基于自適應(yīng)罰函數(shù)的城軌列車惰行節(jié)能方法

李文強(qiáng)，李廣軍

（江蘇理工學(xué)院汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 常州 213000）

現(xiàn)階段中國多個(gè)城市軌道交通建設(shè)規(guī)模逐漸擴(kuò)大，運(yùn)行總能耗不斷上升。2020 年城軌交通總電能耗172.4 億kW·h，其中牽引能耗約占48%[1]，降低牽引能耗是當(dāng)前城軌交通運(yùn)行節(jié)能研究熱點(diǎn)之一。影響列車牽引能耗的因素包括列車操縱模式、運(yùn)行限速、區(qū)間運(yùn)行總時(shí)間等[2-5]。

在列車操縱模式方面，ZHOU 等[3]采用“牽引—巡航—惰行—制動(dòng)”四段模式，通過前移惰行轉(zhuǎn)換點(diǎn)，延長惰行時(shí)間來降低牽引能耗，但是這種操作模式與線路的關(guān)聯(lián)性比較差，很難發(fā)揮線路設(shè)計(jì)的節(jié)能優(yōu)勢。

在求解算法方面，已有文獻(xiàn)多采用啟發(fā)式算法求解列車節(jié)能優(yōu)化模型，如劉建威等[6]采用改進(jìn)的遺傳算法獲得列車運(yùn)行速度曲線，但遺傳算法的生物遺傳概念與列車工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)需要通過二進(jìn)制對應(yīng)，而且難以避免交叉、變異、選擇等復(fù)雜操作；張方等[7]研究發(fā)現(xiàn)在求解列車運(yùn)行速度曲線問題時(shí)，粒子群（PSO）算法比遺傳算法求解效率更高，運(yùn)行速度更快；李燁等[8]采用粒子群算法求解地鐵列車節(jié)能控制的多約束優(yōu)化模型，但粒子群算法在某種情況下會陷入局部最優(yōu)解，出現(xiàn)“早熟現(xiàn)象”。

針對上述問題，筆者首先針對列車區(qū)間線路的平縱斷面特點(diǎn)，提出線路適應(yīng)性更強(qiáng)的節(jié)能策略，建立自適應(yīng)罰函數(shù)的列車多質(zhì)點(diǎn)節(jié)能優(yōu)化模型。同時(shí)，將粒子群算法與混沌搜索、模擬退火機(jī)制結(jié)合，提出混沌退火混合粒子群（CAHPSO）優(yōu)化算法求解模型，避免算法陷入局部最優(yōu)解。最后，以實(shí)際區(qū)間為例研究多次惰行的節(jié)能模式節(jié)能效果。

1 列車運(yùn)行操作模式

城軌列車常采用傳統(tǒng)四段操作模式：以“牽引—巡航—惰行—制動(dòng)”組合工況運(yùn)行，最終停在站臺指定位置。為使列車牽引能耗最小化，采用具有多次惰行工況的節(jié)能操作模式：首先以“牽引—惰行—巡航”組合工況爬坡；然后以惰行工況利用重力勢能下坡；最后，列車在合適位置采取制動(dòng)措施，停止在下一站臺的指定位置。

2 優(yōu)化模型

2.1 約束條件

2.1.1 運(yùn)動(dòng)方程

列車運(yùn)動(dòng)方程為：

式（1）中：F（v）為列車產(chǎn)生的牽引力；B（v）為制動(dòng)力；W（s，v）為運(yùn)行阻力；m為列車總質(zhì)量；γ為回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)，常取0.06；a（s）為列車行駛距離為s時(shí)的加速度。

以列車運(yùn)行距離Δs作為迭代步長，a（s）由公式（1）離散得到。根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程可知列車運(yùn)行速度、時(shí)間、位置，如公式（2）—（7）所示：

式（2）—（7）中：v（s）為列車行駛距離為s時(shí)的運(yùn)行速度；t（s）為列車行駛距離為s時(shí)所耗時(shí)間；vlimit1（s）、vlimit2（s）分別為列車行駛距離為s時(shí)的運(yùn)行最低限速和最高限速；Send為指定停止位置；Svend=0為實(shí)際停止位置；ψ為停車精度要求，城軌列車實(shí)際停車地點(diǎn)與規(guī)定停車點(diǎn)誤差小于0.3 m 以內(nèi)為安全停車，故ψ=0.3 m；Δts為在距離Δs內(nèi)所耗時(shí)間；T為限定區(qū)間運(yùn)行時(shí)間；ζ為運(yùn)行時(shí)間裕度，列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間與限定時(shí)間誤差不超過5%為準(zhǔn)時(shí)到站，常取0.05。

2.1.2 受力約束

通過最小二乘法計(jì)算得到列車牽引特性曲線fF（v）、制動(dòng)特性曲線fB（v），列車在運(yùn)行速度為v時(shí)所受牽引力、制動(dòng)力計(jì)算公式為：

運(yùn)行阻力W（s，v）包含基本阻力、坡道附加力、曲線附加力?；咀枇0（s）以經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算。列車單位坡道附加力wi（s）、單位曲線附加力wr（s）計(jì)算公式為：

式（8）（9）中：L1（s）、L2（s）為列車行駛距離為s時(shí)，在坡度為i1、i2的坡道上的車身長度；L為列車總長度；i1、i2、i3分別為列車從頭到尾跨越的3 個(gè)坡度；l1（s）、l2（s）為列車行駛距離為s時(shí)，在半徑為R1、R2的曲線上的車身長度；A為彎道阻力系數(shù)，在中國城軌交通中A常取600；R1、R2、R3分別為列車從頭到尾跨越的3 個(gè)半徑。

當(dāng)列車處于不同坡度和曲線段時(shí)，各項(xiàng)參數(shù)變化如表1 所示。

表1 列車位置與參數(shù)變化表

2.1.3 運(yùn)行能耗約束

根據(jù)筆者假設(shè)條件及列車牽引做功計(jì)算公式，列車在區(qū)間內(nèi)運(yùn)行能耗為：

式（10）中：F為列車行駛距離為s時(shí)的牽引力；Δs為算法迭代步長。

當(dāng)Δs＞0.1 m 時(shí)不利于研究和討論不同運(yùn)行方案的列車停車精度；當(dāng)Δs＜0.1 m 時(shí)，理論上可以得到更加精確的停車位置，但迭代步長越小，計(jì)算機(jī)求解時(shí)間越長；而當(dāng)Δs=0.1 m 時(shí)，既可以獲得足夠的停車精度，又可以降低計(jì)算機(jī)求解時(shí)間，故設(shè)Δs=0.1 m。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

列車運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn){xi|i=1，2，…，xi[0，Send]}為決策變量，Send為指定停車位置，以最小化列車牽引能耗為優(yōu)化目標(biāo)。采用自適應(yīng)懲罰因子τ加權(quán)，將運(yùn)行時(shí)分偏差、列車停車精度以約束條件的形式加入目標(biāo)函數(shù)fit，為：

式（11）中：E（xi）為區(qū)間運(yùn)行總能耗；τ·[ConT（xi）+ConS（x i）]為懲罰函數(shù)，停車精度滿足要求時(shí)ConS（xi）=0，不成立則為1，當(dāng)列車運(yùn)行時(shí)間滿足時(shí)間要求時(shí)ConT（xi）=0，不成立則為1。

2.3 自適應(yīng)罰函數(shù)

自適應(yīng)罰函數(shù)是把種群在進(jìn)化過程中的信息作為反饋，動(dòng)態(tài)地調(diào)整懲罰因子大?。涸趦?yōu)化初期，可行解個(gè)數(shù)占種群規(guī)模的比例α=0，自適應(yīng)懲罰因子τ最大，促使粒子運(yùn)動(dòng)速度加快。隨著迭代的進(jìn)行，可解個(gè)數(shù)越來越多，τ也隨之減小，使優(yōu)化重點(diǎn)轉(zhuǎn)為原目標(biāo)函數(shù)。τ滿足公式（12）：

式（12）中：α為可行解占種群規(guī)模的比例；β為自適應(yīng)罰函數(shù)因子調(diào)整系數(shù)，可取[10，15]中任意整數(shù)。

結(jié)合公式（6）（7），以列車停車誤差小于0.3 m 并且運(yùn)行時(shí)間延誤在5%以內(nèi)為可行解。

3 混沌退火混合粒子群優(yōu)化算法

3.1 粒子群算法

粒子群（PSO）算法是受種群協(xié)作機(jī)制啟發(fā)而來的隨機(jī)搜索算法，將飛鳥的運(yùn)動(dòng)抽象為粒子運(yùn)動(dòng)，特別適用于傳統(tǒng)算法難以解決的非線性約束問題。采用粒子群算法求解列車運(yùn)行工況點(diǎn)，不僅避免了遺傳算法交叉、變異等復(fù)雜操作，而且粒子具有特殊的物理含義：粒子移動(dòng)范圍等價(jià)于列車運(yùn)行范圍，粒子位置等價(jià)于工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)位置。粒子的位置及運(yùn)動(dòng)速度計(jì)算公式為：

式（13）（14）中：ω為慣性權(quán)重，反映粒子原來的移動(dòng)速度對現(xiàn)在的影響；分別為第j次迭代時(shí)，粒子e的速度及位置；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，分別表示粒子在自身最好狀態(tài)和全局最好狀態(tài)下的學(xué)習(xí)能力；r1、r2為0～1 之間的隨機(jī)數(shù)；pbest、gbest分別為粒子e自身最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置。

3.2 算法的改進(jìn)

3.2.1 采用混沌方程調(diào)整r1和r2

因?yàn)榈湫突煦缦到y(tǒng)Logistic 方程產(chǎn)生的混沌序列具有特殊的穩(wěn)定性和遍歷性：在初始值不同的情況下可以規(guī)律地、不重復(fù)地選取[0，1]之間的數(shù)。所以用和替換公式（13）中的r1和r2，優(yōu)化r1和r2的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為：

式（15）（16）中：μ為混沌控制參數(shù)，當(dāng)μ=4，0≤≤1（k=1，2），且不取{0，0.25，0.5，0.75，1}時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的完全混沌狀態(tài)。

3.2.2 種群最優(yōu)位置的確定

種群最優(yōu)粒子gbest決定種群搜索方向。優(yōu)化后期gbest速度為0 時(shí)搜索停止，算法因此陷入局部最優(yōu)。為了避免上述情況發(fā)生，引入模擬退火機(jī)制，不但可以接受好的解成為gbest，在優(yōu)化后期還可以以概率cj來判斷是否接受差的解作為gbest，從而進(jìn)一步優(yōu)化粒子后期運(yùn)動(dòng)方向，幫助粒子跳出局部最優(yōu)。概率cj滿足公式（17）：

式（17）中：fit（gbest）為種群的最小適應(yīng)度；fit（pbest）為粒子p的最小適應(yīng)度；Tj為當(dāng)前模擬退火算法溫度。

3.2.3 初始溫度的設(shè)置

較高的初始溫度T0可以增加獲得全局最優(yōu)解的概率。按照公式（18）（19）設(shè)置T0及退火速度λ：

3.3 算法流程

CAHPSO 算法具體步驟如下。

步驟1：算法初始化，即c1=c2=2，最大迭代次數(shù)jmax=300，隨機(jī)初始化粒子位置，粒子初始速度為0，退火速度λ=0.95。

步驟2：計(jì)算粒子e適應(yīng)度，初始化每個(gè)粒子e自身最優(yōu)位置、對應(yīng)的適應(yīng)度fit以及種群最優(yōu)位置和對應(yīng)的適應(yīng)度fit（

步驟4：計(jì)算當(dāng)前迭代溫度Tj下的概率cj，若cj＞rand（0，1）則從所有個(gè)體最優(yōu)位置pbest選出適應(yīng)度最小的pbest代替種群最優(yōu)位置gbest；否則將保持原有的種群最優(yōu)位置gbest。

步驟5：更新各個(gè)粒子e速度和位置。

步驟6：計(jì)算各個(gè)粒子e適應(yīng)度，更新各粒子自身最優(yōu)位置pbest。

步驟7：進(jìn)行降溫，并判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到，則輸出全局最優(yōu)位置為列車區(qū)間運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)；否則跳到步驟4。

4 實(shí)例分析

選取廣州地鐵8 號線“中大—曉港”區(qū)間為例，驗(yàn)證模型與算法有效性。列車采用4 動(dòng)2 拖的A 型車，列車參數(shù)[8-9]如表2 所示，線路坡道、曲線數(shù)據(jù)[9]如表3 所示。

表2 A 型列車參數(shù)

表3 “中大—曉港”區(qū)間線路坡道及曲線

4.1 算例分析

分別用CAHPSO 算法和文獻(xiàn)[8]中的PSO 算法求解“中大—曉港”區(qū)間最小時(shí)間運(yùn)行方案（即以“最大牽引—巡航—最大制動(dòng)”操縱模式運(yùn)行時(shí)，列車通過區(qū)間所需時(shí)間最少）。PSO 算法參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[8]相同：粒子規(guī)模N=30，c1=c2=2，粒子飛行最大速度Vemax=150，ω=0.6，CAHPSO 算法參數(shù)按照3.2、3.3小節(jié)設(shè)置，自適應(yīng)罰函數(shù)因子調(diào)整系數(shù)β=14。列車在不同區(qū)間運(yùn)行速度曲線如圖1 所示，列車最高時(shí)速與區(qū)間實(shí)際運(yùn)行時(shí)間如表4 所示，算法迭代情況如圖2 所示。

圖1 列車運(yùn)行速度曲線圖

表4 不同算法求解區(qū)間最小運(yùn)行時(shí)間對比表

圖2 不同算法迭代情況對比圖

結(jié)合圖1 和表4 可知，由PSO 算法所得區(qū)間內(nèi)最高時(shí)速為78.7 km/h，未達(dá)到最高限速要求。同時(shí)，由PSO 算法所得區(qū)間通過時(shí)間比CAHPSO 算法分別慢2.3 s，未達(dá)最小運(yùn)時(shí)間要求。

由圖2 可知，CAHPSO 算法分別在第28 次和第100 次迭代時(shí)多次跳出局部最優(yōu)，全局最優(yōu)搜索能力更強(qiáng)。在4.2 小節(jié)中所得能耗結(jié)果均采用CAHPSO 算法求解優(yōu)化模型所得。

4.2 不同時(shí)段能耗分析

在軌道交通運(yùn)行平峰時(shí)期，會延長區(qū)間運(yùn)行時(shí)間。本文以區(qū)間最小運(yùn)行時(shí)間的1.1 倍為界限，限定時(shí)間低于此界限為高峰時(shí)期，高于此界限為平峰時(shí)期。傳統(tǒng)四段方案和節(jié)能方案的運(yùn)行時(shí)間及運(yùn)行能耗對比如表5 所示。在節(jié)能模式中，惰行速度占最高牽引速度的比例δ設(shè)為0.85。

表5 “中大—曉港”區(qū)間運(yùn)行時(shí)間及運(yùn)行能耗

在高峰時(shí)期，兩種運(yùn)行方案擁有相同的最小運(yùn)行時(shí)間，但節(jié)能模式可比傳統(tǒng)模式節(jié)省3.5%能耗。在平峰時(shí)期，節(jié)能模式即滿足區(qū)間限定時(shí)間要求，又比傳統(tǒng)模式節(jié)省3.9%以上能耗。

5 結(jié)論

首先，該研究結(jié)合區(qū)間線路平縱斷面等條件，以停車精度、限定運(yùn)行時(shí)間、牽引能耗為優(yōu)化目標(biāo)，建立基于自適應(yīng)罰函數(shù)的列車區(qū)間運(yùn)行優(yōu)化多質(zhì)點(diǎn)模型。其次，采用改進(jìn)的混沌退火混合粒子群CAHPSO算法求解模型。最后，提出一種能夠適應(yīng)多種坡型的節(jié)能運(yùn)行模式，并分析此模式在不同限定時(shí)間下的節(jié)能效果，得出以下結(jié)論：①經(jīng)過改進(jìn)后的CAHPSO 算法通過一定概率接受新值，與PSO 算法相比可以有效跳出局部最優(yōu)，全局最優(yōu)搜索能力更強(qiáng)；②筆者所提出的節(jié)能模式不僅可以充分利用區(qū)間的線路特點(diǎn)，而且可以滿足高峰期及平峰期的運(yùn)行時(shí)間要求。