間的夾角為滑索弦線傾角,由下式確定

α=arctan(h/L)

(1)

式中:h為滑索上、下站點(diǎn)的落差;L為滑索上、下站點(diǎn)的水平跨度。

滑索的弦傾角一般在3°～10°之間,超過10°為大弦傾角滑索[7]。安裝位置確定后,滑索弦傾角基本確定,只能通過上、下站點(diǎn)站臺(tái)的高度進(jìn)行微調(diào)。

2.2 無荷索長(zhǎng)

無荷是指滑索安裝時(shí),承載索除了受到自身重力外,不受滑車和乘客的作用,此時(shí)滑索承載索在兩個(gè)安裝支點(diǎn)之間的曲線長(zhǎng)度為無荷索長(zhǎng)[8],用符號(hào)S表示。S是滑索設(shè)計(jì)和安裝的重要參數(shù)。承載索是易損件,通常每6年更換一次。在設(shè)計(jì)時(shí):S過短,承載索無法滿足安裝要求而報(bào)廢;S過長(zhǎng),會(huì)造成浪費(fèi),增加建設(shè)成本?？梢?S需準(zhǔn)確計(jì)算。

2.3 中撓系數(shù)

滑索在空載狀態(tài)下,承載索到弦線間的鉛錘距離為撓度,跨中的撓度為中央撓度(l0),中央撓度與跨度的比值為中撓系數(shù)(f0)[9]?；靼惭b過程中,通常用中撓系數(shù)來衡量滑索張緊程度[8]。

f0過大,承載索彎曲大,滑車運(yùn)行過程中晃動(dòng)較大,運(yùn)行不平穩(wěn),且承載索磨損加快;f0過小,承載索的預(yù)緊張力大,承載能力降低。承載索的f0推薦值為0.03～0.05。對(duì)于大弦傾角滑索,可通過增大f0來降低滑車進(jìn)站速度,但一般不大于0.10[10]。

3 承載索的數(shù)學(xué)模型

滑索理論主要有拋物線理論和懸鏈線理論,對(duì)于大弦傾角滑索,懸鏈線理論具有更高的計(jì)算精度[11]。為采用懸鏈線理論分析承載索的安裝參數(shù),需求解其對(duì)應(yīng)的懸鏈線。

3.1 理論假設(shè)

懸鏈線是一條兩端固定依靠自身重量自由下垂所形成的曲線[12]。為便于滑索懸鏈線方程的建立,對(duì)安裝中的滑索做出如下假設(shè)[13]

(1)承載索是理想柔性體,其抗彎剛度在計(jì)算中忽略不計(jì);

(2)承載索質(zhì)量沿長(zhǎng)度方向均勻分布;

(3)承載索只能承受軸向拉伸,不承受壓力和彎曲作用。

3.2 懸鏈線方程的推導(dǎo)

以懸鏈的最低點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,垂直方向?yàn)閥軸,則懸鏈線可用方程y=f(x)表示,圖2所示為懸鏈坐標(biāo)系和受力示意圖。由圖2可見,A點(diǎn)水平方向上承受向左的拉力H0。此外,圖2中右側(cè)C點(diǎn)為懸鏈懸掛點(diǎn),在弧AC上任取一點(diǎn)B,則B點(diǎn)承受沿切線方向的拉力T,T和水平方向夾角為θ。

圖2 懸鏈坐標(biāo)系和受力示意圖

設(shè)弧AB的弧長(zhǎng)為s(x),懸鏈單位長(zhǎng)度的重力為q,則豎直方向由于重力作用懸鏈線張力的垂直分力從最低處起逐漸增加,而水平方向上張力的水平分力處處相等[14]。

根據(jù)靜力平衡原理有

豎直方向:

Tsinθ=qs(x)

(2)

水平方向:

Tcosθ=H0

(3)

由式(2)和(3)可得

(4)

由于tanθ為B點(diǎn)切線的斜率,即

y′=tanθ

(5)

有

(6)

對(duì)于弧AB,由弧長(zhǎng)公式可得[15]

(7)

將式(6)代入式(7)有

(8)

對(duì)式(8)兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得

(9)

整理得

(10)

對(duì)式(10)兩邊積分

(11)

可得

(12)

則

(13)

由雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)之間的求導(dǎo)積分關(guān)系,可得懸鏈線的方程為

(14)

則,懸鏈線方程為

(15)

可見,承載索的懸鏈線方程為雙曲余弦函數(shù)。

3.3 懸鏈線方程

圖3 滑索無荷線形示意圖

懸鏈線方程為

(16)

式中,x0為懸鏈線最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

3.4 懸鏈線最低點(diǎn)橫坐標(biāo)

如圖3所示,可設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,yA)、(L,yB),A、B兩點(diǎn)為滑索的兩個(gè)端點(diǎn),則

(17a)

(17b)

由圖示的幾何關(guān)系有

yB-yA=Ltanα

(18)

將式(17a)和(17b)代入式(18)得

(19)

利用函數(shù)變換關(guān)系可得

(20)

求解得

(21)

3.5 無荷中撓系數(shù)

滑索懸鏈兩端A、B直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)

(22)

無荷中央撓度

(23)

無荷中撓系數(shù)

(24)

3.6 無荷索長(zhǎng)

根據(jù)前述分析可得無荷索長(zhǎng)為

(25)

4 實(shí)例計(jì)算

以水平跨度L=315 m的單線滑索為對(duì)象,滑索落差h為66 m,主承載索選用18 ZZA 6×19W+IWS線接觸、交互捻鋼芯鍍鋅鋼絲繩,承載索單位長(zhǎng)度重力q為12.25 N。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn),承載索安裝設(shè)定的初始水平拉力H0=5 000、7 000和9 000 N。

由式(1)可得弦傾角

該滑索為大弦傾角滑索,采用懸鏈線理論計(jì)算滑索的安裝參數(shù)。

由式(21)計(jì)算滑索最低點(diǎn)橫坐標(biāo)

74.88

由式(16)計(jì)算滑索的懸鏈線方程

408.16cosh(0.002 45x-0.183)

(0≤x≤315)

由式(17)計(jì)算滑索兩端的縱坐標(biāo)

則滑索的落差為65.80 m,與滑索的實(shí)際安裝落差66.0 m吻合良好。

由式(22)計(jì)算滑索兩端連直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)

由式(23)計(jì)算滑索的無荷中央撓度

由式(24)計(jì)算滑索的無荷中撓系數(shù)

由式(25)計(jì)算滑索的無荷索長(zhǎng)

329.50 m

同理,計(jì)算水平拉力H0為7 000 N和9 000 N時(shí)的安裝參數(shù)。3種水平拉力下滑索的安裝參數(shù)示于表1。

表1 滑索安裝參數(shù)匯總表

由式(16)得

H0=7 000 N時(shí),懸鏈線方程

y=571.43cosh(0.001 75x-0.070) (0≤x≤315)

H0=9 000 N時(shí),懸鏈線方程

y=734.70cosh(0.001 36x-0.085) (0≤x≤315)

三種水平拉力下滑索的線形,如圖4所示。

圖4 三種水平拉力下滑索的線形

5 結(jié)論

針對(duì)大弦傾角的滑索設(shè)計(jì),采用懸鏈線理論基于懸鏈線受力分析,得出滑索懸鏈線方程。以懸鏈線的標(biāo)準(zhǔn)線形為基礎(chǔ),建立滑索無荷線形的函數(shù)方程,進(jìn)而得到滑索最低點(diǎn)橫坐標(biāo)、中央撓度、中撓系數(shù)和索長(zhǎng)的計(jì)算公式。結(jié)合工程實(shí)例,分別計(jì)算分析得到三種不同水平拉力工況下大弦傾角滑索的安裝參數(shù),計(jì)算結(jié)果與實(shí)際吻合良好。該計(jì)算方法可為大弦傾角滑索的設(shè)計(jì)、制造、現(xiàn)場(chǎng)安裝、調(diào)試提供參考和借鑒。