源于教材 高于教材
——“長短弦定理”及其推論

?山東省德州市臨邑第一中學(xué)

劉文明 王志武

歷年來，在高考、?？贾校赃^圓錐曲線焦點的弦為背景的問題(簡稱焦點弦問題)層出不窮，經(jīng)久不衰.比如，2022年全國新高考Ⅰ卷第16題，2022年山東臨沂一模第21題，2020年高考山東卷第13題，2018年新課標全國Ⅱ卷第19題，等等.很多專家學(xué)者也對焦點弦的性質(zhì)進行了研究，但都用到了圓錐曲線的第二定義，如文獻[1]、文獻[2]等.由于2019年版新教材及更早的教材中已刪減了圓錐曲線的第二定義，影響了相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論的推廣和應(yīng)用.為便于高中師生理解和接受，筆者避開第二定義，在橫向橢圓的基礎(chǔ)上利用高中知識對焦點弦的性質(zhì)進行了研究，提出長短弦定理及相關(guān)推論.實踐證明，長短弦定理及其推論是解決焦點弦長度問題的有力工具之一.

1 角度式焦半弦公式

為了敘述的方便，我們把過圓錐曲線焦點的弦稱為焦點弦，焦點弦被焦點分成兩部分，每一部分都稱為焦半弦.

圖1

這個公式記憶的難點是分母中的正負號，其規(guī)律是上減下加.即對橫向橢圓來講，當弦AB過左焦點且點A在上方時，公式成立.

2 “長短弦定理”及其推論

(注：這里a,b,c,p都是標準方程對應(yīng)曲線的相關(guān)參數(shù),以下同.)

由長短弦定理可進一步推演得如下推論成立.

推論2證明從略.

3 “長短弦定理”及其推論應(yīng)用舉例

圖2

由“長短弦定理”，得

因為直線ED為線段AF2的垂直平分線，所以△ADE≌△F2DE,故△ADE的周長l=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=13.

分析：傳統(tǒng)解法是先設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元，然后利用弦長公式表示出弦長，再進一步求值，這樣計算量大，冗長易錯，容易陷入小題大做的陷阱.兩種解法對比如下.

解法1：傳統(tǒng)解法.

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

由弦長公式,得

解法2：利用長短弦定理及其推論.

兩種方法對比,解法2計算量小，簡潔明快，節(jié)約時間.對于選擇與填空題，優(yōu)勢明顯.

分析：本題的傳統(tǒng)解法是設(shè)出直線BF1的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立消元，利用韋達定理及弦長公式、點到直線的距離公式等將四邊形的面積表示出來，再研究最值，這樣計算量大，繁瑣易錯.如圖3所示，延長BF1交橢圓于點A1，由對稱性可知|AF2|=|A1F1|,故AF2，BF1可以看作是同一焦點弦的兩個焦半弦，可借助長短弦公式求解，事半功倍.

圖3

例4(江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考)如圖4，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A,B，交其準線于點C，若|BC|=4|BF|，且|AF|=6,則p的值為.

圖4

統(tǒng)計往年試題發(fā)現(xiàn)，與焦點弦長度有關(guān)的問題在高考、?？贾谐霈F(xiàn)頻率較高.高中階段解決焦點弦問題的傳統(tǒng)方法是將直線與曲線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后利用韋達定理及弦長公式求解,其實質(zhì)是代數(shù)法，運算量與思維量較大，求解過程繁瑣耗時且易錯.而用“長短弦定理”及其推論處理與焦點弦長度有關(guān)的問題，其實質(zhì)是幾何法，求解過程簡潔明快，思維量與計算量小，準確率高.高中階段適當拓展相關(guān)知識，有利于開拓學(xué)生思路，提高解題效率.