基于“三個(gè)理解”打造好課

張菊

［摘? 要］ 一節(jié)好課能夠誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 在打造好課的過程中，教師必須認(rèn)真地研究教材、研究學(xué)生、研究教學(xué)，在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)可以揭示問題本質(zhì)、引導(dǎo)學(xué)生自主探究、優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)活動(dòng)，以此提高教學(xué)品質(zhì)，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 好課；三個(gè)理解；教學(xué)品質(zhì)

教師的教學(xué)水平和數(shù)學(xué)水平直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā). 對(duì)于一個(gè)高水平的數(shù)學(xué)教師來講，他們往往可以用最簡單、最樸實(shí)、最易于理解的語言表達(dá)出數(shù)學(xué)的深意，以此讓學(xué)生掌握問題本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的潛能［1］. 那么若想達(dá)到這一教學(xué)效果，教師應(yīng)不斷提升自己的數(shù)學(xué)水平和教學(xué)水平，從而將數(shù)學(xué)知識(shí)“深入淺出”地傳授給學(xué)生，以此激發(fā)學(xué)生的積極情感，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng). 作為數(shù)學(xué)教師，只有將知識(shí)點(diǎn)理解透徹，才能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用多種教學(xué)手段和教學(xué)方法將知識(shí)講懂、講透，以此幫助學(xué)生獲得更深層次的數(shù)學(xué)理解，建構(gòu)完善的認(rèn)知體系. 同時(shí)，教師要理解學(xué)生，知曉他們的認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維習(xí)慣、情感規(guī)律等，從而通過有效引導(dǎo)激發(fā)學(xué)生的動(dòng)機(jī)和潛能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 當(dāng)然，教師還要理解教學(xué)，讓學(xué)生獲取知識(shí)和技能的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)綜合能力和綜合素養(yǎng)的全面提升.

筆者以探究“圓與圓的位置關(guān)系”為例，在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上談幾點(diǎn)對(duì)“深入淺出”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的理解，僅供參考.

理解數(shù)學(xué)是“深入”的前提

教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解水平除了概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和把握水平外，還包括思想方法、表征方式等內(nèi)容的理解和把握水平. 教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解水平直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解水平，直接影響著“教”與“學(xué)”的品質(zhì). 一個(gè)好教師應(yīng)具有整體意識(shí)，要跳出單一知識(shí)點(diǎn)的束縛，善于從整體的角度出發(fā)幫助學(xué)生建立和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 在本課教學(xué)中，為了更好地教學(xué)，教師應(yīng)理解以下兩方面的問題.

1. 關(guān)注聯(lián)系性，建構(gòu)完善的認(rèn)知體系

在探究圓與圓各種位置關(guān)系的過程中，其探究的思路、方法、結(jié)論具有明顯的關(guān)聯(lián)性，因此教師要把握好這種聯(lián)系，從整體出發(fā)帶領(lǐng)學(xué)生科學(xué)建構(gòu)認(rèn)知體系. 在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從最易于理解的內(nèi)切和外切出發(fā)，通過直觀觀察引導(dǎo)學(xué)生用兩圓的圓心距d和兩圓的半徑r₁，r₂來表示兩圓的位置關(guān)系. 若兩圓外切，則有d=r₁+r₂；若兩圓內(nèi)切，則有d=|r₁－r₂|.這樣理解兩圓內(nèi)切和外切，可為學(xué)生理解兩圓的其他位置關(guān)系提供線索：由兩圓外切易于聯(lián)想兩圓外離，即當(dāng)d>r₁+r₂時(shí)，兩圓外離；由兩圓內(nèi)切易于聯(lián)想兩圓內(nèi)含，即當(dāng)d1－r₂時(shí)，兩圓內(nèi)含. 這樣由兩圓外切聯(lián)想到兩圓外離，由兩圓內(nèi)切聯(lián)想到兩圓內(nèi)含，將知識(shí)有效串聯(lián)在一起，有助于學(xué)生形成完善的認(rèn)知體系：至此，就有兩圓相交的位置關(guān)系，通過觀察和聯(lián)想易得兩圓相交時(shí)圓心距d和半徑r₁，r₂的數(shù)量關(guān)系為|r₁－r₂|1+r₂.

在教學(xué)中，這樣將兩圓的位置關(guān)系置于一個(gè)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)中來認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的變化中領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，既有助于知識(shí)的深化，又有助于建構(gòu)完善的認(rèn)知體系，有利于提升學(xué)習(xí)品質(zhì)［2］.

2. 多渠道表征，理解問題的本質(zhì)

眾所周知，個(gè)體的學(xué)習(xí)能力和思維方式是存在差異的，而這些差異會(huì)導(dǎo)致知識(shí)輸出時(shí)產(chǎn)生不同的表征方式，繼而產(chǎn)生不同的解題方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過不同的表征，拓寬視野，提高解題能力.

如例題：求過點(diǎn)A（0，6）且與圓C：x²+y²+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓方程.

該例求解的關(guān)鍵是對(duì)兩圓外切關(guān)系的處理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過不同的表征，由表及里地進(jìn)行探究，逐漸認(rèn)清問題的本質(zhì).

表征1：研究已知不難發(fā)現(xiàn)兩圓外切，根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)易得兩圓的圓心及切點(diǎn)共線. 由“兩圓切于原點(diǎn)”可知，兩圓圓心和原點(diǎn)共線，共線方程為y=x.分析至此，可設(shè)所求圓的圓心為（a，a），半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）²+（y－a）²=r²，根據(jù)待定系數(shù)法求解.

表征2：從幾何的角度出發(fā)，可知所求圓的圓心在直線y=x上，且在線段OA的中垂線上，這樣可以先求圓心坐標(biāo)再求半徑，該表征優(yōu)于表征1.

表征3：進(jìn)一步研究已知條件，設(shè)所求圓的圓心E為（a，a），又原點(diǎn)在該圓上，所以利用AE=OE求出a即可. 這樣通過對(duì)條件的進(jìn)一步思考，使解題過程更加優(yōu)化.

在教學(xué)中，教師要盡量避免“就題論題”，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考、表征，找到不同的解決問題的方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解. 當(dāng)然，若想達(dá)到這一效果離不開教師對(duì)教材資料的深度解讀，只有將知識(shí)理解透徹，才能巧妙誘發(fā)學(xué)生深度思考，以此拓展學(xué)生的思維.

理解學(xué)生是“深入淺出”的基礎(chǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有理解學(xué)生才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)策略，做到有的放矢. 教學(xué)中理解學(xué)生，既要理解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，還要理解學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方式、思維特點(diǎn)等.

1. 理解學(xué)生的差異

眾所周知，因受學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)興趣、認(rèn)知水平等內(nèi)外因素的影響，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維習(xí)慣存在一定的差異性. 在教學(xué)前，教師要對(duì)學(xué)生的差異有所了解，這樣才能根據(jù)不同的認(rèn)知體系設(shè)計(jì)不同的教學(xué)活動(dòng)，從而為不同的學(xué)生提供有效的幫助.

例如，兩圓相交時(shí)數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)和理解是本節(jié)課教學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn)，對(duì)于大部分學(xué)生來講，通過觀察容易找到d1+r₂這一數(shù)量關(guān)系，然d>|r₁－r₂|這一數(shù)量關(guān)系單憑觀察卻很難發(fā)現(xiàn). 對(duì)于一些學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，他們會(huì)構(gòu)建如圖1所示的圖形，通過三角形的三邊關(guān)系推導(dǎo)出|r₁－r₂|1+r₂，但該方法與部分學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在一定的“距離”，這需要教師在認(rèn)識(shí)方法上進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，讓全部學(xué)生理解兩圓相交時(shí)圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系. 這樣將抽象的問題直觀化，使問題落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，能讓學(xué)生解決問題的同時(shí)，突破教學(xué)重難點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)深化.

2. 理解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，教學(xué)中只有理解學(xué)生，掌握學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平，才能通過合理的開發(fā)和利用使其順利遷移到當(dāng)前知識(shí). 同時(shí)，只有理解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)才能知曉在探尋新知時(shí)是否會(huì)出現(xiàn)障礙及突破路徑，以便教師做好充分的準(zhǔn)備，靈活處理課堂中出現(xiàn)的各種“意外”，確保教學(xué)計(jì)劃的順利實(shí)施.

比如，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣利用表征1的解答思路求解例題，這與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)息息相關(guān). 在初中階段，學(xué)生求一次函數(shù)、正比例函數(shù)等表達(dá)式時(shí)大多數(shù)應(yīng)用的是待定系數(shù)法；到了高中階段，學(xué)生求直線、圓的方程時(shí)大多數(shù)也會(huì)應(yīng)用待定系數(shù)法，可見利用待定系數(shù)法求解成了一種定式，影響著學(xué)生的思考習(xí)慣. 另外，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)“圓心在OA的中垂線上”這一條件的認(rèn)識(shí)不夠，因此沒有在第一時(shí)間提取這一有價(jià)值的信息，可見學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)不強(qiáng)，解決解析幾何問題時(shí)還是習(xí)慣從“數(shù)”的角度去分析，對(duì)于“形”可優(yōu)化運(yùn)算的理解不到位. 因此，在教學(xué)中，教師必須進(jìn)行引導(dǎo)和示范，通過方法的優(yōu)化幫助學(xué)生形成新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3. 理解學(xué)生的發(fā)展需求

在本課教學(xué)中，若僅僅照本宣科地將兩圓的位置關(guān)系講授給學(xué)生，恐怕難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不利于學(xué)生發(fā)展. 因此，教學(xué)中教師應(yīng)從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念、規(guī)則等內(nèi)容的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題探究和解決的過程，并在這些過程中參與抽象、反思、拓展等活動(dòng)，這樣通過“做中學(xué)”和“做中思”不僅可以幫助學(xué)生深刻理解和應(yīng)用概念、規(guī)則等內(nèi)容，還可以引導(dǎo)學(xué)生更好地感悟蘊(yùn)含其中的思想方法，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

理解學(xué)生是“因材施教”的前提，教學(xué)中教師只有理解學(xué)生才能通過有針對(duì)性的指導(dǎo)和有效的幫扶去更好地發(fā)展學(xué)生，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力；只有清楚地掌握學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、行為習(xí)慣和思維特點(diǎn)，才能使教學(xué)設(shè)計(jì)更具普適性，以此推動(dòng)全員全面發(fā)展.

理解教學(xué)是“學(xué)入淺出”的關(guān)鍵

好的課堂離不開好的教學(xué)，其是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵. 想打造好的課堂，教師要理解教學(xué)，既要明晰數(shù)學(xué)教學(xué)的基本規(guī)律，還要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際需求，繼而以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)出能夠推動(dòng)教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方案，提升教學(xué)的有效性.

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)數(shù)學(xué)探究

在教學(xué)中，大多數(shù)教師會(huì)精心設(shè)計(jì)問題情境，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下積極思考、主動(dòng)探究，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高教學(xué)的有效性. 不過教師創(chuàng)設(shè)問題時(shí)應(yīng)關(guān)注教材、關(guān)注學(xué)生，要有一定的針對(duì)性和啟發(fā)性，既能引出主題，又能引發(fā)思考，同時(shí)還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生在問題探究中能夠有所思、有所獲.

在本課教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：如圖2所示，半徑為r₂的小圓C₂在半徑為r₁的大圓C₁外面的圓周上滾動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中有沒有什么不動(dòng)的東西呢？

以學(xué)生現(xiàn)有的水平，能夠給出“C₁C₂=r₁+r₂”這一結(jié)論，繼而引出本節(jié)課探究的主題——用圓心距d和兩圓半徑r₁，r₂表示兩圓的位置關(guān)系. 上述問題的創(chuàng)設(shè)具有目的性和合理性，既讓學(xué)生獲得了相應(yīng)的結(jié)論，又激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)欲望. 另外，該問題還有一定的探究性和拓展性：問題設(shè)計(jì)的是“在外面的圓周上滾動(dòng)”，因此學(xué)生易于聯(lián)想到“若在里面的圓周上滾動(dòng)又會(huì)得到什么結(jié)論”，這能夠自然引出內(nèi)切.

這樣由相切到相離再到相交，引導(dǎo)學(xué)生通過逐層分析，觀察和探究，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的關(guān)系，得到相應(yīng)結(jié)論；揭示學(xué)生獲取知識(shí)的過程，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的理解與深化.

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)探究，感悟數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)中，為了能夠讓學(xué)生深入理解知識(shí)，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程，并在過程中感悟基本思想方法，以此幫助學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)研究方法，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在本課教學(xué)中，探究兩圓的位置關(guān)系及對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是重難點(diǎn)，在突破這一重難點(diǎn)的過程中蘊(yùn)含著“對(duì)應(yīng)”思想. 兩圓“外離”—“外切”—“相交”對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系為“d>r₁+r₂”—“d=r₁+r₂”—“d1+r₂”，兩圓“內(nèi)含”—“內(nèi)切”—“相交”對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系為“d<|r₁－r₂|”—“d=|r₁－r₂|”—“d>|r₁－r₂|”，由此可得兩圓相交應(yīng)滿足|r₁－r₂|1+r₂. 這樣通過“對(duì)應(yīng)”思想能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩圓相交對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生突破本課的重難點(diǎn).

學(xué)生的思想方法不是孤立存在的，其蘊(yùn)含在知識(shí)形成和發(fā)展的過程中，蘊(yùn)含在問題探索和解決的過程中. 在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的抽象，從而讓學(xué)生在基本思想方法的指導(dǎo)下更好地認(rèn)識(shí)知識(shí)、理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí).

3. 把握教學(xué)目標(biāo)，提升教學(xué)品質(zhì)

為了更好地教學(xué)，教師必須認(rèn)真研讀教材，準(zhǔn)確理解教材，制訂科學(xué)的教學(xué)目標(biāo). 在教學(xué)中，教師只有弄清楚教什么、教到什么程度，學(xué)生學(xué)什么、學(xué)到什么水平，才能制訂可以體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容實(shí)質(zhì)的、有價(jià)值的目標(biāo).

在本課教學(xué)中，要求學(xué)生掌握“利用圓心距d和兩圓半徑r₁，r₂表示兩圓的位置關(guān)系”. 目標(biāo)是“掌握”，這是一個(gè)較高層次的要求，學(xué)生既要掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，還要靈活應(yīng)用該知識(shí)點(diǎn)解決問題. 因此，在本課教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生探究、總結(jié)、歸納判定兩圓位置關(guān)系的方法，還要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷具體應(yīng)用的過程（如上述例子）.

在教學(xué)中，只有準(zhǔn)確地把握教學(xué)目標(biāo)，才能設(shè)計(jì)有意義的教學(xué)活動(dòng)，以此提高教學(xué)質(zhì)量，提升教學(xué)品質(zhì).

總之，“三個(gè)理解”是教學(xué)基礎(chǔ)，其有助于教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì). 理解學(xué)生是教學(xué)的根本出發(fā)點(diǎn)，只有符合學(xué)生認(rèn)知、適合學(xué)生發(fā)現(xiàn)的教學(xué)活動(dòng)才能激發(fā)學(xué)生的潛能，真正做到因材施教，讓學(xué)生獲得不同程度的發(fā)展；理解教學(xué)有助于教師整合教學(xué)資源，在教學(xué)目標(biāo)的指引下設(shè)計(jì)出適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)，從而有效落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的“三維目標(biāo)”，提高數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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