聚焦高考抽象函數(shù)問題

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學(xué))

抽象函數(shù)是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式,只給出它具有的某些特征或性質(zhì),并用一種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”符號(hào)表示的函數(shù).高考數(shù)學(xué)命題加強(qiáng)對(duì)主干知識(shí)的考查,在抽象函數(shù)的背景下,加大對(duì)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查力度,是近年高考數(shù)學(xué)命題的一大趨勢.主要考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性等概念及它們之間的聯(lián)系,對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求較高.尤其是2022年高考,新高考Ⅰ、Ⅱ卷和全國乙卷文、理試題中均考查抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性問題,其中新高考Ⅰ卷和全國乙卷試題都處于選擇題壓軸的位置.抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性問題在2022年高考命題中的“強(qiáng)勢來襲”,值得2023屆高三復(fù)習(xí)備考時(shí)重視.這里溫故知新關(guān)于抽象函數(shù)對(duì)稱性、周期性及對(duì)稱性與周期性關(guān)系的一些常用結(jié)論,并以2022年高考真題為例來說明相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用,供參考.

一、溫故知新

1.抽象函數(shù)的對(duì)稱性

又由f(a+x)=f(b-x)得f(x)=f(a+b-x),

即y=f(a+b-x),

所以點(diǎn)P′(a+b-x,y)也在函數(shù)y=f(x)的圖象上,

【推論1】若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)?f(2a-x)=f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

【推論2】若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(-x),即函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0,即y軸對(duì)稱.

證明過程仿結(jié)論1的證明.

【推論1】若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)?f(2a-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

【推論2】若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=-f(-x),即函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0),即原點(diǎn)對(duì)稱.

2.抽象函數(shù)的周期性

定義:對(duì)于函數(shù)f(x),若使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+a)=f(x)(a≠0),則f(x)是周期函數(shù),T=|a|為最小正周期,且T=k|a|(k∈Z,k≠0)都是函數(shù)f(x)的周期.

根據(jù)函數(shù)周期性的定義,有下列結(jié)論.

【結(jié)論1】若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則f(x)的一個(gè)周期為T=|b-a|.

【結(jié)論2】若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),則f(x)的一個(gè)周期為T=2|b-a|.

推論:若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a≠0),則f(x)是以T=2|a|為最小正周期的周期函數(shù).

下面以結(jié)論2為例,給出證明.

因?yàn)閒(x+a)=-f(x+b)(a≠b),所以f(x)=-f(x-a+b),

所以-f(x-a+b)=-{-f[(x-a+b)-a+b]}=f(x-2a+2b),

所以f(x)=f(x-2a+2b),由周期函數(shù)的定義可知f(x)的一個(gè)周期為T=2|b-a|.

這個(gè)證明告訴我們,當(dāng)已知f(x)的遞推關(guān)系求周期時(shí),應(yīng)把握好兩點(diǎn):一是由已知的遞推關(guān)系先反解出f(x),得到新的遞推表達(dá)式;二是反復(fù)利用新的遞推表達(dá)式,直到有f(x)=f(x+a)(a≠0)為止.有興趣的同學(xué)不妨來證明其他結(jié)論.

3.抽象函數(shù)對(duì)稱性與周期性關(guān)系

【結(jié)論1】若函數(shù)y=f(x)的圖象分別關(guān)于兩條直線x=a,x=b(a≠b)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2|a-b|為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

【結(jié)論2】若函數(shù)y=f(x)的圖象分別關(guān)于兩點(diǎn)A(a,0),B(b,0)(a≠b)對(duì)稱,則y=f(x)是周期函數(shù),且T=2|a-b|為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

【結(jié)論3】若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,0)和直線x=b(a≠b)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=4|a-b|為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

下面以結(jié)論3為例,給出證明.

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,0)對(duì)稱,

所以f(x)=-f(2a-x)對(duì)定義域內(nèi)的所有x成立.

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱,

所以f(x)=f(2b-x)對(duì)定義域內(nèi)的所有x成立,

從而f(2b-x)=-f(2a-x),

所以f[2b-(2a-x)]=-f[2a-(2a-x)]=-f(x),

即f[2(b-a)+x]=-f(x),

所以f{2(b-a)+[2(b-a)+x]}=-f[2(b-a)+x]=-[-f(x)]=f(x),

即f[4(b-a)+x]=f(x),

所以函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),

且T=4|a-b|為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

二、真題解析

( )

A.-3 B.-2 C.0 D.1

【解析】令y=1,

得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),

所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),

所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),

f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),

則f(x+3)=-f(x),

所以f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),

所以f(x)的最小正周期為6.

令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),

所以f(0)=2,

所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,

f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,

f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,

【點(diǎn)評(píng)】本題首先按照條件中抽象函數(shù)的性質(zhì),通過賦值確定函數(shù)的周期,然后利用周期性求值.

( )

【解析】因?yàn)閒(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6=2×3;

f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=12=3×4,…,

故f(k)=k(k+1),

故選B.

( )

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【解析】因?yàn)閥=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

所以g(2-x)=g(2+x).

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,

所以f(-x)+g(2+x)=5,

所以f(-x)=f(x),

所以f(x)為偶函數(shù).

因?yàn)間(2)=4,f(x)+g(2-x)=5,

令x=0,得f(0)+g(2)=5,

即f(0)+4=5,所以f(0)=1.

因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,

所以g(2-x)-f(2-x-4)=7,

所以g(2-x)=f(-x-2)+7,

代入f(x)+g(2-x)=5,

得f(x)+f(-x-2)+7=5,

所以f(x)+f(-x-2)=-2,

令x=-1,得f(-1)+f(1-2)=-2,

所以2f(-1)=-2,所以f(-1)=-1,

所以f(1)=-1.

由f(x)+f(-x-2)=-2,f(-x)=f(x),

得f(x)+f(x+2)=-2,

所以f(x+2)+f(x+4)=-2,

所以f(x)+f(x+2)=f(x+2)+f(x+4),

所以f(x+4)=f(x),

所以f(x)的最小正周期為4,

所以f(4)=f(0)=1.

又f(0)+f(2)=-2,所以f(2)=-3.

又f(3)=-2-f(1)=-2+1=-1,

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】例2首先利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系確定函數(shù)y=f(x)的周期,然后通過賦值和周期性即可求解.

( )

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(4)

所以f(3-x)=f(x),所以f(-1)=f(4),

故C正確;

因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù),

所以g(2-x)=g(2+x),

所以g(4-x)=g(x).

又因?yàn)閒(x)是可導(dǎo)函數(shù),

又因?yàn)間(x)=f′(x),

所以g(3-x)=-g(x),

故B正確,D錯(cuò)誤;

若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件,

則函數(shù)f(x)+c(c為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,

所以無法確定f(x)的函數(shù)值,故A錯(cuò)誤.

綜上,故選BC.

【點(diǎn)評(píng)】解法1首先研究函數(shù)的對(duì)稱性,然后利用對(duì)稱性與周期性的關(guān)系確定函數(shù)的周期并賦值對(duì)選項(xiàng)作出判斷.解答例3,學(xué)生需要理解函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系,對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.

【解法2】設(shè)f(x)=sinπx+b(b為常數(shù)),

=-cos2πx+b,

=-cos(-2πx)+b

=-cos2πx+b,

由f(x)=sinπx+b(b為常數(shù)),

得g(x)=f′(x)=πcosπx,

則g(2+x)=πcos[(2+x)π]

=πcos(2π+πx)

=πcosπx,

g(2-x)=πcos[(2-x)π]

=πcos(2π-πx)

=πcos(-πx)

=πcosπx,

所以g(2+x)=g(2-x),

故符合題設(shè)條件g(2+x)為偶函數(shù).

對(duì)于A,因?yàn)閒(0)=sin0+b=b,

當(dāng)b≠0時(shí)不符合f(0)=0,故A錯(cuò)誤;

故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)閒(-1)=sin[(-1)π]+b=b,

f(4)=sin4π+b=b,

所以f(-1)=f(4),故C正確;

對(duì)于D,

因?yàn)間(-1)=πcos[(-1)π]=πcosπ=-π,

g(4)=πcos4π=π,所以g(-1)≠g(4),

故D錯(cuò)誤,故選BC.

【點(diǎn)評(píng)】解法2依據(jù)選擇題的題型特點(diǎn),通過構(gòu)造滿足題設(shè)條件的具體函數(shù)模型來解答,其過程簡捷、方法靈巧,但這一策略對(duì)考生的類比、聯(lián)想的思維能力要求較高,選取、構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型,需要有較強(qiáng)的甄別能力.

若題設(shè)條件中給出的兩個(gè)函數(shù)變?yōu)榫恰捌婧瘮?shù)”,則有:

( )

C.f(-1)=f(3) D.g(-2)=g(5)

【解析】(構(gòu)造函數(shù)模型)設(shè)函數(shù)f(x)=cosπx,

=-sin2πx,

=sin2πx,

滿足題設(shè)條件.

將f(x)=cosπx,

求導(dǎo)得g(x)=f′(x)=-πsinπx,

所以g(5+x)=-πsin[(5+x)π]

=-πsin(5π+πx)

=πsinπx,

g(5-x)=-πsin[(5-x)π]

=-πsin(5π-πx)

=-πsinπx,

所以g(5+x)=-g(5-x),

故g(5+x)為奇函數(shù),滿足題設(shè)條件.

故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)閒(-1)=cos[(-1)π]=cosπ=-1,

f(3)=cos3π=cosπ=-1,

所以f(-1)=f(3),故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)間(-2)=-πsin[(-2)π]=πsin2π=0,

g(5)=-πsin5π=0,

所以g(-2)=g(5),故D正確,故選BCD.

若題設(shè)條件中給出的兩個(gè)函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)是“奇函數(shù)”,另一個(gè)是“偶函數(shù)”,則有:

( )

C.f(-1)=f(3) D.g(-2)=g(5)

【解析】(構(gòu)造函數(shù)模型)由變式1的解析可知函數(shù)f(x)=cosπx滿足題設(shè)條件.

將f(x)=cosπx,

求導(dǎo)得g(x)=f′(x)=-πsinπx,

=πcosπx,

=πcosπx,

滿足題設(shè)條件,故g(x)=-πsinπx.

故A錯(cuò)誤;

故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)閒(-1)=cos(-1)π=cosπ=-1,

f(3)=cos3π=cosπ=-1,

所以f(-1)=f(3),故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)間(-2)=-πsin(-2)π=πsin2π=0,

g(5)=-πsin5π=0,

所以g(-2)=g(5),故D正確,故選BCD.

三、結(jié)束語

以抽象函數(shù)為背景設(shè)置考題是高考考查函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)和熱點(diǎn),主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì),解答這類考題的方法主要有:

①回歸并應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)定義、性質(zhì),熟練掌握和應(yīng)用關(guān)于抽象函數(shù)對(duì)稱性、周期性及對(duì)稱性與周期性關(guān)系的結(jié)論.

②就抽象函數(shù)的客觀題而言,依據(jù)問題特點(diǎn),通過構(gòu)造滿足題設(shè)條件的具體函數(shù)模型來解答,其過程簡捷、方法靈巧,但這一解法對(duì)考生的類比、聯(lián)想的思維能力要求較高,選取、構(gòu)造適合的數(shù)學(xué)模型,需要有較強(qiáng)的甄別能力.

③通過研究函數(shù)的對(duì)稱性或周期性,然后利用特殊函數(shù)和取特殊值代入解答,體現(xiàn)“由一般到特殊”的解題思想.

④從函數(shù)圖象的變換切入,將復(fù)雜的抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象變換等直觀幾何圖形來思考和解答.