關(guān)于指對(duì)同構(gòu)思想的一點(diǎn)思考

晏廷鳳

（曲靖市教育科學(xué)研究所，云南 曲靖 655000）

1 對(duì)同構(gòu)思想的思考

“同構(gòu)式”指“結(jié)構(gòu)相同的式子”[1]，是指除了變量不同，其余結(jié)構(gòu)均相同的方程或不等式[2]。同構(gòu)思想通過合理變形，得到兩個(gè)相同結(jié)構(gòu)的式子，在利用不等式處理函數(shù)的求值或不等式恒成立問題中，有一部分試題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來(lái)的，再利用單調(diào)性解方程或者比較大小[3]，同構(gòu)的思想方法常常應(yīng)用到高考?jí)狠S題的導(dǎo)數(shù)綜合性問題中。如果能找到不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù)，無(wú)疑會(huì)大大簡(jiǎn)化解題過程，如F（x）≥0能變形為f（g（x））≥f（h（x）），再利用f（x）的單調(diào)性，如果單調(diào)遞增，則g（x）≥h（x），這種方法稱為同構(gòu)方法[4]。

2 針對(duì)題型及解決方案

主要針對(duì)指數(shù)和對(duì)數(shù)混合的導(dǎo)數(shù)問題，這類題型主要出現(xiàn)在解答題的壓軸位置，如果函數(shù)結(jié)構(gòu)中同時(shí)包含對(duì)數(shù)式和指數(shù)式，通過適當(dāng)?shù)闹笇?duì)變形、配湊，調(diào)整不等式結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為積型、商型、和差型3 個(gè)同構(gòu)基本型，同構(gòu)為同一個(gè)函數(shù)，即得到兩個(gè)相同結(jié)構(gòu)的式子，利用同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性，再把復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的不等式，問題將會(huì)迎刃而解[5]。

3 常見的指對(duì)變形

常見的指對(duì)變形如式（1）所示。

以上這些變形近幾年十分流行，對(duì)解決指對(duì)混合不等式問題，例如，恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，都帶來(lái)了極大的便利。當(dāng)然，在具體使用中，往往要結(jié)合切線的放縮或換元法。可以說(shuō)掌握了這些變形及常見切線型不等式，就大大降低了這類題的難度，能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題過程。

4 指對(duì)同構(gòu)的3 種模型（積型、商型、和差型）

（1）積型模型如式（2）所示。

（2）商型模型如式（3）所示。

（3）和差型如式（4）所示。

5 同構(gòu)方法在經(jīng)典例題中的應(yīng)用

5.1 利用同構(gòu)思想求參數(shù)的取值范圍

例1：（2020 全國(guó)新高考）已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna。

（1）當(dāng)a=e 時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積。

（2）若f（x）≥1，求a 的取值范圍。

解析：（1）當(dāng)a=e 時(shí)，（fx）=ex-lnx+1，有f（′x）=ex-所以k=f′（1）=e-1。

因?yàn)閒（1）=e+1，從而知道切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e+1），所以函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（e+1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x+2。

（2）由f（x）≥1 可得式（5）。

構(gòu)造g（x）=x+ex，顯然函數(shù)g（x）=x+ex在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)。

由elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx 有g(shù)（lna+x-1）≥g（lnx），又函數(shù)g（x）=x+ex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以lna+x-1≥lnx，故lna≥（lnx-x+1）max，令h（x）=lnx-x+1，則h′（x），所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（′x）＞0，函數(shù)h（x）=lnx-x+1 在（0，1）上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）=lnx-x+1 在（1，+∞）上是單調(diào)遞減的，所以h（x）max=h（1）=1，故a≥1。所以a 的取值范圍為[1，+∞）。

例2：對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式a（eax+1）≥2（x+）lnx 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。

（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

（2）設(shè)g（x）=eax-ax2+ax，當(dāng)x＞0 時(shí)，2f（x）-g′（x）≤0，求a 的取值范圍.

（2）設(shè)g′（x）=a（eax-2x+1），因?yàn)?f（x）-g′（x）≤0，則lnx-2ax-a（eax-2x+1）≤0，即2（x2+1）lnx≤ax（eax+1），即（x2+1）lnx2≤（eax+1）lneax；設(shè)h（x）=（x+1）lnx，則可得h（ea）x≥h（x2），因?yàn)?，則設(shè)u（x）。

當(dāng)0＜x＜1 時(shí)，u′（x）＜0，當(dāng)x＞1 時(shí)，u′（x）＞0，所以函數(shù)u（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以u(píng)（x）≥u（1）=2，即h′（x）≥h′（1）=2，則函數(shù)h（x）=（x+1）lnx 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則由h（eax）≥h（x2），得eax≥x2在（0，+∞）上恒成立，即ax≥2lnx 在（0,+∞）上恒成立。

例4：已知函數(shù)f（x）=aexlnx（a＞0），g（x）=x2+xlna。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

（2）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），若h（x）＞0 對(duì)任意的x∈（0，1）恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。

解析：（1）函數(shù)當(dāng)f（x）=aexlnx 的定義域?yàn)椋?，+∞）時(shí)，，令，則m（′x），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增；所以m（x）≥m（1）=1＞0，又因?yàn)閍＞0，ex＞0，所以f′（x）=aex（lnx+）＞0，故（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。

（2）由題意可知：aexlnx=ex+lnalnx＜x2+xlna=x（x+lna）。

5.2 利用同構(gòu)思想判斷單調(diào)性及求參數(shù)的值

例5：已知函數(shù)f（x）=xe-ax-lnx+ax-1（a∈R），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

（1）當(dāng)a=0 時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值。

（2）若當(dāng)x＞0 時(shí)，函數(shù)y=xe-ax的圖像與y=1 的圖像有交點(diǎn)，求a 的最大值。

（3）若f（x）的最小值為0，求a 的最大值。

解析：（1）當(dāng)a=0 時(shí)，f（x）=x-lnx-1，f（′x）=，所以x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）min=f（1）=0。

（2）由題得方程xe-ax=1 有正實(shí)數(shù)解，兩邊取對(duì)數(shù)，得lnx-ax=0，所以，令，當(dāng)x∈（e，∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；x∈（0，e）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，所以F（x）max=F（e）=，則F′（x）=，所以a 的最大值為。

（3）由題意得f（x）≥0，且能取等號(hào)，即xe-ax-lnx+ax-1≥0 且能取等號(hào)，令t=xe-ax（t＞0），兩邊取對(duì)數(shù)，得ln（xe-ax）=-ax+lnx=lnt，所以f（x）=xe-ax-lnx+ax-1=t-lnt-1≥0 恒成立，且等號(hào)成立，由（1）可知f（x）=g（t）=t-lnt-1≥g（1）=0，且t=1 時(shí)等號(hào)成立，即t=xe-ax=1 時(shí)，xe-ax-lnx+ax-1=0≥0，且等號(hào)成立，即xe-ax=1 有正實(shí)數(shù)解，兩邊取對(duì)數(shù)，得lnx-ax=0，所以，令，則F（′x）=，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；x∈（0，e）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，所以F（x）max=F（e）=，所以a 的最大值為。

5.3 利用同構(gòu)思想處理導(dǎo)數(shù)問題中的零點(diǎn)問題

（1）若f（x）≥0，求a 的取值范圍。

（2）證明：若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1x2＜1。

（2）因?yàn)閒（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則等價(jià)于t=x-lnx有2 個(gè)不同的解x1，x2，故，所以x1-lnx1=x2-lnx2，則，由對(duì)數(shù)平均不等式可得，故x1x2＜1。

6 結(jié)語(yǔ)

同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見方法，在解題實(shí)踐過程中，若能通過觀察、分析、整理等變形手段，看清題中函數(shù)結(jié)構(gòu)的共性或等式（或不等式）兩側(cè)同構(gòu)，則可輕松構(gòu)造函數(shù)，巧妙利用函數(shù)單調(diào)性解題。指數(shù)和對(duì)數(shù)混合的導(dǎo)數(shù)題，許多情況下，需要湊出同構(gòu)的形式來(lái)，因?yàn)橹笖?shù)和對(duì)數(shù)之間可以互相轉(zhuǎn)換，盡量轉(zhuǎn)換為常見的積型、商型、和差型3 種同構(gòu)形式。利用同構(gòu)思想方法構(gòu)造函數(shù)的基本策略與流程是：“不等式同解變形，左右形式相當(dāng)；一邊一個(gè)變量，取左或取右，構(gòu)造合適的函數(shù)”。新高考形勢(shì)下試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，突出學(xué)生對(duì)關(guān)鍵能力的考查，要求學(xué)生理解準(zhǔn)，速度快，思維強(qiáng)，才能拿高分。因此平常要培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)方法，不斷提高學(xué)生的創(chuàng)新能力、轉(zhuǎn)化化歸的能力，突出邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。以上幾個(gè)經(jīng)典例題充分體現(xiàn)了“同構(gòu)”思想在解決導(dǎo)數(shù)綜合題中發(fā)揮著不可估量的作用。同構(gòu)思想是解答數(shù)學(xué)題的一種常用方法與技巧，特別是在解決壓軸選擇題、填空題、壓軸解答題時(shí)發(fā)揮著奇特功效。在教學(xué)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，可以拓寬學(xué)生的思維，把抽象問題直觀化，用直觀函數(shù)的特征、性質(zhì)，建立問題中的不等關(guān)系，以提高解題的能力和速度。