把握折疊實(shí)質(zhì) 感悟數(shù)形結(jié)合

龔平

考點(diǎn)提煉

考點(diǎn)1 如圖1，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在B′處，連接DB′. 已知∠C = 120°，∠BAE = 50°，則∠AB′D的度數(shù)為（ ）.

A. 50°? ? B. 60°

C. 80°? ? D. 90°

解題思路：由折疊的性質(zhì)知∠BAE = ∠B′AE = 50°，AB′ = AB，則∠BAB′ = 100°，由菱形的性質(zhì)得∠BAD = 120°，AB = AD，則∠DAB′ = 20°，AB′ =? AD，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠AB′D = 80°. 故選C.

解題要點(diǎn)：折疊具有全等性，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

考點(diǎn)2 如圖2，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)C落在C′處. 若AB = 6，AD′ = 2，則折痕MN的長為 .

解題思路：如圖2，過點(diǎn)N作NE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，連接DD′. 易證明△NEM ≌ △DAD′，則MN = DD′，利用勾股定理求出DD′的長， 即可得到折痕MN的長為[210].

解題要點(diǎn)： 折疊具有對稱性，折痕垂直平分對應(yīng)點(diǎn)所連線段.

考點(diǎn)3 如圖3，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處. 若點(diǎn)E在邊AB上，AB = 4，BC = 5，則AE = .

解題思路：方法1：由折疊性質(zhì)可得CF = BC = 5，BE = EF，由矩形性質(zhì)得CD = AB = 4，BC = AD = 5. 在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF = 3，進(jìn)而得出AF = 2. 在Rt△AEF中，設(shè)AE = x，利用勾股定理建立方程求解，即可得到AE的長為[32].

方法2：由折疊性質(zhì)可得CF = BC = 5，BE = EF，由矩形性質(zhì)得CD = AB = 4，BC = AD = 5. 在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF = 3，進(jìn)而得出AF = 2. 利用△AEF∽△DFC，即可得到AE的長為[32].

解題要點(diǎn)：在解決折疊中的線段計算問題時，應(yīng)關(guān)注方程思想，運(yùn)用勾股定理、解直角三角形、相似等知識建立方程求解.

真題精講

例1 （2022·遼寧·撫順·本溪·遼陽）如圖4，正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上一動點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF，當(dāng)GF最小時，則AE的長是 .

解析： 由折疊的性質(zhì)可知，BF = BA = 10，則點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心，10為半徑的圓上運(yùn)動，如圖5，當(dāng)點(diǎn)G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，GF最小.

方法1：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG = [55]，則FG = [55] - 10. 設(shè)AE = EF = x，則DE = 10 - x，在Rt△DEG與Rt△FEG中，利用勾股定理建立方程，即可得到AE的長為[55] - 5.

方法2：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG = [55]. 設(shè)AE = EF = x，利用等面積法 S梯形ABGD = S△EDG + S△ABE + S△EBG，建立方程，即可得到AE的長為[55] - 5.

點(diǎn)評：確定當(dāng)點(diǎn)G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時，GF最小是解題的關(guān)鍵.

例2 （2022·遼寧·沈陽）如圖6，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，點(diǎn)C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E， F，且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，MF的延長線交邊BC于點(diǎn)G，EF交邊BC于點(diǎn)H，EN = 2，AB = 4. 當(dāng)點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)時，則MD的長為 .

解析：如圖7，過點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P， 則PG = AB = 4. 根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可知∠GMN = ∠MNG，則MG = NG. 根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以證明△FGH∽△ENH.

由點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)，分情況討論.

當(dāng)HN = 2GH時， 如圖7，由△FGH∽△ENH可知FG = 1. 設(shè)MD = MF = x，則MG = GN = x + 1，∴PM = 3，在Rt△PGM中，根據(jù)勾股定理列方程可以求出MD = 4. 當(dāng)GH = 2HN時， 如圖8，由△FGH∽△ENH可知FG = 4.? 設(shè)MD = MF = x，則MG = GN = x + 4，∴PM = 6，在Rt△PGM中，根據(jù)勾股定理列方程可以求出MD = [213] - 4.

綜上，MD的長為4或2[13] - 4.

點(diǎn)評：解涉及三等分點(diǎn)的問題時，一定注意要分類討論.

勤于積累

（1）折疊問題通常會產(chǎn)生以折痕為底的等腰三角形. 如圖9，△AEC是等腰三角形.

（2）解決問題時，要善于挖掘隱含條件，出現(xiàn)雙中點(diǎn)時可以使用中位線定理，實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的雙遷移.

（3）關(guān)注方程思想，利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，根據(jù)題意選擇一條適當(dāng)?shù)木€段設(shè)為x，根據(jù)折疊的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，然后運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)、相似列出方程求解.

（4）在處理平面幾何的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，而我們需要的圓往往并不存在，這就需要利用已知條件，借助圖形把所需的圓找出來. 在解決折疊問題時，如果折痕是可變化的并且經(jīng)過某個定點(diǎn)，那么折疊后關(guān)鍵點(diǎn)的位置也是可變的，此時就需要利用等線段畫圓，從而迅速確定好關(guān)鍵點(diǎn)的位置，作出正確圖形，進(jìn)而求解.

專題精練

1. 如圖10，在Rt△ABC紙片中，∠ACB = 90°，D是斜邊AB的中點(diǎn)，把紙片沿著CD折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)E的位置，連接AE. 若AE[?]DC，∠B = α，則∠EAC等于（ ）.

A. α B. 90° - α

C. [12]α D. 90° - 2α

2.如圖11，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE = 1. 將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（ ）.

A. [210] B. [25] C. 6 D. 5

3. 如圖12，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 6，點(diǎn)M，N分別在AD，BC上，且AM = [13]AD，BN = [13]BC，E為直線BC上一動點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在直線MN上時，CE的長為 .

參考答案：1. B 2.? D 3.? [52]或10

（作者單位：沈陽市第一三四中學(xué)）