同構(gòu)放縮聯(lián)袂至 轉(zhuǎn)化一步天地寬
——2022年全國卷中同構(gòu)法、放縮法的應(yīng)用

張 怡 李露琦

(1.山東省濱州實驗中學(xué); 2.山東省濱州北海中學(xué))

1 前言

在2022年高考數(shù)學(xué)全國卷中,有幾道試題的命制格外亮眼.它們既考查了基礎(chǔ)知識,又聚焦了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),突出對關(guān)鍵能力的考查.隨著越來越多的省份進(jìn)入新高考模式中,廣大高中一線教師有必要對高考試卷作深入的研究,明晰試題的命制背景,挖掘試題的育人價值.拓展學(xué)生的思維水平,提升師生的備考能力.本文以2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷,全國甲、乙理科卷的部分試題為例,展示同構(gòu)法、放縮法的應(yīng)用.

2 相關(guān)概念

2.1 同構(gòu)法

將題目條件中的等式或不等式通過適當(dāng)?shù)恼碜冃?形成擁有相同結(jié)構(gòu)的式子,然后利用這個結(jié)構(gòu)式構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),再利用函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題.

2.2 放縮法

證明不等式A

在高考題目中經(jīng)常出現(xiàn)的是將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)放縮為冪函數(shù)的切線放縮法.

這樣我們就得到了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的兩個雙邊不等式:

以上關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)不等式的結(jié)論需要學(xué)生在理解關(guān)系的基礎(chǔ)上熟記.

3 試題呈現(xiàn)

3.1 基于同構(gòu)法的解答

【思路探索】觀察已知條件的結(jié)構(gòu),利用誘導(dǎo)公式將等式一側(cè)的結(jié)構(gòu)形式化成等式另一側(cè)的結(jié)構(gòu)形式,利用相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

解:由題意得,f(x)的定義域是(0,+∞),

令x-lnx=t,x>0,

令t′=0,解得x=1.

所以當(dāng)x∈(0,1)時,t′<0;

當(dāng)x∈(1,+∞)時,t′>0,

所以t在(0,1)上單調(diào)遞減,

在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=1時,t取得最小值,且tmin=1,

即t≥1.

再令g(t)=et+t,

因為et在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

t在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

則g(t)=et+t在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以g(t)min=g(1)=e+1,

所以f(t)min=f(1)=e+1-a≥0,

解得a≤e+1.

故a的取值范圍為(-∞,e+1].

3.2 基于放縮法的解答

( )

A.a

C.c

【思路探索】觀察題目中同時出現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的形式,因此考慮利用不等式放縮的方法,將指數(shù)、對數(shù)的形式化簡至冪函數(shù)的形式,再進(jìn)行比較.當(dāng)放縮法無法比較大小時,作差后構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.

解:a,b的大小比較:

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,

b,c的大小比較:

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

a,c的大小比較:

a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1),

令f(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,

所以k′(x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)>k(0)=0,所以f′(x)>0,

則f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增,

所以f(0.1)>f(0)=0,

所以a-c>0,即a>c.

綜上,c

【例4】(2022·全國乙卷理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

【思路探索】將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的過程中,通過不等式放縮簡化計算.

解:由題意得,f(x)=ln(1+x)+axe-x=0,

所以-ax=exln(1+x).

令g(x)=exln(1+x),x>-1,

g(x)在(0,0)處的切線斜率k=g′(0)=1.

所以g(x)在(-1,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x→-1時,g(x)→-∞,

當(dāng)x→+∞時,g(x)→+∞.

作出g(x)的大致圖象如圖所示,

當(dāng)-a>1時,函數(shù)y=-ax與g(x)的圖象在(-1,0),(0,+∞)上各有一個交點,即函數(shù)f(x)在(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,

故a<-1.

3.3 基于同構(gòu)法放縮法綜合應(yīng)用的解答

【例5】(2022·全國新高考Ⅱ卷·22節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.當(dāng)x>0,f(x)<-1,求a的取值范圍.

【思路探索】待求的參數(shù)a在指數(shù)的位置上,考慮利用不等式放縮,將指數(shù)函數(shù)形式化簡為一次函數(shù)形式,進(jìn)而求解.

解:令g(x)=f(x)+1,

則g(x)=xeax-ex+1,x>0,

易知g(0)=0.

要證g(x)<0,

即證g(x)

即證g′(x)≤0,

即g′(x)=(1+ax)eax-ex≤0,

即eln(ax+1)+ax≤ex,

即ln(ax+1)+ax≤x.

得ln(ax+1)+ax≤(ax+1)-1+ax≤x,

所以2ax-x≤0,

即(2a-1)x≤0.

(注:本解法來自濱州蒼龍湖實驗學(xué)校高三(3)班 任景豪)

【結(jié)語】總而言之,高中在學(xué)習(xí)函數(shù)后,需要將表面上不近相同的問題有機地銜接在一起,整合成自己的資源庫,形成自己的解題特色.本文介紹的同構(gòu)法源于指數(shù)恒等式alogaN=N,放縮法源于課后練習(xí)題,這些內(nèi)容均是課本中基本的數(shù)學(xué)知識,學(xué)生也知曉,但他們找不到基本知識與高考題目之間的內(nèi)在關(guān)系,這就需要教師發(fā)揮其主導(dǎo)作用,當(dāng)學(xué)生的思維水平提升不上去時,教師應(yīng)幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系,幫助學(xué)生將這些知識整合并系統(tǒng)化.

同構(gòu)法與放縮法在處理函數(shù)相關(guān)問題時可以大大節(jié)省計算時間,也能較好的考查學(xué)生對函數(shù)的綜合應(yīng)用能力.建議教師對這部分相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)的講解,引領(lǐng)學(xué)生對所掌握的數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行重構(gòu),通過有難度、有深度的試題激發(fā)學(xué)生的解題能力.