B-統(tǒng)計(jì)-α-可積與大數(shù)定律

陳夢(mèng)如 ,汪忠志 ,彭維才

(1.皖江工學(xué)院 基礎(chǔ)部,安徽馬鞍山 243000;2.安徽工業(yè)大學(xué)微電子與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,安徽馬鞍山 243000;3.巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽合肥 238000)

§1 引言

眾所周知,極限理論在概率論,泛函分析,物理,通信,金融等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用,引起了廣泛的研究并獲得了豐富的研究成果.如,楊衛(wèi)國(guó)等(2014)[1],石志巖等(2017)[2]和黃輝林(2019)[3]建立了馬爾科夫鏈的強(qiáng)大數(shù)定律.吳群英(2021)[4]建立了次線性期望空間下加權(quán)和的強(qiáng)極限定理.此外,在概率論極限理論中,一致可積可以在弱大數(shù)定律成立的情況下放寬隨機(jī)變量序列同分布的條件,因而得到了極大的推廣.Chandra (1989)[5]推廣了一致可積(Chung (1974)[6])的概念,給出了Cesàro一致可積的定義.研究表明更一般的Cesàro一致可積是大數(shù)定律成立的一個(gè)基本條件.例如,Bose 和Chandra (1993)[7]證明了在一般情況下,Cesàro一致可積可以推出收斂.隨后,Cabrera (1994)[8]又對(duì)Cesàro一致可積進(jìn)行了推廣,定義了{(lán)ank}-一致可積,并得到了在{ank}-一致可積條件下的加權(quán)和ank(Xk-EXk)的一類極限定理.然而,仍有許多隨機(jī)變量序列無法滿足以上的一些一致可積條件,因此對(duì)條件較弱的可積性的研究是非常有必要的,事實(shí)上,已有許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究.比如,Chandra和Goswami (2003)[9]將Cesàro一致可積推廣到了可積,定義了Cesàroα-可積和強(qiáng)Cesàroα-可積的概念.在這兩類可積條件下,弱大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律對(duì)兩兩獨(dú)立的隨機(jī)變量序列依然成立.之后,Chandra和Goswami (2006)[10]又提出了一組更一般的可積性的概念,稱為殘差Cesàroα-可積和殘差Cesàro (α,p)-可積,得到了若干相依隨機(jī)變量序列的Lp收斂定理和強(qiáng)大數(shù)定律.

近年來,對(duì)隨機(jī)變量序列一致可積性在統(tǒng)計(jì)意義上的推廣的研究引起了許多學(xué)者的極大興趣.例如,Antonini等(2019)[11]定義了隨機(jī)變量序列A-統(tǒng)計(jì)一致可積的概念,這個(gè)概念比經(jīng)典的一致可積更一般,且給出了A-統(tǒng)計(jì)一致可積的一些性質(zhì).Cabrera等(2020)[12]提出了隨機(jī)變量序列基于{ank}的B-統(tǒng)計(jì)一致可積的概念(簡(jiǎn)稱BUI).在B-統(tǒng)計(jì)一致可積條件下,得到了兩兩獨(dú)立的隨機(jī)變量序列的加權(quán)和ank(Xk-EXk)的統(tǒng)計(jì)意義上平均收斂的大數(shù)定律.

雖然從統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)可積性進(jìn)行推廣的研究有著重要的意義,但關(guān)于B-統(tǒng)計(jì)的可積性還未見討論,這里“B”是一個(gè)非負(fù)正則可和矩陣.眾所周知,可和性理論可以使非收斂級(jí)數(shù)或序列在更一般的意義上收斂.因此,它在概率論極限理論中有著廣泛的應(yīng)用(具體可見Cabrera等(2022)[13];ünver等(2017)[14]).本文中,引入了一個(gè)非負(fù)正則可和矩陣“B”來定義一類新的概念:基于{ani}的B-統(tǒng)計(jì)-α-可積(BI(α)),基于{ani}的殘差B-統(tǒng)計(jì)-α-可積(RBI(α))和基于{ani}的殘差B-統(tǒng)計(jì)-(α,p)-可積(RBI(α,p)).這些概念都要比基于{ank}的B-統(tǒng)計(jì)一致可積(見Cabrera等(2020)[12])和Cesàroα-可積(見Chandra和Goswami(2003)[9])更一般.此外,還得到了ani(Xi-EXi)和aniXi的B-統(tǒng)計(jì)p階平均收斂定理,這是對(duì)Cabrera等(2020)[12]的結(jié)果的推廣.

本文結(jié)構(gòu)如下:§2給出了一些符號(hào)的含義,基本的定義和所需要的引理;§3給出了本文的主要結(jié)果和證明,包括B-統(tǒng)計(jì)平均收斂的大數(shù)定律及一些推論.

§2 預(yù)備知識(shí)

實(shí)數(shù)M稱為序列{xk}的一個(gè)B-統(tǒng)計(jì)上界,如果δB({k ∈N :xk>M})=0.且{xk}稱為B-統(tǒng)計(jì)有上界的序列.所有B-統(tǒng)計(jì)上界構(gòu)成的集合的下確界稱為{xk}的B-統(tǒng)計(jì)上確界,記為

如果對(duì)任意的ε>0,有

則稱序列{xk}是B-統(tǒng)計(jì)收斂到實(shí)數(shù)α的,記為stB-limk→∞xk=α.

定義2.2[12]稱隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-統(tǒng)計(jì)一致可積(BUI)的,如果

現(xiàn)在給出一些新的可積性的定義,這些可積比BUI更具有一般性.

定義2.3令α ∈(0,∞),稱隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-統(tǒng)計(jì)-α-可積(BI(α))的,如果以下兩個(gè)條件成立:

注2.1顯然對(duì)β>α>0,若序列是BI(α)的,則一定也是BI(β)的.

在定理3.1中,證明了BI(α)(α>0)的條件比BUI弱,也就是說對(duì)所有的α>0,滿足BUI的隨機(jī)變量序列一定是BI(α)的.

定義2.4令α ∈(0,∞),稱隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的殘差B-統(tǒng)計(jì)-α-可積(RBI(α))的,如果以下兩個(gè)條件成立:

定義2.5令α ∈(0,∞)p ∈(0,∞),稱隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-統(tǒng)計(jì)-(α,p)-可積(RBI(α,p))的,如果以下兩個(gè)條件成立:

注2.3不難看出,當(dāng)p=1時(shí),RBI(α,1)與RBI(α)等價(jià).此外,若隨機(jī)變量序列{|Xi|p,i ∈N}是BI(β)的,則{Xi,i ∈N}一定是RBI(α,p)的,其中α=β/p.

在給出下列引理之前,先介紹一下B-統(tǒng)計(jì)p階平均收斂的概念.設(shè)p ≥1,稱隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是B-統(tǒng)計(jì)p階平均收斂于隨機(jī)變量X的,如果

§3 主要結(jié)果

定理3.1若隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是BUI的,則對(duì)任意的α>0,它都是BI(α)的.

證如果{Xi,i ∈N}是BUI的,則存在λ,0<λ<∞,使得

由引理2.2可知存在一個(gè)Borel可測(cè)函數(shù)φ:(0,∞)→(0,∞),使得

定理3.2假設(shè)兩兩獨(dú)立的隨機(jī)變量序列{Xi,i ∈N}是BI(α)的.令實(shí)數(shù)陣列{ani}滿足

由序列的兩兩獨(dú)立性可得

推論3.1如果定理3.2中的條件BI(α)替換為較弱的RBI(α),結(jié)論仍然成立.

注意到{Zi,i ∈N}也是一個(gè)鞅差序列且

因此對(duì)任意的ε>0有

注3.1若非負(fù)正則可和矩陣B是單位矩陣,則由定理3.5可立即推得[10]中的定理3.1.這說明定理3.5是其定理3.1的推廣.