固定效應(yīng)部分線性單指標(biāo)空間自回歸面板模型的二次推斷函數(shù)估計(jì)

丁飛鵬

(江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江西南昌 330013;江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江西南昌 330022)

§1 引言

眾多領(lǐng)域的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)空間效應(yīng)(即空間相依性和空間異質(zhì)性)問(wèn)題,這與經(jīng)典計(jì)量理論的基礎(chǔ)假設(shè)相違背,導(dǎo)致經(jīng)典計(jì)量分析方法難以解釋這種空間效應(yīng),為此,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家建立了空間計(jì)量模型.該模型自提出后,引起了學(xué)術(shù)界的高度重視.文[1-2]詳細(xì)地描述了空間計(jì)量模型的理論方法及應(yīng)用.在各種空間計(jì)量模型中,空間自回歸模型(SAR)受到了極大關(guān)注,大量針對(duì)該模型的估計(jì)方法相繼建立,例如,糾正普通最小二乘法(參見(jiàn)文[3]),矩估計(jì)法(參見(jiàn)文[4]),廣義矩估計(jì)法(參見(jiàn)文[5-7]),準(zhǔn)極大似然估計(jì)法(參見(jiàn)文[8-10]).這些模型的特點(diǎn)是通常假設(shè)回歸函數(shù)為線性或已知的非線性形式.然而在實(shí)際應(yīng)用中,變量間的空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)關(guān)系往往存在高度非線性,而且事先也很難預(yù)知回歸函數(shù)的形式,因此采用這些模型進(jìn)行實(shí)證分析,容易出現(xiàn)模型誤設(shè)現(xiàn)象,影響結(jié)論分析的準(zhǔn)確性.

非參數(shù)計(jì)量方法的出現(xiàn),為解決模型誤設(shè)問(wèn)題提供了新的途徑.該方法降低了對(duì)回歸函數(shù)形式的要求,能夠提供更好的擬合效果,在計(jì)量理論和實(shí)證分析中得到了廣泛研究和應(yīng)用.目前,一些學(xué)者已將非參數(shù)計(jì)量技術(shù)引入空間計(jì)量模型中,建立了大量非參數(shù)空間計(jì)量模型及其估計(jì)方法.文[11]將邊際積分法和局部線性法結(jié)合,研究了空間數(shù)據(jù)的非參數(shù)回歸模型,并建立了漸近理論;與文[11]不同,文[12]在誤差項(xiàng)存在空間相關(guān)性,條件異質(zhì)性及非同分布的條件下,研究了空間數(shù)據(jù)的非參數(shù)回歸模型,在給定一些充分條件下,推導(dǎo)了模型的大樣本性質(zhì);文[13]為部分線性空間自回歸模型建立了截面極大似然估計(jì)法;隨后,文[14-15]將截面極大似然估計(jì)法分別應(yīng)用于非參數(shù)空間動(dòng)態(tài)模型和部分線性單指標(biāo)空間自回歸模型的研究中;然而,截面極大似然估計(jì)法無(wú)法獲得解析表達(dá)式,因此在實(shí)際中不易實(shí)施,為此,文[16]建議采用廣義矩法估計(jì)半?yún)?shù)空間自回歸模型;根據(jù)文[16]的建議,文[17-18]采用廣義矩估計(jì)法分別研究了部分線性單指標(biāo)空間自回歸模型和部分線性可加空間自回歸模型;文[19]則考慮了隨機(jī)場(chǎng)(random fields)下的非參數(shù)空間自回歸模型,推導(dǎo)了估計(jì)量的大樣本性質(zhì);文[20]為部分線性單指標(biāo)空間自回歸模型建立貝葉斯估計(jì)法.

最近,面板數(shù)據(jù)計(jì)量模型發(fā)展迅速.其主要原因是面板數(shù)據(jù)具有純截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn):一是面板數(shù)據(jù)具有更多的自由度,可讓研究人員估計(jì)更復(fù)雜的模型;二是面板數(shù)據(jù)可以消除異質(zhì)性問(wèn)題,估計(jì)結(jié)果更加有效;三是可減少共線性等問(wèn)題的出現(xiàn).基于此,一些學(xué)者將非參數(shù)空間計(jì)量模型與面板數(shù)據(jù)計(jì)量模型結(jié)合,建立了非參數(shù)空間面板模型.當(dāng)前關(guān)于非參數(shù)空間面板模型的文獻(xiàn)還較為有限,文[21]結(jié)合樣條函數(shù)及半?yún)?shù)最小二乘法,研究了誤差項(xiàng)具有空間異質(zhì)和空間相關(guān)情形下的半?yún)?shù)空間面板固定效應(yīng)模型;文[22]則考慮了半?yún)?shù)空間動(dòng)態(tài)面板固定效應(yīng)模型,為模型建立了兩階段最小二乘法,并證明了估計(jì)量的大樣本性質(zhì);文[23]采用空間異質(zhì)懲罰算法(algorithm based on spatial anisotropic penalties)研究了一種半?yún)?shù)空間自回歸面板模型,該模型的特點(diǎn)是時(shí)空趨勢(shì)具有非參數(shù)形式,時(shí)間序列方向存在自相關(guān)性.

與通常的非參數(shù)模型類似,非參數(shù)空間面板模型也存在“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象,即隨著非參數(shù)部分協(xié)變量維數(shù)的增加,估計(jì)精度會(huì)不斷降低.部分學(xué)者建立了具有降維功能的半?yún)?shù)空間面板模型以克服“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象,其中包括單指標(biāo)空間自回歸面板模型(見(jiàn)文[24]).與文[24]不同,本文將研究個(gè)體內(nèi)存在相關(guān)性下部分線性單指標(biāo)空間自回歸固定效應(yīng)面板模型,這主要基于以下幾點(diǎn)考慮:一是所述模型具有顯著的降維功能;二是所述模型不僅保留了非參數(shù)空間面板模型的靈活性,還通過(guò)加入線性部分,增加了模型的解釋力,更具實(shí)用性;三是實(shí)際中的面板數(shù)據(jù)在個(gè)體內(nèi)通常存在相關(guān)性,若忽略該相關(guān)性,將減少估計(jì)量的有效性,甚至影響估計(jì)量的一致性;四是固定效應(yīng)模型應(yīng)用范圍更廣.

本文其余部分安排如下:§2介紹相關(guān)的模型及其估計(jì)方法;§3說(shuō)明在實(shí)際操作中的一些問(wèn)題;§4給出了模型估計(jì)量的大樣本性質(zhì),并提供了相關(guān)證明;§5采用Monte Carlo模擬和實(shí)際數(shù)據(jù)分析評(píng)價(jià)了模型及估計(jì)方法在有限樣本下的表現(xiàn);最后對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié).

§2 模型及其估計(jì)方法

假設(shè)個(gè)體數(shù)N較大,時(shí)期數(shù)T固定.所述模型的數(shù)學(xué)形式為

其中γl為樣條函數(shù)系數(shù),l=1,···,q.將式(4)代入式(3)中,有

記B(·)=[B1(·),···,Bq(·)]′,γ=(γ1,···,γq)′.則式(5)可重寫(xiě)為

式(6)的矩陣形式為

式(7)的均衡表示形式為

其中S(ρ)=[(IN-ρW)?IT]-1.令uW=S(ρ)(Xβ+B(Zθ(ψ))γ),?=(ρ,β′,ψ′,γ′)′.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中?=IN ?V,V為ei=(ei,1,···,ei,T)′的協(xié)方差矩陣(本文假設(shè)誤差項(xiàng)滿足同分布假設(shè)),i=1,···,N.式(9)中,α為干擾參數(shù),采用差分方法雖然可以消除該個(gè)體效應(yīng),但將導(dǎo)致部分信息損失,影響連接函數(shù)的估計(jì).根據(jù)識(shí)別條件,本文采用LSDV法消除個(gè)體效應(yīng),即給定參數(shù)向量?的值,α的值為

將式(10)代入式(9),于是有

其中LD=INT-D(D′D)-1D′.在式(11)中,協(xié)方差矩陣V是未知的,若用其估計(jì)值代替,將損失大量的自由度,損害估計(jì)量的有效性.按照文[25]的建議,采用已知對(duì)稱基矩陣的線性組合近似V-1,

其中M1,···,Ms為已知對(duì)稱矩陣,a1,···,as為未知常數(shù).式(12)說(shuō)明

將式(13)代入式(11)中有

為避免估計(jì)常數(shù)a1,···,as,構(gòu)建擴(kuò)展計(jì)分函數(shù)

顯然E(gN(?))=0,參數(shù)向量的估計(jì)值?可由矩條件gN(?)=0獲得.事實(shí)上gN(?)的方程個(gè)數(shù)為s(d+p+q) 大于未知參數(shù)的個(gè)數(shù),因此矩估計(jì)法不可行,需訴諸于廣義矩估計(jì)法,為此令

由于QN(?)具有非線性形式,因此無(wú)法獲得參數(shù)向量?的解析表達(dá)式,需要運(yùn)用迭代算法.本文中,采用Newton-Raphson迭代算法.

§3 一些實(shí)際操作問(wèn)題

3.1 算法的實(shí)施步驟

設(shè)?(0)為任意參數(shù)向量值,在?(0)的鄰域內(nèi)利用Talor展式可知

第一步 利用兩階段最小二乘法獲得參數(shù)估計(jì)的初始值?(0);

第二步 給定第k步的迭代值?(k),則第k+1步的迭代值為

第三步 不斷重復(fù)第二步,直到滿足給定收斂準(zhǔn)則為止.

3.2 基矩陣的選擇

對(duì)于常見(jiàn)的一些特殊相關(guān)結(jié)構(gòu),基矩陣M1,M2,···,Ms的選擇并不困難.例如對(duì)于一階自相關(guān)的結(jié)構(gòu),可以選擇M1=IT,IT為T階單位矩陣,M2為次對(duì)角線元素為1,其它為0的矩陣,M3為在(1,1)和(T,T)的位置為1,其它為0的矩陣,在實(shí)際應(yīng)用中,M3通常省略;對(duì)于等相關(guān)結(jié)構(gòu),通常M1的選擇與一階自相關(guān)結(jié)構(gòu)相同,的對(duì)角元素為0,非對(duì)角元素為1的矩陣;若相關(guān)結(jié)構(gòu)不確定,則可同時(shí)使用矩陣M2和,或應(yīng)用自適用估計(jì)法(具體參見(jiàn)文[26]).基矩陣選取方法的詳細(xì)討論可參考文[25].

3.3 節(jié)點(diǎn)數(shù)的選擇

由于計(jì)算的復(fù)雜性,在模型估計(jì)時(shí),無(wú)法做到同時(shí)確定樣條函數(shù)的階,節(jié)點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)的數(shù)量.一般的做法是,固定樣條函數(shù)的階,同時(shí)用等間距的方式選擇節(jié)點(diǎn),剩余的工作就只需選擇合適的節(jié)點(diǎn)數(shù).目前已有大量的節(jié)點(diǎn)數(shù)選擇方法:近似選擇法,AIC準(zhǔn)則,BIC準(zhǔn)則及廣義交叉確證法(詳細(xì)可參見(jiàn)文[27]).本文采用BIC準(zhǔn)則選擇節(jié)點(diǎn)數(shù),其統(tǒng)計(jì)量為

實(shí)際操作中,通常采用網(wǎng)格搜素法尋找最優(yōu)的節(jié)點(diǎn)數(shù).

§4 漸近性質(zhì)

4.1 漸近理論

A7.(i) 空間加權(quán)矩陣W的元素為已知常數(shù),對(duì)任意空間相關(guān)系數(shù)ρ ∈(-1,1)有IN-ρW是非奇異的;(ii)W和(IN-ρW)-1的行與列元素的絕對(duì)值和均是一致有界的.

這是都是常用的假設(shè)條件,實(shí)際應(yīng)用中很容易驗(yàn)證.假設(shè)條件A1是為了大概率保證處于分母的變量不為零;假設(shè)條件A2主要用于說(shuō)明非參數(shù)估計(jì)量的收斂速度;假設(shè)條件A3表明誤差項(xiàng)滿足中心極限定理的條件;假設(shè)條件A4主要是保證可以選擇到合適的樣條函數(shù),條件→0是定理證明的需要,在此條件下,函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)積將足夠接近其理論內(nèi)積;假設(shè)條件A5為保證加權(quán)矩陣CN的特征值有界;假設(shè)條件A6 確保均值項(xiàng)有限,同時(shí)說(shuō)明用非參數(shù)技術(shù)估計(jì)X的條件期望時(shí)的收斂速度,該條件可減弱為E(X|Z,Zθ)滿足一階連續(xù)可導(dǎo),見(jiàn)文[28];假設(shè)條件A7是空間相關(guān)系數(shù)及空間加權(quán)矩陣的基本假設(shè).

定理4.1在假設(shè)條件(A1)–(A7)下,連接函數(shù)的估計(jì)量實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)收斂速度,即

4.2 定理的證明

引理4.1在假設(shè)條件A2下,存在參數(shù)向量γ0和某個(gè)常數(shù)C,使得

證證明的細(xì)節(jié)請(qǐng)參見(jiàn)文[29].

再次由a的任意性可知‖ξ2k‖=Op((Nh)-1/2).定理結(jié)論得證.

引理4.3在假設(shè)條件A1-A7下,的特征值有界,進(jìn)一步,對(duì)任意? ∈ΘN(C)有

引理4.4在假設(shè)條件A1-A7下,有

證要證明式(28)中的結(jié)論成立,只要證明結(jié)論對(duì)每個(gè)分量成立即可.根據(jù)各表達(dá)式的定義可知,對(duì)k=1,···,s有

引理4.5在假設(shè)條件A1-A7下,存在常數(shù)C=C(ε),使得當(dāng)N →∞時(shí),

同理由假設(shè)條件A5,存在常數(shù)C2有

定理4.1的證明由引理4.4及4.5立即可得

式(37)說(shuō)明定理4.1的結(jié)論成立.

定理4.2的證明首先類似于文[30],由引理4.4,不難證明

另一方面,根據(jù)Newton-Raphson算法,Talor展示及定理4.1的結(jié)論可知

式(39)表明

進(jìn)一步由引理4.3知,存在存在系數(shù)矩陣Λ,使得

綜上可得‖J2‖=Op(h2r)=op(N-1/2).

綜合上述結(jié)論立即可得定理4.2的結(jié)論成立.

§5 數(shù)值研究

5.1 Monte Carlo模擬

表1為參數(shù)估計(jì)量在自相關(guān)結(jié)構(gòu)下的表現(xiàn).從表1可知,無(wú)論空間加權(quán)矩陣是Rook矩陣還是Queen矩陣,在ρ=0.3和ρ=0.8下,MAD值均隨著個(gè)體數(shù)N的增大而下降,且數(shù)值大小逐漸接近于0,表明參數(shù)估計(jì)值與真實(shí)值的接近程度隨個(gè)體數(shù)N的增加而增加,均符合大樣本性質(zhì)的表現(xiàn);同樣S.E.值也隨著個(gè)體數(shù)N的增大而減少,且數(shù)值趨于0,表明估計(jì)方法的穩(wěn)健性隨N的增大而增大.進(jìn)一步,Rook矩陣下的數(shù)值大小與Queen矩陣非常接近,說(shuō)明估計(jì)方法的表現(xiàn)與空間加權(quán)矩陣的選擇無(wú)關(guān).表2為等相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn).與表1類似,可得出以下三個(gè)結(jié)論:一是估計(jì)方法的表現(xiàn)與空間加權(quán)矩陣的選擇無(wú)關(guān);二是參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)符合大樣本性質(zhì);三是隨著N的增大,估計(jì)方法的表現(xiàn)越來(lái)越穩(wěn)健.表3為獨(dú)立結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn),與表1和表2的情況類似,參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)符合大樣本性質(zhì),估計(jì)方法的表現(xiàn)隨N的增加而更加穩(wěn)健,且與空間加權(quán)矩陣的選擇無(wú)關(guān).綜上所述,所述方法在參數(shù)估計(jì)方面具有非常優(yōu)越的表現(xiàn),且不會(huì)因空間相關(guān)程度及空間加權(quán)矩陣的改變而改變.

表1 自相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)

表2 等相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)

表3 獨(dú)立結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)

表4為非參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn).從表4的數(shù)值可以看到,在Rook矩陣和Queen矩陣下MAISE的數(shù)值相近,說(shuō)明非參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)與空間加權(quán)矩陣的選擇無(wú)關(guān).其次,在所有相關(guān)結(jié)構(gòu)下,隨著個(gè)體數(shù)N的增加,MAISE的數(shù)值逐漸減小,表明連接函數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)的連接函數(shù)隨著N的增加而不斷接近,符合大樣本性質(zhì)的表現(xiàn).最后,當(dāng)ρ=0.3時(shí)MAISE的數(shù)值要小于ρ=0.8的數(shù)值,說(shuō)明較強(qiáng)的空間相關(guān)性對(duì)非參數(shù)估計(jì)量具有一定的影響,但這種影響會(huì)隨著N的增加而不斷減少.

表4 非參數(shù)估計(jì)量的表現(xiàn)

例2 與兩階段最小二乘法(TLS)的比較為說(shuō)明忽略個(gè)體內(nèi)的相關(guān)性對(duì)估計(jì)量造成的影響,本文將所述方法與TSL法進(jìn)行比較.數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程與例1相同,個(gè)體數(shù)N=100,時(shí)期數(shù)T=5,zi,t的所有分量均獨(dú)立來(lái)自于參數(shù)為0.2和0.5的beta分布,θ=(2/3,1/3,2/3)′,其他變量的設(shè)置與例1相同,模擬次數(shù)為500,模擬結(jié)果分別呈現(xiàn)在表5至表8中.

表5 估計(jì)方法在自相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的比較

表5為本文所述方法與TLS在自相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量表現(xiàn)的比較,從表中的數(shù)值可以看到,在所有的空間加權(quán)矩陣下,對(duì)所有的空間相關(guān)系數(shù)ρ的值,本文所述方法下所有參數(shù)估計(jì)量的MAD值和S.E.值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于TSL的相應(yīng)數(shù)值,表明本文所述方法在參數(shù)估計(jì)方面的表現(xiàn)要大大優(yōu)于TSL,且與空間加權(quán)矩陣的選擇和空間相關(guān)系數(shù)的大小無(wú)關(guān);表6為本文所述方法與TSL在等相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量表現(xiàn)的比較,與表5的結(jié)果類似,在等相關(guān)結(jié)構(gòu)下,本文所述方法的表現(xiàn)仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于TSL;表7為本文所述方法與TSL在獨(dú)立結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量表現(xiàn)的比較;類似與自相關(guān)和等相關(guān)的情形,本文所述方法仍然要優(yōu)于TSL;表8為各種情形下本文所述方法與TSL在非參數(shù)估計(jì)量表現(xiàn)的比較,各數(shù)值均清晰地表明,在所有情形下,本文所述方法的MAISE值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于TSL,本文所述方法的表現(xiàn)要更優(yōu)越.綜上所述,當(dāng)忽略個(gè)體內(nèi)的相關(guān)性時(shí),參數(shù)估計(jì)量的偏度和標(biāo)準(zhǔn)誤會(huì)偏大,連接函數(shù)的估計(jì)量與真實(shí)函數(shù)的偏度增大,導(dǎo)致估計(jì)量的精確度降低,損害了統(tǒng)計(jì)的推斷力.

表6 估計(jì)方法在等相關(guān)結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的比較

表7 估計(jì)方法在獨(dú)立結(jié)構(gòu)下參數(shù)估計(jì)量的比較

表8 非參數(shù)估計(jì)量表現(xiàn)的比較

5.2 真實(shí)數(shù)據(jù)應(yīng)用

本節(jié)中,將本文所述模型和方法應(yīng)用于分析美國(guó)各州生產(chǎn)力的影響因素.數(shù)據(jù)為美國(guó)48個(gè)州1970年至1986年的生產(chǎn)力數(shù)據(jù),變量的選取和度量與Baltagi和Pinnoi(1995)中所使用的變量一致,因變量為各州總產(chǎn)值(用Y表示),影響因素有勞動(dòng)輸入(用L表示),私人資本(用PK表示),公共資本(用CK表示),失業(yè)率(用UNE表示),所有變量均為原始變量的對(duì)數(shù)值(除失業(yè)率外).由于主要關(guān)注本文所述模型和方法的應(yīng)用,因此忽略數(shù)據(jù)測(cè)度的誤差.為避免“虛假回歸”,將針對(duì)差分后的變量進(jìn)行分析.通過(guò)分析各變量差分與?Y之間的散點(diǎn)圖(限于篇幅,散點(diǎn)圖沒(méi)有在本文中報(bào)告)發(fā)現(xiàn),?L和?UNE與變量?Y具有非常明顯的線性關(guān)系,其他變量差分與?Y具有不同程度的非線性關(guān)系,鑒于此建立模型

其中wi,j為空間加權(quán)矩陣W中的相應(yīng)元素,空間加權(quán)矩陣是根據(jù)美國(guó)48個(gè)州的地理位置,按照Queen矩陣方式計(jì)算而得；(ρ,β1,β2,θ1,θ2)′為未知參數(shù)向量；αi為第i個(gè)州的固定效應(yīng)；ei,t為隨機(jī)誤差項(xiàng)；i=1,···,48;t=1,···,16.運(yùn)用本文所述方法對(duì)模型進(jìn)行估計(jì),估計(jì)結(jié)果呈現(xiàn)在表9和圖1中.

圖1 連接函數(shù)估計(jì)圖

表9 各參數(shù)估計(jì)結(jié)果

根據(jù)表9中本文所述方法的估計(jì)結(jié)果,空間相關(guān)系數(shù)ρ=0.217,說(shuō)明各州之間生產(chǎn)力的增長(zhǎng)存在正向空間溢出效應(yīng),意味著周邊地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)會(huì)帶動(dòng)本地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng);β1=0.782<1表明勞動(dòng)輸入對(duì)生產(chǎn)力具有正向影響作用,但生產(chǎn)力對(duì)勞動(dòng)輸入缺乏彈性,即大量的勞動(dòng)輸入并不能引起生產(chǎn)力的快速增長(zhǎng);β2=-0.256>-1表示失業(yè)率增長(zhǎng)會(huì)阻礙生產(chǎn)力發(fā)展,但生產(chǎn)力對(duì)失業(yè)率同樣缺乏彈性,即失業(yè)率的上升不會(huì)導(dǎo)致生產(chǎn)力的大幅下降.

圖1為連接函數(shù)的估計(jì)圖,圖中虛線分別表示連接函數(shù)估計(jì)量的95%置信上下限(連接函數(shù)估計(jì)量置信上下限的獲得方法為:首先獲得樣條系數(shù)估計(jì)量的置信上下限,然后類似于連接函數(shù)的估計(jì),進(jìn)而得到置信上下限的估計(jì)量).觀察圖1中縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)數(shù)值發(fā)現(xiàn),大多數(shù)情況下,資本增長(zhǎng)率變化5個(gè)單位,生產(chǎn)力增長(zhǎng)率變化不足一個(gè)單位,說(shuō)明生產(chǎn)力對(duì)資本是缺乏彈性的；進(jìn)一步用連接函數(shù)值除以單指標(biāo)值作為生產(chǎn)力對(duì)資本彈性的度量,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)資本在0值附近時(shí),生產(chǎn)力對(duì)資本的彈性非常大,接近于40,在其他地方的彈性均小于1,表明大部分情形下,生產(chǎn)力對(duì)資本缺乏彈性,只有在資本相當(dāng)匱乏時(shí),生產(chǎn)力對(duì)資本才富有彈性.此外,由θ1和θ2大于零表明,私人資本增長(zhǎng)率和公共資本增長(zhǎng)率對(duì)生產(chǎn)力增長(zhǎng)率的影響均與單指標(biāo)變量的影響方向一致,因而可推知,在大部分情形下,生產(chǎn)力對(duì)私人資本和公共資本是缺乏彈性的.

§6 結(jié)論及總結(jié)

本文研究了固定效應(yīng)下個(gè)體內(nèi)存在相關(guān)性的部分線性單指標(biāo)空間自回歸面板模型.該模型不僅存在空間內(nèi)生性,個(gè)體內(nèi)還具有某種相關(guān)性,而且受到固定效應(yīng)的干擾.為有效地估計(jì)模型,首先采用B樣條函數(shù)近似連接函數(shù),采用LSDV法消除個(gè)體效應(yīng),再根據(jù)模型的特點(diǎn),利用均衡模型的均值項(xiàng)與原模型的誤差項(xiàng)不相關(guān)的事實(shí),結(jié)合二次推斷函數(shù)法,為模型構(gòu)建了新的估計(jì)方法.該方法不僅消除了個(gè)體效應(yīng)的干擾和空間內(nèi)生性,還可以捕捉個(gè)體內(nèi)的相關(guān)性,提高了估計(jì)量的有效性.進(jìn)一步,在一些正則條件下,推導(dǎo)了連接函數(shù)估計(jì)量的收斂速度和參數(shù)估計(jì)量的漸近正態(tài)性.同時(shí),采用Monte Carlo模擬評(píng)估了估計(jì)方法在有限樣本下的表現(xiàn),結(jié)果發(fā)現(xiàn),本文所述方法在有限樣本下的表現(xiàn)符合大數(shù)定律,且明顯優(yōu)于忽略個(gè)體內(nèi)相關(guān)性下的估計(jì)方法.最后,利用本文所述方法分析了美國(guó)各州生產(chǎn)力增長(zhǎng)率的影響因素,結(jié)論表明,勞動(dòng)輸入增長(zhǎng)率對(duì)提高生產(chǎn)力增長(zhǎng)率具有顯著的正向線性影響,失業(yè)率增長(zhǎng)量會(huì)阻礙生產(chǎn)力增長(zhǎng)率的提高,私人資本增長(zhǎng)率和公共資本增長(zhǎng)率對(duì)生產(chǎn)力增長(zhǎng)率具有不同程度的非線性影響.