例談三角函數(shù)專題突破的聚焦點(diǎn)

張建明 祝 峰

(1.安徽省淮北市教育科學(xué)研究所; 2.安徽省濉溪縣第二中學(xué))

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標(biāo)》)命制的新高考試題,強(qiáng)化了考試與教學(xué)的銜接,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)依標(biāo)施教有著積極正向的引導(dǎo)作用.在明確《課標(biāo)》對(duì)三角函數(shù)專題內(nèi)容和水平要求的基礎(chǔ)之上,結(jié)合實(shí)例,提出四個(gè)三角函數(shù)專題突破的聚焦點(diǎn),分別為聚焦“四基”,查缺補(bǔ)漏、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò);聚焦知識(shí)生成過程,揭示本質(zhì)、深化理解;聚焦“關(guān)鍵能力”,綱舉目張、以簡馭繁;聚焦“一般觀念”,訓(xùn)練思維、發(fā)展素養(yǎng).旨在提升“三新”背景下高考備考教學(xué)的針對(duì)性及有效性.

1 聚焦“四基”,查缺補(bǔ)漏、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

為貫徹《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》要求,數(shù)學(xué)高考會(huì)不斷強(qiáng)化“基礎(chǔ)性”的考查,要求學(xué)生在深刻理解基本概念和基本思想方法的前提下,自主把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,深度揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),因此高中教學(xué)要在培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和思想,以及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上下功夫.高考備考教學(xué)不應(yīng)淪為“歸題型”“刷套路”模式,應(yīng)借助典型的高考試題,準(zhǔn)確定位學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想上的薄弱點(diǎn),在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中,豐富學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在查缺補(bǔ)漏、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)中,幫助學(xué)生強(qiáng)化知識(shí)理解的深刻性,提升方法、思想應(yīng)用的自覺性、靈活性和創(chuàng)造性.

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(2)是一類什么問題?三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用問題.

因?yàn)棣?0,f(x)在(0,π)上恰有三個(gè)極值點(diǎn),

又f(x)在(0,π)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),

2 聚焦知識(shí)生成過程,揭示本質(zhì)、深化理解

只有學(xué)生親歷知識(shí)生成過程,才能深刻理解知識(shí)發(fā)生的背景、意義和本質(zhì),若經(jīng)歷不夠充分,那么后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)就會(huì)出現(xiàn)大麻煩,但這在數(shù)學(xué)高考備考的課堂教學(xué)中并沒有引起教師的足夠重視,很多教師認(rèn)為知識(shí)生成過程是新授課要解決的問題,過程中沒有什么題目可以讓學(xué)生做,沒什么可教,往往采用“一個(gè)定義,三項(xiàng)注意”的“告訴式”備考復(fù)習(xí).殊不知,有些核心概念和原理,新授課時(shí)學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生過程的經(jīng)歷就不夠充分,加之當(dāng)時(shí)認(rèn)知水平的限制,學(xué)生對(duì)知識(shí)發(fā)生的真正原因,發(fā)生過程中蘊(yùn)含的思維方法,以及知識(shí)背后數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí),不一定能一次性到位.因此在日后的能力立意、素養(yǎng)導(dǎo)向、綜合性較強(qiáng)的實(shí)際問題應(yīng)用中就會(huì)無所適從.建議教師在高考備考過程中,應(yīng)結(jié)合典型高考試題求解時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)解,帶領(lǐng)學(xué)生再次經(jīng)歷相關(guān)核心概念和原理的生成過程,進(jìn)一步揭示本質(zhì),深化認(rèn)識(shí).

由輔助角公式得

即sin(α+φ)=1,

高考備考教學(xué)不同于新授課教學(xué),教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生增加知識(shí)理解的深度和廣度,拓寬方法和思想的聯(lián)系性和靈活性.想要學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí),靠掐頭去尾燒中段、大量的解題訓(xùn)練是做不到的,必須讓學(xué)生親歷獲得研究對(duì)象及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的完整過程.

3 聚焦“關(guān)鍵能力”,綱舉目張、以簡馭繁

我們可以從多種視角看待高考試題,借助其設(shè)計(jì)出不同的高考備考教學(xué),這與教育理念、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)思維有著密切關(guān)系.如果僅就題論題,必將在浩如煙海的數(shù)學(xué)試題中迷失方向.如果從知識(shí)和技能視角看試題,能將無限題海轉(zhuǎn)化為有限多的知識(shí)和技能,但面對(duì)能力立意、素養(yǎng)導(dǎo)向的新高考,常無法有效調(diào)動(dòng)和運(yùn)用所掌握的知識(shí)和技能.如果從數(shù)學(xué)思維和關(guān)鍵能力視角看試題,就能找到牽一發(fā)而動(dòng)全身的“綱”.綱舉才能目張,抓住了題目的“綱”,才能抓住解題的關(guān)鍵,與其盲目“刷題”、機(jī)械“套路”,不如把握試題的本質(zhì)要素,從數(shù)學(xué)思維和關(guān)鍵能力視角剖析試題,以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力為基點(diǎn),以簡馭繁,這既是有效提升考試成績的“大道”,也是利于學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的“王道”.

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②這是一類什么問題?三角函數(shù)圖象和性質(zhì)應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)幾何意義的問題.

作出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示.

故A正確;

故B錯(cuò)誤;

故C錯(cuò)誤;

故D正確,故選D.

(2)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.體現(xiàn)在兩個(gè)方面,一是借助對(duì)稱中心,獲得φ的表達(dá)式,進(jìn)而結(jié)合其取值范圍,確定φ的值.通過推理求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、圖象對(duì)稱軸、極值點(diǎn),并檢驗(yàn)相關(guān)選項(xiàng)的正確性;二是借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,獲得函數(shù)圖象切線,驗(yàn)證選項(xiàng)D的正確性.在問題解決過程中,對(duì)考生的運(yùn)算習(xí)慣、運(yùn)算規(guī)范化、條理性,以及面對(duì)復(fù)雜運(yùn)算時(shí)的心態(tài)等都是很大的考驗(yàn).

(3)邏輯推理能力.體現(xiàn)在解題思路形成時(shí)基于經(jīng)驗(yàn)與直覺的合情推理過程,以及思路可行性、有效性在演繹推理中的檢驗(yàn)過程.

4 聚焦“一般觀念”,訓(xùn)練思維、發(fā)展素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出,高中數(shù)學(xué)教育能夠幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),并最終達(dá)成“三會(huì)”(會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界)目標(biāo).“三會(huì)”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂,更是新高考數(shù)學(xué)命題的立意點(diǎn),它體現(xiàn)在學(xué)科一般觀念之中.學(xué)科一般觀念泛指對(duì)相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略方法,在數(shù)學(xué)問題解決中具有統(tǒng)攝性、一般性、普適性的作用.在高考備考教學(xué)中,應(yīng)通過對(duì)典型高考試題的探究,感悟試題創(chuàng)新的命制方式,凝練學(xué)科一般觀念,助力學(xué)生在掌握“四基”,提升“四能”的基礎(chǔ)上,有效發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

【例4】(2022·全國乙卷理·17)記△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(Ⅰ)證明:2a2=b2+c2;

行文需要,下文僅以第Ⅰ問為例說明問題.

【分析】(1)已知什么?要證什么?已知三角形中三個(gè)角之間的關(guān)系sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),證明三邊關(guān)系2a2=b2+c2成立.

(2)這是一類什么問題?三角形中的邊角互化問題.

(3)問題解決的基本思路是什么?三角形中邊角互化常依據(jù)大邊對(duì)大角、正弦定理、余弦定理展開.

【證明】證法一:邊角互化

因?yàn)閟inCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA,

由正弦定理得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

【一般觀念分析】已知角的關(guān)系探討邊的關(guān)系是問題的本質(zhì).三角形中基本的邊角關(guān)系有正弦定理、余弦定理,三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化是這些定理背后的基本策略.教學(xué)中應(yīng)通過實(shí)例,呈現(xiàn)這些定理的發(fā)生、構(gòu)建和應(yīng)用過程,讓學(xué)生感受到“邊角互化”是這些定理蘊(yùn)含的學(xué)科一般觀念.

證法二:化歸與轉(zhuǎn)化

因?yàn)閟inCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

由兩角和差的正弦公式得

sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ccos2A-cos2Csin2A.

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得

sin2A(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-cos2Csin2A,

即sin2A-sin2Asin2B-cos2Asin2B=sin2C-sin2Csin2A-cos2Csin2A,

即sin2A-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2C-sin2A(sin2C+cos2C),

整理得2sin2A=sin2B+sin2C,

由正弦定理得2a2=b2+c2.

【一般觀念分析】知識(shí)方面,三角形內(nèi)角和定理學(xué)生特別熟悉,但三角形問題解決過程中容易被忽視,它是三角形中三個(gè)角之間建立聯(lián)系的有效途徑.和差角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等三角恒等式,則是角之間關(guān)系轉(zhuǎn)化的必備公式.

學(xué)科一般觀念方面,由2sin2A=sin2B+sin2C,結(jié)合正弦定理得2a2=b2+c2的過程,體現(xiàn)了“邊角互化”的學(xué)科一般觀念.由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式得sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A);由sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ccos2A-cos2Csin2A,進(jìn)而由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得sin2A(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-cos2Csin2A,再轉(zhuǎn)化為sin2A-sin2Asin2B-cos2Asin2B=sin2C-sin2Csin2A-cos2Csin2A,即sin2A-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2C-sin2A(sin2C+cos2C),最終得2sin2A=sin2B+sin2C的系列過程中,體現(xiàn)了代數(shù)式結(jié)構(gòu)、角的名稱、函數(shù)名稱逐步轉(zhuǎn)換統(tǒng)一的過程.“化歸與轉(zhuǎn)化”觀念,是在錯(cuò)綜復(fù)雜的問題情境中,探索思路、尋求方法、準(zhǔn)確推理、獲得結(jié)論的重要學(xué)科一般觀念.高考復(fù)習(xí)備考課堂教學(xué)中,有必要讓學(xué)生在具體的問題求解實(shí)踐中,感悟“化歸與轉(zhuǎn)化”觀念的強(qiáng)大功能.

證法三:聯(lián)系觀

因?yàn)閟inCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

由積化和差公式得

即cos2B+cos2C=2cos2A,

由余弦的二倍角公式得

1-2sin2B+1-2sin2C=2(1-2sin2A),

即2sin2A=sin2B+sin2C,

由正弦定理得2a2=b2+c2.

【一般觀念分析】知識(shí)技能方面,“和差化積”與“積化和差”公式常被教師們認(rèn)為“無需掌握”,筆者認(rèn)為它們本質(zhì)上是“和差角”公式的外延部分,從對(duì)知識(shí)深度理解視角看,有必要讓學(xué)生在實(shí)際問題解決過程中體會(huì)其功能.實(shí)際上,《課標(biāo)》明確要求學(xué)生能夠推導(dǎo)出兩組公式,但不要求記憶,2019年版北師大教材中,單列出一節(jié)來講述這部分內(nèi)容.

學(xué)科觀念方面,由和差角公式聯(lián)想到積化和差公式,是公式學(xué)習(xí)的一種常用策略,即“聯(lián)系觀”.大量的三角恒等變換公式,關(guān)系錯(cuò)綜,形式靈活,如何能在這些雜亂無章的事物中厘清頭緒,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,搞清公式之間上下的邏輯關(guān)聯(lián),用聯(lián)系視角理解知識(shí),才能把握知識(shí)的內(nèi)涵、外延以及其背后蘊(yùn)含的思想和方法.

證法四:分類整合觀

在△ABC中,

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

且sinC≠0,sinB≠0.

①若sin(A-B)=0,則sin(C-A)=0,

則A=B且C=A,

即A=B=C,

所以a=b=c,此時(shí)2a2=b2+c2成立.

②若sin(A-B)≠0時(shí),

則sin(C-A)≠0,

由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

由兩角差的正弦公式得

由正弦定理得

整理得2bccosA=a(ccosB+bcosC),

由余弦定理的推論得

即b2+c2-a2=a2,故2a2=b2+c2成立.

綜上,2a2=b2+c2成立.

【一般觀念分析】三角形中的三角函數(shù)除具有一般三角函數(shù)的全部性質(zhì)外,又具有特殊性,sinC≠0且sinB≠0正是基于三角形的特征獲得,要適時(shí)讓學(xué)生認(rèn)清“特殊”和“一般”的關(guān)系.代數(shù)式sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)兩邊均有差角和單角,在“整體觀”統(tǒng)領(lǐng)下,把差角結(jié)構(gòu)分別轉(zhuǎn)化到等式一邊,涉及到sin(A-B)是否為零的問題.先分類后整合的思維方法自然出現(xiàn),這種證法看似冗雜,且最后又回到正、余弦定理的應(yīng)用上,但學(xué)生在實(shí)際探究中,常會(huì)出現(xiàn)這樣的想法,教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考問題,方法的多樣性能夠增加學(xué)生對(duì)問題認(rèn)識(shí)的深刻性,更能有效增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性.