在數(shù)學活動課中促進學生高階思維能力發(fā)展

[摘? 要] 文章從以下三個方面闡述在數(shù)學活動課中如何促進學生高階思維能力發(fā)展：把培養(yǎng)學生高階思維能力作為數(shù)學課堂教學的價值追求;創(chuàng)設合適的情境，喚醒學生的數(shù)學意識;精心設計問題，讓數(shù)學活動植入理性思維.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學活動課;高階思維能力

作者簡介：陳潁（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事初高中數(shù)學教法和學法的研究工作，曾獲廣州市優(yōu)秀教師稱號，廣東省首屆中小學青年教師教學能力大賽一等獎，廣州市第六屆初中數(shù)學十佳青年教師，廣州市中小學數(shù)學骨干教師.

高階思維是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力[1]. 數(shù)學是思維的體操，思維是數(shù)學的心臟，培養(yǎng)學生高階思維能力需要串聯(lián)的高階數(shù)學學習活動予以支撐，而數(shù)學活動課則是一個有效的載體. 本文以人教版數(shù)學七年級上冊第二章“整式的加減”中的數(shù)學活動為例，談談數(shù)學活動課中如何促進學生高階思維能力的發(fā)展.

教學實踐過程

1. 教學環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，初探規(guī)律

師：今天我們先玩一個“猜和”游戲，需要幾組同學配合完成. 同學A出題，同學B答題. 游戲規(guī)則是：如圖1所示，同學A框出某月的月歷中任意形式連續(xù)的三個數(shù)，求和后告訴同學B;同學B在3秒內(nèi)說出這三個日期.

（學生踴躍參與，學生A分別從橫、豎、斜三個不同的角度提問）

師：大家是如何得到這三個日期的？

生1：把它們的和除以3可以得到中間的日期.

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生1：月歷中三個連續(xù)的數(shù)的排列有規(guī)律，橫的差1，豎的差7，左斜差6，右斜差8，首尾兩個數(shù)與中間的數(shù)的差正好抵消了.

師：很好！我們怎么用數(shù)學的方法表示這種規(guī)律？以橫排差1的為例.

生2：可以設中間的數(shù)為a，前面一個數(shù)為a-1，后面一個數(shù)為a+1，三個數(shù)的和為3a，即中間數(shù)的3倍.

生3：也可以設第一個數(shù)為a，則中間的數(shù)為 a+1， 第三個數(shù)為a+2，三個數(shù)的和為3a+3=3（a+1），也是中間數(shù)的3倍.

生4：還可以設第三個數(shù)為a，則第一個數(shù)為 a-2， 中間的數(shù)為a-1，三個數(shù)的和為3a-3=3（a-1），也是中間數(shù)的3倍.

教師板書以上三種表示方式進行對比：

師：三種表示方式不同但都是正確的，大家覺得哪種方式更好？

生5：第一種！因為關(guān)系最簡潔明顯，計算也最簡便.

師：這個結(jié)論對任何一個月歷都成立嗎？為什么？

生6：都成立，因為字母a可以表示月歷中的任何一個數(shù).

師：是的，這就是用字母表示數(shù)并進行推理的好處，更具有一般性.

教學分析 高階思維的產(chǎn)生源于學生的求知欲，教師通過游戲創(chuàng)設情境，能激發(fā)學生的好奇心，引導學生觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，會用字母表示數(shù)來證明規(guī)律.

2. 教學環(huán)節(jié)2：合作交流，規(guī)律再探

師：我們發(fā)現(xiàn)了三個相鄰日期的規(guī)律，如圖2、圖3、圖4所示，如果方框變?yōu)槭中危?個數(shù)）、工字形（7個數(shù)）、“3×3”九宮格（9個數(shù)），方框中所有數(shù)的和是多少呢？怎樣運算簡便？

生7：十字形方框中所有數(shù)的和是正中心數(shù)的5倍，工字形方框中所有數(shù)的和是正中心數(shù)的7倍，“3×3”九宮格中所有數(shù)的和是正中心數(shù)的9倍.

師：你是怎么得到這個關(guān)系的？如果移動方框，這個結(jié)論是否依然成立？

生7：與前面的方法類似，設正中心數(shù)為 a，其他數(shù)全部可以用a表示出來，所有數(shù)的和也可以用a表示出來（如圖5、圖6、圖7所示，教師投影學生畫的圖），求和時常數(shù)項部分全部抵消了，只剩下含字母a的了，就可以得到十字形5個數(shù)之和是5a，工字形7個數(shù)之和是7a ，“3×3”九宮格9個數(shù)之和是9a.

師：不錯，你運用類比的方法發(fā)現(xiàn)了一般性結(jié)論.

師：接下來，我們繼續(xù)改變方框的形狀，如果方框變化為“2×2”正方形呢？（如圖8所示）

生8：對角線數(shù)之和相等， 即a+（a+8）=（a+1）+（a+7），如圖9所示.

生9：所有數(shù)之和為a+a+1+ a+7+a+8=4a+16=4（a+4），和為4的倍數(shù)，但是和并不是其中任何數(shù)的4倍.

生10：老師，我還發(fā)現(xiàn)（a+1）（a+7）-a（a+8）=7，也就是對角線兩個數(shù)乘積的差都等于7.

師：你們能從不同的角度去看問題，非常好！若再改變一下方框的形狀，如圖10所示，又會有哪些結(jié)論？

生11：還有對角線數(shù)之和相等，即a+（a+7）=（a+1）+（a+6），如圖11所示.

生12：對角線兩個數(shù)乘積的差都等于6， 即（a+1）（a+6）-a（a+7）=6.

生13：但是它們的和為4a+14， 不是4的倍數(shù).

師：確實！類比前面的思考，發(fā)現(xiàn)結(jié)論是不一樣的.

教學分析 方框形狀的變化，方框里的日期從奇數(shù)個變化到偶數(shù)個，體現(xiàn)了認知過程和認知方法的系統(tǒng)性與連貫性，以及用字母來推理的理性思維，是發(fā)展符號意識、抽象素養(yǎng)和數(shù)學建模的過程. 結(jié)論不是唯一的，能發(fā)散學生的思維，引導學生關(guān)注問題本身，關(guān)注問題提出和解決的過程，關(guān)注思維的方式方法，從而提升高階思維能力.

3. 教學環(huán)節(jié)3：發(fā)散思維，舉一反三

師：以月歷為背景，請你設計一個與之前形狀不同的陰影方框，嘗試發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律. （圖12、圖13、圖14、圖15是部分學生給出的設計和結(jié)論）

師：大家給出了各種各樣的設計，我們來對比一下，思考：為什么有的設計的結(jié)論很簡潔，數(shù)的關(guān)系也很直觀，而有的設計的結(jié)論并不是那么簡潔和直觀？為什么有些規(guī)律是延續(xù)的，有些規(guī)律不是延續(xù)的？這與什么有關(guān)呢？

生14：與設計的方框的對稱性有關(guān).

生15：具有中心對稱的方框中所有數(shù)的和等于中心數(shù)乘數(shù)的個數(shù)，并且只有奇數(shù)個才成立.

師：不錯，在中心對稱的前提下，我們體會了背景變化下規(guī)律的不變性.

教學分析 條件和結(jié)論雙開放性探究，能使學生發(fā)散思維，有助于學生創(chuàng)新思維的發(fā)展. 此環(huán)節(jié)給了學生一個足夠的思維空間，讓學生在自主參與、動手實踐、展示設計、表達交流中生長思維. 有些學生設計的方框中的規(guī)律并不明了，教師應引導學生進一步思考其內(nèi)在聯(lián)系，即結(jié)論的簡潔性與方框的對稱性的關(guān)系.

4. 教學環(huán)節(jié)4：經(jīng)驗內(nèi)化，拓展遷移

問題：所示的數(shù)陣全部由偶數(shù)排成.

（1）如圖16所示，用一個平行四邊形任意框出9個數(shù)， 這9個數(shù)之和能等于1017嗎？1980呢？2016呢？若能，請寫出這9個數(shù)中最小的數(shù);若不能，請說明理由.

生16：設中心數(shù)為a，則平行四邊形框內(nèi)的數(shù)都可以用a表示，如圖17所示. 9個數(shù)之和為9a，令9a=1017，則a=113，因為a是偶數(shù)，所以9個數(shù)之和不可能等于1017;同理，令9a=1980，則a=220，所以最小的數(shù)是206;令9a=2016，則a=224，所以最小的數(shù)是210.

師：轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決，很好！大家有沒有不同的想法？這個過程有沒有問題？

（基于前面解決問題的經(jīng)驗，大部分學生都同意生16的想法）

師（追問）：題目問某數(shù)是否存在，是一個存在性問題，大家試一試在數(shù)陣中找找數(shù)的位置.

（學生又投入到了思考當中，數(shù)分鐘后）

生17：老師，我發(fā)現(xiàn)a=220是數(shù)陣中的第110個偶數(shù)，數(shù)陣每一行有7個數(shù)，110÷7=15……5，因此220在數(shù)陣中是第16行從左到右的第5個數(shù)，是存在的;但是a=224是數(shù)陣中的第112個偶數(shù)，在數(shù)陣中是第16行從左到右的最后一個數(shù)，這樣的平行四邊形框是不存在的，所以這9個數(shù)之和不可能等于2016.

（教師板書過程，學生通過仔細聆聽有所頓悟）

師：嗯，這個補充使整個解答過程更完美，平時學習中我們既要捕捉關(guān)鍵的信息，還要注意嚴謹性.

（2）如圖18所示，用“4×4”方框任意框出16個數(shù)，它們的和等于1120是否可能？若能，請寫出這16個數(shù)中最小的一個數(shù);若不能，請說出理由.

（由于時間原因，第（2）個小問留給學生課后思考）

教學分析 這類問題可以分解為多個小問題：用字母表示數(shù)分析規(guī)律，利用一元一次方程解決存在性問題. 此環(huán)節(jié)中，學生不僅要類比遷移探究方法和過程，而且要通過“是否存在這樣的數(shù)”把解方程的結(jié)果回引到數(shù)陣中進行檢驗. 通過問題解決，深化建模思想，學生能做到融會貫通這種高階思維發(fā)展的表征.

5. 梳理回顧，提升認識

月歷→數(shù)→字母表示數(shù)→代數(shù)式運算探索、證明規(guī)律→研究一般數(shù)陣.

數(shù)學知識：整式的加減，一元一次方程.

數(shù)學思想：從特殊到一般，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)學建模，方程思想.

教學分析 引導學生提煉知識和方法，體會數(shù)學思想，將感性認識提升為理性認識.

數(shù)學活動課中促進學生高階思維能力發(fā)展的教學思考

1. 把培養(yǎng)學生高階思維能力作為數(shù)學課堂教學的價值追求

作為教師，先要明確日常課堂教學是培養(yǎng)學生高階思維的主陣地，把培養(yǎng)學生高階思維能力作為教學的價值追求. 所以備課時，教師要在理解教材的前提下對教材內(nèi)容進行整合和深化，要設計層層遞進的環(huán)節(jié)引領(lǐng)學生深入思考，不僅讓學生掌握通性通法，還要看到問題的本質(zhì). 本節(jié)活動課的素材是探究月歷中“3×3”正方形方塊和“2×2”正方形方塊中數(shù)字求和的規(guī)律. 這一數(shù)學活動素材的意義何在？即在活動中積累解決問題的經(jīng)驗和方法以利于學生思維的生長. 顯然，僅僅探究月歷中數(shù)與數(shù)的關(guān)系是不夠的，所以教師在設計中，一方面利用方框形狀的變化豐富研究的角度，另一方面以一般數(shù)陣中新的情境問題為載體，來檢驗學生是否具備遷移運用、融會貫通的能力，因為深層次思考也是高階思維能力.

2. 創(chuàng)設合適的情境，喚醒學生的數(shù)學意識

數(shù)學活動課的意義在于通過積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，喚醒學生的數(shù)學意識，即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題. 教師創(chuàng)設或設計融入問題的情境，不僅能激發(fā)學生的興趣，還能喚醒學生的符號意識、建模意識、運算意識、應用意識等數(shù)學意識，為學生高階思維的培養(yǎng)做好鋪墊.

3. 精心設計問題，讓數(shù)學活動植入理性思維

問題是思維活動的原動力和牽引力[2]，學生的思維在問題的解決中能得以發(fā)展. 實踐證明，好問題可將理性思維植入數(shù)學活動. 教師通過設計情境性問題、層次性問題、發(fā)散性問題、思辨性問題，讓學生在觀察、分析、驗證、推理等一系列思維活動中表達、領(lǐng)悟、反思、內(nèi)化和創(chuàng)造. 而教師在關(guān)鍵點進行有效追問，是思維品質(zhì)進階的有力杠桿，比如追問“題目問某數(shù)是否存在，是一個存在性問題，大家試一試在數(shù)陣中找找數(shù)的位置”有利于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，追問“為什么有些規(guī)律是延續(xù)的，有些規(guī)律不是延續(xù)的？這與什么有關(guān)呢？”引導學生對問題的特點、差異和本質(zhì)進行思考，有利于培養(yǎng)學生思維的批判性和深刻性，提高學生學習的自主性.

數(shù)學家波利亞說過，“數(shù)學教育主要目的之一是發(fā)展學生解決問題的能力，教會學生思考. ”教材每一章節(jié)后都有數(shù)學活動，但因為課時，常常被教師忽略. 在常規(guī)教學中，數(shù)學活動課雖不是主體，但是筆者認為教師應利用好數(shù)學活動課這個平臺，讓學生在真實、開放、有趣、綜合等情境中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，從而促進學生發(fā)展高階思維能力.

參考文獻：

[1]林勤. 思維的躍遷：高階思維能力的培養(yǎng)及教學方式[M]. 上海：華東師范大學出版社，2016.

[2]夏培培. 以問題為“驅(qū)動”發(fā)展學生數(shù)學高階思維能力——以“幾何最值問題”的專題探究為例[J]. 中學數(shù)學，2019（06）：44-46.