一種航天器姿態(tài)控制與振動抑制的優(yōu)化設計方法

胡雅博，耿云海，劉偉星

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150001)

0 引 言

大型空間結構將逐漸應用于不同的空間任務中,諸如空間太陽能電站、低成本空間航行以及在軌服務等[1-4]。隨著航天器本身空間尺寸的增加,撓性成為控制系統(tǒng)設計中不可忽略的因素。為實現(xiàn)這類航天器的高精度姿態(tài)控制,必須同時考慮其振動抑制問題。

近些年來,不少專家學者對大型撓性航天器的姿態(tài)控制與振動抑制問題進行了深入研究。根據(jù)執(zhí)行機構的安裝形式,主要可分為集中式安裝以及分布式安裝兩類情形。前者可通過諸如經(jīng)典的輸出成型方法[5]以及軌跡平滑[6-7]等方法消除或降低控制信號對于系統(tǒng)振動模態(tài)的激勵,也可以通過合理設計控制律來同時實現(xiàn)姿態(tài)鎮(zhèn)定及振動衰減的目標[8]。但由于這類方法通常沒有特定的作動器專門進行振動抑制,其振動抑制能力相對較弱。

考慮執(zhí)行機構分布式安裝時,姿態(tài)控制與振動抑制可采用不同的執(zhí)行機構,如采用飛輪進行姿態(tài)控制,而采用壓電陶瓷進行振動抑制[9]。然而,受限于結構性能的約,壓電陶瓷對幅值較小的振動比較有效,但無法提供較大的力矩來抑制振幅較大的振動。因此,D’Eleuterio等[10-11]提出了陀螺撓性體的概念,其主要思想是通過將角動量視為分布參數(shù)進行建模,進而使系統(tǒng)增加了旋性(gyricity)這一屬性。陀螺撓性體的物理實現(xiàn)可以認為撓性體每個體元內都包含了一個角動量執(zhí)行機構。這種配置可以使系統(tǒng)的自然頻率、模態(tài)以及阻尼受控,無疑為撓性體姿態(tài)控制及形狀控制提供了新的思路。隨后,Damaren和D’Eleuterio研究了陀螺撓性體航天器的優(yōu)化振動抑制方法[12],并給出了陀螺撓性體在振動抑制時的能觀性和能控性分析[13]。

在上述的開拓性研究中,角動量的分布是連續(xù)的,即任取撓性結構的一部分,均有角動量含于其中。為了方便工程實踐,Hu團隊[14-18]詳細研究了角動量離散分布的陀螺撓性體,即角動量交換執(zhí)行機構只安裝于撓性體部分特定位置的情形。文獻[14,17]給出了角動量交換執(zhí)行機構離散分布時陀螺撓性體的建模方法,并給出了模型線性化的方法。文獻[15-16]采用了模態(tài)觀測器及自適應控制方法對角動量離散分布的陀螺撓性體進行姿態(tài)控制及振動抑制。文獻[18]提出了模態(tài)奇異性的概念,對安裝于撓性體的單框架控制力矩陀螺(SGCMG)進行了模態(tài)奇異分析。此后,郭繼唐及其團隊[19-21]對執(zhí)行機構SGCMG進行了深入研究,給出了兩種陀螺撓性體的控制方法。文獻[20]研究了一種模態(tài)力矩補償器,在不使用模態(tài)觀測器的情況下,可以由安裝于撓性結構的SGCMG提供抵消振動方程干擾輸入的力矩,并由另一組安裝于中心剛體的SGCMG完成姿態(tài)控制。文獻[21]則采用了同一組SGCMG進行姿態(tài)控制及振動抑制,實現(xiàn)了姿態(tài)控制及振動抑制的一體化設計。文章分析了SGCMG的零運動雖然無法提供姿態(tài)控制力矩,但可以有效提供振動抑制力矩。上述研究中均考慮了特定的執(zhí)行機構配置[15-16,19-21],即采用CMGs進行振動抑制或姿態(tài)控制,且文獻[20-21]為執(zhí)行機構的操縱律設計方法。為得到不過度依賴特定執(zhí)行機構的設計方法,考慮執(zhí)行機構上層的控制方法設計是有意義的。

Hu團隊[22-23]探索了不考慮特定執(zhí)行機構配置的姿態(tài)控制及振動抑制方法。文獻[22]給出了一種姿態(tài)控制與振動抑制解耦設計的方法,通過增加振動抑制力矩共面的約,可以實現(xiàn)振動抑制過程中不產(chǎn)生影響姿態(tài)控制的力矩,但其姿態(tài)控制仍需另外的執(zhí)行機構。文獻[23]研究了力矩分配與系統(tǒng)阻尼的關系,提出了一種可以在姿態(tài)控制過程中增加系統(tǒng)阻尼的力矩分配方法,采用同一組執(zhí)行機構同時實現(xiàn)了姿態(tài)控制及振動抑制。上述方法實現(xiàn)了撓性航天器的姿態(tài)控制,并可以不同程度抑制系統(tǒng)的振動,但其設計較為保守,并未實現(xiàn)某種指標的優(yōu)化。此外,文獻[23]對控制器產(chǎn)生的期望力矩直接進行分配,魯棒性較差。若控制器偶然產(chǎn)生錯誤的控制力矩,即使力矩分配過程準確執(zhí)行,仍可能導致航天器失穩(wěn)。本文明確將振動抑制能力描述為優(yōu)化指標,而將姿態(tài)控制的穩(wěn)定性與動態(tài)性能歸納為問題約,對控制律參數(shù)進行分配,而不直接對力矩進行分配。如此,只要滿足約,系統(tǒng)即是穩(wěn)定的,通過優(yōu)化是為了選擇更好的振動抑制參數(shù)。

本文研究對象為分布式安裝了角動量交換執(zhí)行機構的陀螺撓性體航天器?？紤]執(zhí)行機構安裝節(jié)點有簡單的計算能力并采用形式相同的控制律。為滿足姿態(tài)控制的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能,不同執(zhí)行機構安裝節(jié)點處的控制律參數(shù)需滿足一定的等式約。為實現(xiàn)較好的振動抑制效果,設計含有不同節(jié)點處振動狀態(tài)及控制力矩的目標函數(shù)。通過求解上述關于不同節(jié)點控制律參數(shù)的優(yōu)化問題,不同節(jié)點可獲取所需控制律參數(shù),從而計算輸出控制力矩完成姿態(tài)控制及振動抑制目標。數(shù)值仿真校驗了所述方法的有效性。

1 分布式執(zhí)行機構的撓性航天器模型

1.1 動力學模型

本文考慮的撓性航天器模型如圖1所示,圖中Ai(i=1,…,n)表示角動量交換執(zhí)行機構的安裝節(jié)點,n為執(zhí)行機構安裝節(jié)點數(shù)量。

圖1 陀螺撓性體航天器模型Fig.1 Gyroelastic spacecraft model

根據(jù)文獻[17,21]可得上述陀螺撓性體動力學方程為:

(1)

(2)

式中:Ti為執(zhí)行機構安裝節(jié)點Ai輸出的控制力矩?？梢钥闯?Ti不僅會對航天器姿態(tài)產(chǎn)生影響,同時也會通過轉動模態(tài)矩陣Ri耦合到系統(tǒng)的振動方程中,進而影響系統(tǒng)的振動狀態(tài)。這是陀螺撓性體與一般執(zhí)行機構安裝在中心剛體的航天器的最大差別,同時也是陀螺撓性體控制系統(tǒng)設計難點所在。

1.2 運動學模型

本文采用四元數(shù)描述航天器的姿態(tài)運動

(3)

2 控制器設計

為了方便控制器設計及穩(wěn)定性分析,首先將動力學模型整理為如下緊湊形式[21]

(4)

式中:

由于本文著重探討如何將航天器的姿態(tài)控制和振動抑制問題轉化為參數(shù)優(yōu)化問題,所以此處選擇形式較為簡單的控制律進行闡述?？紤]每個執(zhí)行機構節(jié)點采用如下形式的控制律

Ti=-kpiq-kdiωi,i=1,…,n

(5)

式中:kpi>0,kdi>0為控制律增益。為分析控制律的穩(wěn)定性,選擇如下Lyapunov函數(shù)

(6)

式中暫時忽略了干擾力矩Td進行分析[20]。將式(6)沿系統(tǒng)(1)和(3)對時間求導可得

(7)

考慮控制律(5)及式(2),上式可整理為

(8)

(9)

式中:e=kpiqTqi/2且i>0?？偪梢哉业絥個i使得矩陣為正定矩陣,因此系統(tǒng)(1)和(3)在控制律(5)的作用下是一致最終有界的。易知,當干擾力矩Td有界時,重復上述推導過程可以證明系統(tǒng)依然是一致最終有界的。將控制律(5)代入式(2)可得

(10)

從上式可以大致看出控制律(5)不同部分的作用。等式右側前兩項為控制航天器姿態(tài)的PD控制律,最后一項為執(zhí)行機構安裝節(jié)點的振動阻尼。但由于Ti同時作用于系統(tǒng)的姿態(tài)運動方程及振動方程,kpi及kdi應根據(jù)某種標準進行選擇設計,下節(jié)將探討該問題的解決方案。

3 控制器參數(shù)確定

本節(jié)首先將待求解問題歸納為標準優(yōu)化問題,給出了指標函數(shù)的設計方法以及待求參數(shù)的約。其次給出了優(yōu)化問題的求解方法。

3.1 指標函數(shù)

(11)

式中:Pi=diag(Pi1,Pi2,Pi3)為執(zhí)行機構安裝節(jié)點Ai處衡量系統(tǒng)振動狀態(tài)的參數(shù)矩陣,Pij(j=1,2,3)將通過如下形式獲取

(12)

(13)

式中:a>0,b>0為設計參數(shù)。

3.2 變量約

根據(jù)上節(jié)控制律設計需求,系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為kpi及kdi為正值。為使得系統(tǒng)滿足特定的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能,需對kpi及kdi增加其他約。如

(14)

式中:kp>0及kd>0為根據(jù)特定需求給出的設計參數(shù)。由于式(14)包含了所有執(zhí)行機構安裝節(jié)點控制律的參數(shù),因此其為關于kpi及kdi的全局約?？芍?當節(jié)點采用其他形式的控制律時,同樣可以給出如式(14)的約從而實現(xiàn)所需的姿態(tài)控制性能。

此外,執(zhí)行機構的輸出力矩應滿足如下飽和約:

(15)

至此,可將撓性航天器姿態(tài)控制與振動抑制問題歸納為如下標準形式的優(yōu)化問題

(16)

求解上述優(yōu)化問題即可獲得kpi及kdi,并且可以從優(yōu)化振動抑制的角度解決撓性航天器姿態(tài)控制問題。

3.3 優(yōu)化問題求解

從式(15)可以看出,關于kpi及kdi的飽和約是一個耦合的局部約。如果直接求解問題(16),耦合的約是較難處理的。為此,為每個節(jié)點Ai引入如下局部變量

yi=-kpiq-kdiωi

(17)

從而,優(yōu)化問題(16)可寫為如下等價形式

(18)

雖然引入的變量yi與節(jié)點Ai處的控制力矩Ti有相同的形式,但其意義是不同的。yi作為單獨的變量參與優(yōu)化問題的求解,即求解yi與kpi及kdi并沒有先后順序要求。而控制力矩Ti只有在確定kpi及kdi后才能計算求得。通過引入局部變量來處理局部耦合約的方法同樣可以應用于其他形式的控制律,或其他優(yōu)化問題中。

不難驗證,問題(18)為凸優(yōu)化問題,且滿足Slater松弛條件,因此只要求得最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解。

上述問題(18)的Lagrangian函數(shù)為

(19)

式中:

(20)

(21)

及互補松弛條件

(22)

(23)

上式可以寫為如下等價形式,對于j=1,2,3有

(24)

(25)

以及

(26)

綜上,根據(jù)KKT條件,求解問題(18)等價于在滿足問題可行性條件下求解如下方程組

(27)

至此,分布式執(zhí)行機構的撓性航天器姿態(tài)控制及振動抑制問題通過優(yōu)化方式求解完成。

4 仿真校驗

本節(jié)采用類似文獻[20-21]中仿真部分的陀螺撓性體模型進行仿真校驗。模型為6 m×10 m厚度可忽略的不受限撓性體,其上均勻分布3×5組飛輪作為執(zhí)行機構。通過有限元方法(FEM)可建立陀螺撓性體模型,模型參數(shù)如表1所示。依據(jù)慣性完備性準則考慮了如表所示的6階模態(tài)。

表1 陀螺撓性體模型參數(shù)Table 1 Parameters of the gyroelastic spacecraft model

為了充分校驗本文方法的有效性,考慮航天器進行一系列大角度姿態(tài)機動的工況。在160 s及300 s分別有165°的姿態(tài)機動任務,機動的歐拉軸在本體系的方向假設為[0.8729, -0.4364, 0.2182]T。對于控制律增益的約(14)取為kp=80,kd=600;式(12)中Sigmoid函數(shù)參數(shù)選擇為a=1,b=300;執(zhí)行機構力矩飽和限制選取為2 N·m。仿真結果如圖2至圖5所示。

圖2和圖3分別為航天器姿態(tài)機動的歐拉角及姿態(tài)角速度隨時間變化的曲線,為了直觀起見,將運動學方程使用的四元數(shù)通過3-2-1的方式轉化為歐拉角進行繪圖。通過調整kp和kd的值可以調整姿態(tài)控制的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能?？梢钥闯?本文給出的控制器可以很好地完成航天器的姿態(tài)控制。最后一次姿態(tài)機動到進入穩(wěn)態(tài)的時間約為240 s,姿態(tài)精度約為 0.07°,穩(wěn)定度約為0.004(°)/s。圖2和圖3中穩(wěn)態(tài)誤差是由于仿真中考慮了干擾力矩。此外,若采用其他高級的控制律,應用本文給出的優(yōu)化思路,對其相應的控制律參數(shù)進行分配,將會得到更好的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。

圖2 歐拉角變化曲線Fig.2 Curves of Euler angles

圖3 姿態(tài)角速度變化曲線Fig.3 Curves of angular velocities

圖4為模態(tài)坐標隨時間變化的曲線?？梢钥闯?在每次姿態(tài)機動開始時,系統(tǒng)振動比較大。結合圖5可以看出在姿態(tài)機動開始時所需的控制力矩較大,且存在力矩突變,因而會激發(fā)系統(tǒng)的振動。通過本文給出的方法,系統(tǒng)振動可以很快衰減。

圖4 模態(tài)坐標變化曲線Fig.4 Curves of modal coordinates

圖5 執(zhí)行機構輸出力矩Fig.5 Torques generated by actuators

這里也可以看出陀螺撓性體跟采用其他作動器抑制振動的航天器特性的差別。由于安裝于撓性部件的角動量交換執(zhí)行機構輸出力矩較大且直接作用于撓性體,其抑制振動的效果很好,這也表明除了進行振動抑制外,其還可以用于形狀控制,即使得撓性體依據(jù)任務呈現(xiàn)特定的形狀等。圖5展示了所有執(zhí)行機構的力矩輸出情況,不同的線型表示了不同輸出軸的輸出力矩。從圖中可以看出,航天器機動開始時,不同執(zhí)行機構輸出的力矩有較大差距,這表明優(yōu)化方法為不同執(zhí)行機構提供了其進行振動抑制的最優(yōu)選擇。當振動很快衰減后,不同執(zhí)行機構輸出力矩逐漸趨于一致,這表明振動較小時,控制律系數(shù)的選擇對于振動本身的影響并不會太大。

為了分析本文給出方法的特點,此處給出了文獻[23]方法的對比仿真。文獻[23]通過力矩分配的方式進行振動抑制。為使得仿真對比具有“可比較性”,兩方法應用的航天器模型參數(shù)一致,文獻[23]方法中控制器參數(shù)的選取以“姿態(tài)角及姿態(tài)角速度動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能與本文相應性能基本一致”為標準。在此基礎上,比較模態(tài)坐標的收斂特性。根據(jù)以上闡述,文獻[23] 的方法控制律參數(shù)選擇為kp= 90,kd= 900;Sigmoid函數(shù)參數(shù)的選擇為a= 1,b= 300。仿真結果如圖6所示,為了行文簡潔,此處略去了航天器姿態(tài)角及姿態(tài)角速度隨時間變化的圖像,其與圖2及圖3基本一致。

圖6 文獻[23]方法模態(tài)坐標變化曲線Fig.6 Time histories of modal coordinates by method in reference[23]

對比圖4和圖6可以看出,相比文獻[23]給出的方法,本文給出的方法對于振動具有更快的衰減速率,優(yōu)化效果明顯。文獻[23]的方法對于振動抑制的效果與其控制律參數(shù)選擇甚至控制頻率的選擇并沒有關系,其一方面不能處理執(zhí)行機構力矩飽和,導致直接限幅會使得其控制效果大打折扣,尤其是在姿態(tài)控制的初期需要較大控制力矩的情形;另一方面,本文所述方法只要滿足控制律參數(shù)的約,其自然而然就是具有振動抑制能力的,優(yōu)化的結果只會使得振動抑制的效果更好,這是文獻[23]方法所不具備的特性。

5 結 論

針對采用分布式角動量交換執(zhí)行機構的撓性航天器,本文給出了一種基于優(yōu)化的姿態(tài)控制與振動抑制方法。振動抑制的效果被明確描述為優(yōu)化問題的指標函數(shù),姿態(tài)控制的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能通過優(yōu)化問題的等式約給出。使用Lyapunov方法證明了控制器的穩(wěn)定性,當滿足優(yōu)化約時,可保證姿態(tài)控制的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。通過求解KKT條件可以得到所述優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解,該最優(yōu)解具有優(yōu)化指標意義下的最優(yōu)振動抑制能力。對于采用分布式執(zhí)行機構的大型系統(tǒng),本文方法對其同時兼顧多個控制目標的控制系統(tǒng)設計具有較大參考價值。仿真表明,文中給出的方法能有效完成撓性航天器的姿態(tài)控制任務,并具有良好的振動抑制能力。相比于采用力矩分配進行振動抑制的方法,本文方法更能發(fā)揮執(zhí)行機構的控制能力,并能更快衰減振動。