基于星間鏈路的星座相對構(gòu)型保持方法

楊盛慶，吳敬玉，朱文山，鐘超

1．上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

2．上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 201109

隨著航天科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，航天任務(wù)日趨復(fù)雜。傳統(tǒng)的大衛(wèi)星受自身軌道運動和地球自轉(zhuǎn)運動造成的時空約束，單個衛(wèi)星難以實現(xiàn)全球性的實時觀測或通訊功能，小衛(wèi)星星座應(yīng)運而生。隨著小衛(wèi)星發(fā)射入軌和全球組網(wǎng)成本的降低，國外SpaceX、OneWeb、亞馬遜等商業(yè)航天公司都相繼提出了低軌星座計劃，通過低軌巨型星座提供全球覆蓋的寬帶通信服務(wù)[1］。

星座的種類繁多，根據(jù)功能不同，有通訊、導(dǎo)航、測繪等。根據(jù)所處軌道劃分，有靜止軌道[2］、傾斜中軌道、大橢圓軌道[3］、近地極軌道[4］等。星座發(fā)展的初期，研究內(nèi)容主要針對星座的軌道設(shè)計，設(shè)計目標包括星座的構(gòu)型最優(yōu)[5-6］、星座的覆蓋特性最優(yōu)等[7-8］。在星座構(gòu)型確定的基礎(chǔ)上進行星座構(gòu)型保持，首先需要解明航天器在自然受攝狀態(tài)下的相對運動特征。文獻[9］研究了地球非球形引力攝動下，各航天器初值偏差引起的星座構(gòu)型演化問題。文獻[10］基于線性化的相對運動方程，實現(xiàn)了J2項攝動作用下近距離星座的相對運動控制。文獻[11］針對地球非球形引力攝動，提出了主動偏置半長軸和傾角來補償升交點赤經(jīng)和沿跡角漂移量的方法。大氣阻力是影響近地航天器運動的一項重要攝動項，大氣阻力的積累效果會致使軌道衰減，改變航天器的軌道角速度。星座內(nèi)航天器由于面質(zhì)比的差異，所受大氣阻力的攝動影響存在差異，會導(dǎo)致軌道面內(nèi)的平均半長軸產(chǎn)生偏差，進而使航天器之間的相位差偏離標稱值。文獻[12-13］分析單個航天器軌道在大氣阻力影響下的變化特性，提出通過改變航天器迎風(fēng)面，進行同一圓軌道上2 個航天器之間的相位調(diào)整。此外，雖然日月引力攝動屬于保守力，但對中高軌道和太陽同步軌道的影響較為明顯。日月引力攝動的長期積累，會產(chǎn)生軌道傾角的偏差。文獻[14］針對中高軌道上的Walker 星座所受的各項攝動，研究了星座構(gòu)型的攝動補償法，提出了星座構(gòu)型數(shù)值微分修正法。文獻[15］針對低軌大規(guī)模Walker 星座構(gòu)型設(shè)計了一套控制仿真系統(tǒng)。綜上所述，航天器在軌受攝運動復(fù)雜，軌道面內(nèi)和軌道面外運動存在耦合。

星座構(gòu)型保持是一個復(fù)雜的多體運動控制問題，需要設(shè)計合理高效的軌道控制策略。一般來講，星座軌道面內(nèi)的相對構(gòu)型保持主要處理面質(zhì)比差異導(dǎo)致的平均半長軸差異和相位差漂移。星座軌道面外相對構(gòu)型保持主要處理地球非球型引力、大氣阻力、日月引力攝動聯(lián)合引起的軌道面長期變化。文獻[16］提出星座的構(gòu)型保持可以采用絕對位置保持或相對構(gòu)型保持控制策略。絕對位置保持要求單星的星下點軌跡按嚴格固定的網(wǎng)格運行，單星位置保持在隨星座構(gòu)型一起運動的控制盒內(nèi)，通過絕對位置的保持來實現(xiàn)星座構(gòu)型保持。文獻[17］提出使用公開的兩行軌道根數(shù)對國外星座控制策略進行分析，重點分析了銥星、一網(wǎng)、星鏈星座的控制規(guī)律。文獻[18-19］采用網(wǎng)格分割的方法，提出了基于絕對位置保持的Walker 星座和玫瑰星座構(gòu)型保持方法。絕對位置保持具有控制方法簡單的特征，但是絕對位置保持的目標狀態(tài)難以在星上自主確定，需要地面輔助確定絕對位置保持的目標軌道。而且，絕對位置保持的星座構(gòu)型剛性強，控制需要完全補償大氣阻力導(dǎo)致的星座軌道衰減，相應(yīng)的控制代價更大。與之相反，相對構(gòu)型保持理論上僅需補償面質(zhì)比差異導(dǎo)致的衰減偏差，能夠使星座中所有航天器趨同于一致的速率衰減，從而減少控制代價。

星座相對構(gòu)型保持的核心問題，是要構(gòu)造一類基于局部測量信息的控制方法?；诰植挎溌返木扌托亲鶚?gòu)型保持屬于分布式控制方法，相較于星座的整體優(yōu)化方法（集中式控制，優(yōu)化變量多、計算代價大），分布式控制更有利于在軌自主保持的實現(xiàn)。一致性控制方法能夠根據(jù)需求，兼容集中式或分布式控制，較好地實現(xiàn)多個體系統(tǒng)的協(xié)同控制，已應(yīng)用到多個航天器的編隊協(xié)同[20］和姿態(tài)協(xié)同控制[21］。文獻[22］基于星座內(nèi)航天器相對運動，介紹了十字型、星型鏈路的星座構(gòu)型特征。利用圖論刻畫多個體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)并應(yīng)用一致性控制方法，是實現(xiàn)星座相對構(gòu)型保持控制的一種有效手段。文獻[23-24］分別結(jié)合航天器和導(dǎo)彈力學(xué)系統(tǒng)，利用拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計了多體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制方法。不同于局部的平面拓撲，星座構(gòu)成一個閉環(huán)的網(wǎng)絡(luò)，閉環(huán)星座的拓撲結(jié)構(gòu)及其一致性控制有效性仍有待進一步研究。星座的軌道多要素聯(lián)合保持控制，屬于多參數(shù)耦合的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，還要考慮動力學(xué)系統(tǒng)的高階形式[25］。為了提升高階一致性的控制效率，文獻[26］介紹了一種基于PID 控制參數(shù)設(shè)計的一致性控制方法。本文針對自然攝動下軌道運動特性，提出了星座相對構(gòu)型保持的一致性控制方法?？紤]到攝動導(dǎo)致的相對運動變化率較小，為了便于工程應(yīng)用，可以考慮采用定周期控制，將相對構(gòu)型保持控制轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€離散一致性控制問題[27-28］。

本文針對低軌巨型星座，分析了星座多個體系統(tǒng)不同的星間鏈路連接方式及其閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)特征，提出了不同幾何拓撲結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的圖論構(gòu)造方法。針對航天器的受攝運動特征，分析了巨型星座軌道面內(nèi)平均半長軸和相位差的漂移情況。針對星座內(nèi)航天器平均半長軸和相位差變化的特征，構(gòu)造了相應(yīng)的離散二階一致性控制算法。

1 星座的幾何拓撲結(jié)構(gòu)與鏈路圖

1.1 星間鏈路的幾何拓撲結(jié)構(gòu)

星座的相對構(gòu)型保持可視為多星系統(tǒng)的一致性控制，考慮到建立星間鏈路的空間約束和效費比，假設(shè)只在軌道面內(nèi)的相鄰衛(wèi)星和相鄰軌道面之間的“鄰位”衛(wèi)星之間建立星間鏈路，每顆衛(wèi)星獲取的群體信息是局部的。對于確定構(gòu)型的星座，相鄰衛(wèi)星和“鄰位”衛(wèi)星之間的相位控制目標是明確的。

星間鏈路的有效距離，以過地心大圓的相位差形式表述

式中：Re表示地球半徑；a表示衛(wèi)星軌道的半長軸；ΔM表示星間的平近點角之差。以軌道高度540 km 的軌道為例，能夠建立星間鏈路的最大相位差為45°。使用下標表示衛(wèi)星編號，相鄰衛(wèi)星間的相對升交點赤經(jīng)ΔΩij和相對緯度幅角Δuij取值ΔΩij≈Δuij≈40o，形成如圖1 所示的十字型鏈路星座。星座共計81 個航天器，包含9 個軌道面，每個軌道面內(nèi)9 個航天器，相鄰航天器的相位差40°，相鄰軌道面之間“鄰位”航天器的相位差為40°。圖中對航天器進行了編號，整個星座形成閉環(huán)的網(wǎng)絡(luò)。通過標識圖形形狀、標色和編號聯(lián)合，來區(qū)分圖中形成閉合圖的邊界和頂點的情況。藍色正方形表示軌道面內(nèi)形成閉環(huán)的邊界航天器、綠色菱形表示不同軌道面形成閉環(huán)的邊界航天器、六邊形為2 個邊界的交點航天器。

圖1 星座的十字型鏈路拓撲結(jié)構(gòu)Fig.1 Constellation topology with cruciform structure links

取ΔΩij≈20o，航 天 器i和 航 天 器j位 于 相 鄰軌道面時Δuij≈20o，航天器i和航天器j位于同一軌道面時Δuij≈40o。星座共計162 個航天器，包含18 個軌道面，每個軌道面內(nèi)9 個航天器，相鄰航天器的相位差40°，相鄰軌道面之間“鄰位”航天器的相位差為20°。根據(jù)星間鏈路的不同建立方式，可以定義叉字型鏈路（如圖2 所示）和星型鏈路的星座（如圖3 所示），航天器標示的圖形形狀、標色和編號原則同上文。

圖2 星座的叉字型鏈路拓撲結(jié)構(gòu)Fig.2 Constellation topology of cross structure links

圖3 星座的星字型鏈路拓撲結(jié)構(gòu)Fig.3 Constellation topology with star structure links

1.2 基于幾何拓撲結(jié)構(gòu)的局部鏈路圖

使用局部鏈路圖描述星座的幾何拓撲結(jié)構(gòu)，且默認建立星間鏈路的航天器的信息鏈路雙向傳遞。如圖4 所示，建立星座的局部拓撲結(jié)構(gòu)。其中，星型鏈路根據(jù)局部的相對位置關(guān)系可以定義左側(cè)軌道面上方/下方、相同軌道面上方/下方、右側(cè)軌道面上方/下方。

圖4 星座的局部拓撲結(jié)構(gòu)Fig.4 Local topology of constellation

假設(shè)星座共計N個軌道面，每個軌道面內(nèi)M個航天器。為了建立拓撲結(jié)構(gòu)對應(yīng)的Laplacian矩陣，需要對星座內(nèi)航天器進行編號。定義軌道面序號和軌道面內(nèi)序號組合(n，m)到一維計數(shù)的映射f：(n，m)→k，滿足k=(n-1)M+m。

同理，定義g：k→(n，m)，滿足

具有星間鏈路的航天器之間

觀察到星座的拓撲結(jié)構(gòu)中，形成閉環(huán)結(jié)構(gòu)的共用點特征，需要對邊界進行特殊處理。

對于軌道面序號

利用上述局部拓撲構(gòu)造方法和航天器編號規(guī)則分析圖3 所示的星型鏈路星座，圖5 為該星座內(nèi)部的鏈路狀態(tài)，是Laplacian 矩陣的圖形化表述，展示了巨型星座中局部鏈路的稀疏性。圖中鏈路狀態(tài)為1 表示具備星間鏈路，0 表示不具備星間鏈路。表1 為該星座中局部鏈路的示例。

圖5 星字型星座的鏈路狀態(tài)Fig.5 Inter-satellite connections in star structure constellation

表1 星字型星座內(nèi)鏈路示例Table 1 Examples of inter-satellite connections in star structure constellation

根據(jù)上述編號規(guī)則，生成Laplacian 矩陣，并計算相應(yīng)的矩陣特征值。如圖6 所示，不同拓撲結(jié)構(gòu)的Laplacian 矩陣，隨著星間鏈路數(shù)量的增加，特征值負數(shù)根在絕對值大的區(qū)域分布更加密集，多個體系統(tǒng)的一致收斂性更好。

圖6 不同拓撲結(jié)構(gòu)的Laplacian 矩陣特征值Fig.6 Eigenvalues of Laplacian matrix for different topology structures

2 星座的相對構(gòu)型保持

2.1 軌道的動力學(xué)方程

低軌衛(wèi)星在軌運動主要受到地球引力場、日月引力、大氣阻力等攝動影響。由J2項攝動、大氣阻力引起的平均軌道根數(shù)的長期變化率為

式中：e為偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點赤經(jīng)；ω為近地點幅角；M為平近點角；n為軌道角速度；J2為引力場J2項參數(shù)；CD為大氣阻力參數(shù)；A為航天器迎風(fēng)面積；m為航天器質(zhì)量；ρ為大氣密度。軌道面內(nèi)的星座構(gòu)型保持主要針對軌道根數(shù)的平均半長軸和平近點角，針對星座內(nèi)航天器面內(nèi)構(gòu)型產(chǎn)生的長期漂移的根源，即大氣阻力和面質(zhì)比差異導(dǎo)致的軌道衰減速率、軌道角速度不一致，控制平均軌道半長軸可以實現(xiàn)星座軌道面內(nèi)的構(gòu)型保持。

2.2 星座相對構(gòu)型保持的一致性控制

多個體系統(tǒng)的二階一致性控制，其一般形式可以描述為[25］

式中：ξi表示個體i運動的狀態(tài)量；ζi表示個體i運動的一階狀態(tài)量；gij為多個體系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)參數(shù)；kij為一致性控制算法中不同鏈路對應(yīng)的控制調(diào)節(jié)參數(shù)。

軌道面內(nèi)的星座的構(gòu)型保持控制以平均半長軸和平近點角作為控制的狀態(tài)量，要求控制目標實現(xiàn)平均半長軸的一致、實現(xiàn)平近點角的目標狀態(tài)一致。

式中：ΔM*ij根據(jù)星座拓撲情況定義。以星型鏈路星座為例，ΔM*ij取值為±20o和±40o?？紤]到拓撲結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，假設(shè)控制參數(shù)取常值kij=k時，

軌道面內(nèi)的星座構(gòu)型保持，可以轉(zhuǎn)化為二階一致性控制

式中，參數(shù)γ的合理確定是實現(xiàn)二階一致性控制的關(guān)鍵。式（9）可轉(zhuǎn)化為

利用泰勒展開

工程實踐中，控制往往采用定周期控制形式。構(gòu)造二階一致性控制的離散形式[27］

3 數(shù)值實驗

3.1 星座構(gòu)型的受攝運動

數(shù)學(xué)實驗采用軌道高度為540 km 的太陽同步軌道，星座采用162 個航天器組成的星字型鏈路構(gòu)型。采用上文所述編號方式，軌道面1 的降交點地方時取0 時，后續(xù)軌道面均勻分布。每個軌道面內(nèi)第1 個航天器的緯度幅角根據(jù)幾何拓撲結(jié)構(gòu)定義，取值為

使用MATLAB 驅(qū)動軌道積分器進行巨型星座的軌道積分，如圖7 所示。積分器采用式（5）所述的軌道動力學(xué)和四階龍格庫塔積分算法，軌道積分器的接口函數(shù)中軌道位置相關(guān)輸入項為平近點角，需要由緯度幅角轉(zhuǎn)換為平近點角。

圖7 星座的三維視圖Fig.7 Three dimensional vision of constellation

模擬星座實際在軌存在的面質(zhì)比差異，以0.005 m2/kg 為基準面質(zhì)比。如表2 所示，針對軌道面序號和軌道面內(nèi)序號組合(n，m)生成隨機數(shù)，使得每個航天的面質(zhì)比在基準面質(zhì)比的基礎(chǔ)之上，進行±20%的浮動變化。大氣密度隨著太陽活動的低年、中年或高年特征而變化。

表2 基準面質(zhì)比基礎(chǔ)之上的星間差異Table 2 Difference between satellites based on typical mass-area ratio

根據(jù)文獻[29］所述大氣密度表，采用太陽活動中年的大氣密度為基準，對軌道高度進行擬合插值得到540 km 軌道高度的平均大氣密度，約為ρ=7.2×10-13kg/m3。取CD=2.2，根據(jù)式（5）中半長軸的變化率公式，該軌道上航天器的平均半長軸日衰減約36 m。軌道受攝運動90 天，星間半長軸偏差累積量最大值達到1 000 m，平近點角偏差累積量最大值達到60°，如圖8和圖9所示。

圖8 大氣阻力下自由漂移90 天的平近點角偏差Fig.8 Relative mean anomaly axis excursion in 90 days with air drag

圖9 大氣阻力下自由漂移90 天的半長軸偏差Fig.9 Relative semi-major axis excursion in 90 days with air drag

本文中二階一致性控制仿真采用沖量式控制。根據(jù)高斯攝動方程，對于半長軸的控制，連續(xù)推力的弧段積累就能基本實現(xiàn)沖量式控制的等效效果。連續(xù)推力和沖量式控制的區(qū)別在于對偏心率矢量的影響。工程應(yīng)用中，可以考慮定周期時間點附近的特殊點對稱弧段實施連續(xù)推力控制，避免或減小連續(xù)推力對偏心率矢量產(chǎn)生的弧段效應(yīng)。

3.2 星座構(gòu)型的一致性控制效果

仿真驗證星座構(gòu)型的一致性控制效果，定周期控制的間隔設(shè)置為1 天，仿真90 天。設(shè)置控制參數(shù)設(shè)置(k，γk)=(0.2，6 000)?；谛亲鄬?gòu)型保持的一致性控制，星間半長軸偏差控制在( -5 m，5 m)范圍內(nèi)，平近點角偏差控制在標稱值附近( -0.1o，0.1o)范圍內(nèi)，如圖10 和圖11 所示。相對構(gòu)型保持控制主要消除面質(zhì)比差異導(dǎo)致的衰減不一致，并非完全補償大氣阻力造成的軌道衰減。如圖12 所示，星座中162 顆衛(wèi)星以1 天1 次的控制頻率進行半長軸調(diào)整，離散一致性控制過程中的控制代價以半長軸控制量形式表述。每顆星的控制量與其面質(zhì)比相關(guān)，控制趨于穩(wěn)定后，半長軸形式的控制量均＜10 m。相較于絕對位置保持補償平均半長軸36 m 日衰減量，相對構(gòu)型保持的控制代價更小。

圖10 相對構(gòu)型保持控制下90 天的平近點角偏差Fig.10 Relative mean anomaly axis in 90 days with relative-configuration maintenance

圖11 相對構(gòu)型保持控制下90 天的半長軸偏差Fig.11 Relative semi-major axis in 90 days with relative-configuration maintenance

圖12 星座相對構(gòu)型保持的控制量統(tǒng)計（半長軸控制量形式）Fig.12 Statistics on control cost of relative configuration maintenance in forms of semi-major axis

4 結(jié) 論

巨型星座中航天器受空間攝動作用，星座構(gòu)型長期演化會造成偏差累積漂移現(xiàn)象，需要進行星座構(gòu)型保持控制。傳統(tǒng)的絕對位置保持方法，星上難以匯集星座整體信息以生成目標軌道，必須由地面介入規(guī)劃。隨著星座規(guī)模的日趨擴大，未來星座構(gòu)型保持的發(fā)展方向?qū)@基于局部信息的分布式相對構(gòu)型保持方法。相較于傳統(tǒng)的絕對位置保持方法補償軌道衰減，相對構(gòu)型保持只需補償面質(zhì)比差異造成的衰減差異，控制代價更小。

星座在空間中形成一個閉環(huán)的拓撲結(jié)構(gòu)，根據(jù)星間鏈路的連接情況，本文提出了不同幾何拓撲結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的圖論構(gòu)造方法。針對星座軌道面內(nèi)航天器平均半長軸和相位差變化的特征，構(gòu)造了相應(yīng)的離散二階一致性控制算法。后續(xù)工程應(yīng)用，需要高精度軌道根數(shù)瞬平轉(zhuǎn)換算法來保障半長軸的確定精度或者使用相對相位的漂移量估計星間的半長軸偏差。此外，星座構(gòu)型保持面臨軌道面內(nèi)運動的相對半長軸和相對相位保持、軌道面外運動的相對升交點赤經(jīng)保持等問題。由于日月引力對軌道傾角的長期項和周期項影響，結(jié)合J2項導(dǎo)致軌道面內(nèi)運動、軌道面外運動的耦合特性，其力學(xué)問題的解析形式仍有待進一步研究。其本質(zhì)是控制對象的動力學(xué)復(fù)雜度提升，本文闡述的星座拓撲結(jié)構(gòu)和二階一致性控制方法仍可沿用。