實(shí)驗(yàn)中外接球問題教學(xué)方法的探究

李必船

［摘? 要］ 外接球問題在高考中持續(xù)出現(xiàn)且難度較高，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生突破空間想象能力提升的瓶頸，在探究中直接獲得經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)造環(huán)境. GeoGebra軟件是高中數(shù)學(xué)立體幾何實(shí)驗(yàn)理想的工具.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；外接球；GeoGebra軟件

高考試卷是教師重要的研究對象，一方面為課堂教學(xué)確立合理的目標(biāo)和內(nèi)容，以提高教學(xué)效率，另一方面反思自己在教學(xué)中存在的不足和誤區(qū)，以校正教學(xué)方法. 在近幾年的高考試卷中，外接球問題持續(xù)出現(xiàn)，如2022年全國高考乙卷理科數(shù)學(xué)第9題（文科數(shù)學(xué)第12題）、2022年新高考Ⅰ卷第8題和新高考Ⅱ卷第7題都屬于此類問題. 在立體幾何教學(xué)中，師生對外接球問題的關(guān)注度都比較高，同時(shí)這類試題的難度也相對較高，對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有較高的要求.

通過調(diào)查與實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中要解決的問題

為了調(diào)查即將升入高三的學(xué)生解決立體幾何問題的能力，筆者隨機(jī)抽取了一些學(xué)生，將上述三道高考題發(fā)給他們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)存在的關(guān)鍵問題是學(xué)生的空間想象能力嚴(yán)重不達(dá)標(biāo)，最直接的體現(xiàn)是不能繪制準(zhǔn)確的直觀圖，從而導(dǎo)致后續(xù)的邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算成了空中樓閣. 具體來看，三道高考題考查的是棱錐、棱臺和球的相關(guān)知識，對“知識和能力”的要求是畫出直觀圖，根據(jù)直觀圖或軸截圖推導(dǎo)出棱錐、棱臺的底面外接圓的半徑與球的半徑滿足的關(guān)系式. 對“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的要求是具備較高的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算素養(yǎng). 實(shí)驗(yàn)中約有三成學(xué)生因不能畫出直觀圖而失分，在能畫出直觀圖的學(xué)生中，只有約一半的人能夠推導(dǎo)出棱錐、棱臺的底面外接圓的半徑與球的半徑滿足的關(guān)系式. 所以，如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，并在直觀想象素養(yǎng)的基礎(chǔ)上發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算素養(yǎng)是立體幾何教學(xué)的重要問題之一.

通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，建立解決問題的環(huán)境

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，“立體幾何初步”的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能.

人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書（2019年版）推薦的GeoGebra軟件很好地解決了這個(gè)問題. GeoGebra軟件是一款結(jié)合幾何、代數(shù)和微積分的數(shù)學(xué)動態(tài)軟件，其“3D視圖”功能可以實(shí)現(xiàn)空間幾何體的動態(tài)演示，為立體幾何的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了可靠的工具.

常見資料中對外接球問題的教學(xué)方法不夠完善，往往是就事論事，不能推廣到一般情況，沒有系統(tǒng)的方法體系，更大的問題是忽視了學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，造成推理和計(jì)算沒有根基. 空間想象能力的形成和提高不是一蹴而就的，要遵循認(rèn)知的一般規(guī)律，所以筆者利用GeoGebra軟件設(shè)計(jì)了幾個(gè)由簡到繁的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，學(xué)生通過對實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠^察與分析，獲得探究經(jīng)驗(yàn)，掌握結(jié)論. 在應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生先尋找適合的模型，讓學(xué)生在套用結(jié)論的過程中逐步熟悉解決問題的方法，然后通過一題多解的訓(xùn)練，理解模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握解決問題的一般方法，逐漸擺脫對模型的依賴，形成解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

常見的外接球問題大致可歸納為以下幾種模型：截面模型、長方體模型、圓柱模型、圓錐模型、圓臺模型、二面角模型. 本文結(jié)合2022年高考題敘述圓錐與圓臺模型的實(shí)驗(yàn)與運(yùn)用.

運(yùn)用GeoGebra軟件制作實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

雖然外接球問題靈活多變，但可以通過GeoGebra軟件建立可變的圖形，探究多種問題. 在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生只需要改變參數(shù)值或拖動點(diǎn)改變位置，就能夠得到不同的圖形；還可以拖動坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換視角，從不同的視角進(jìn)行觀察與探究.

通過實(shí)驗(yàn)探究模型的一般結(jié)論

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)論的運(yùn)用

引導(dǎo)學(xué)生思考實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)論的作用，實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒粌H可以解決圓錐、圓臺的外接球問題，還可以解決棱錐、棱臺的外接球問題，只需求出棱錐、棱臺的底面外接圓的半徑，就可以將它們轉(zhuǎn)化為實(shí)驗(yàn)中的圓錐、圓臺模型，從而套用實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得的一般結(jié)論.

許多外接球問題有多種模型可以套用，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分析空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，尋找滿足模型的條件. 在不同模型的對比中，可以鍛煉學(xué)生的空間想象能力，形成解決一般問題的能力.