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    基于西蒙數(shù)學(xué)理論的初中幾何教學(xué)實(shí)踐與反思

    2023-04-14 07:29:35吳小敏

    [摘? 要] “西蒙數(shù)學(xué)”是在“人類自適應(yīng)學(xué)習(xí)”的理論基礎(chǔ)上,將人工智能和現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)代教學(xué)理論. 應(yīng)用西蒙數(shù)學(xué)理論,教師設(shè)計(jì)并執(zhí)教“平行拐角求角度”專題課,應(yīng)采用小步走、搭建腳手架的方法,設(shè)置層次分明的題組,讓學(xué)生主動探究與建構(gòu)知識,助其掌握此類題型的解法,同時(shí)培養(yǎng)其知識的遷移能力和運(yùn)用能力.

    [關(guān)鍵詞] 平行拐角問題;西蒙數(shù)學(xué)理論;自適應(yīng)學(xué)習(xí);產(chǎn)生式;題組教學(xué)

    基金項(xiàng)目:廣東省教育規(guī)劃課題“基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)理論提升初中生幾何推理能力的研究”(2021YQJK050).

    作者簡介:吳小敏(1982—),教育碩士,中學(xué)一級教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作,曾獲廣東省初中青年教師優(yōu)秀課評比一等獎(jiǎng).

    前言

    無論是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng),還是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的初中數(shù)學(xué)十大核心概念,“推理素養(yǎng)”或“推理能力”皆列其中,可見推理能力對學(xué)生發(fā)展的重要性不言而喻. 在初中數(shù)學(xué)中,幾何部分的教學(xué)對發(fā)展學(xué)生的推理能力一直發(fā)揮著至關(guān)重要的作用. 另外,在初中數(shù)學(xué)的四大模塊(數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率和綜合實(shí)踐活動)中,幾何難教難學(xué)幾乎是師生的共識. 因此,高校和教研部門的專家以及諸多一線教師,都在做優(yōu)化幾何教學(xué)的理論探索與實(shí)踐.

    西蒙數(shù)學(xué)理論簡介及其在幾何教學(xué)的應(yīng)用

    傳統(tǒng)教學(xué)中的“講授式”是一種單向教學(xué)方式,在師生互動欠缺的情況下,學(xué)生的興趣和注意力不易有效喚起,知識掌握不牢固,對于難度大的學(xué)習(xí)內(nèi)容更難以攻破其重難點(diǎn). 心理學(xué)界認(rèn)為,解決學(xué)習(xí)問題不能依賴學(xué)科知識,還需關(guān)注認(rèn)知心理. 按照安德森等人的研究,將知識分類[1],很多幾何性質(zhì)、定理、推論都是陳述性知識或程序性知識,需要較復(fù)雜的認(rèn)知策略才可解決,解決問題的過程一般以產(chǎn)生式(if...then...)的動態(tài)形式來表征. 當(dāng)學(xué)生的腦中形成了足夠多的產(chǎn)生式,便能出現(xiàn)較多的解題技能與認(rèn)知策略,進(jìn)而快速有效地提取信息解決問題. 關(guān)于產(chǎn)生式研究,國內(nèi)外影響力較大的,是著名認(rèn)知心理學(xué)家赫伯特·西蒙(H·A·Simon)與中國科學(xué)院心理學(xué)家朱新明聯(lián)合研究的成果——“自適應(yīng)產(chǎn)生式系統(tǒng)”. 近二十年來,華南師范大學(xué)謝明初教授在此基礎(chǔ)上借鑒建構(gòu)主義和情境認(rèn)知理論,提出了一套高效教學(xué)方法,并據(jù)此編寫教材,開展實(shí)證研究,形成的理論用“西蒙”冠名以示紀(jì)念,謂之“西蒙數(shù)學(xué)”[2][3][4][5][6][7].

    西蒙數(shù)學(xué)將人工智能和現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)[8],主張學(xué)生主動學(xué)習(xí)并進(jìn)行知識建構(gòu),教師不是單向給學(xué)生輸入知識,而是通過為學(xué)生提供精心設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的題組,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)主體,充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,依據(jù)已有知識和經(jīng)驗(yàn)來解決問題. 學(xué)生則通過問題體會知識的來龍去脈,用“做中學(xué)”“例中學(xué)”兩種方式,對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探索與建構(gòu),從而歸納數(shù)學(xué)原理、性質(zhì)和方法,并以此解決問題.

    在初中幾何學(xué)習(xí)的入門階段,平行拐角問題是一個(gè)難點(diǎn),也是近些年全國各地常見的考點(diǎn),且常以較復(fù)雜的形式出現(xiàn),通常是兩個(gè)甚至多個(gè)平行拐角基本圖形的疊加. 圖中出現(xiàn)線多角多時(shí),部分學(xué)生會被過多的信息干擾,他們往往不易從中識別、抽取出基本模型,難以借助平行線與同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角三類角的關(guān)系去解決問題. 基于上述情況,本文嘗試運(yùn)用西蒙數(shù)學(xué)理論,以“平行拐角求角度”為例,探討初中幾何教學(xué)設(shè)計(jì)的重構(gòu).

    教學(xué)案例分析

    1. 教材內(nèi)容、學(xué)情分析

    繼“相交線與平行線”后,學(xué)生學(xué)習(xí)“平行拐角求角度”專題課. 學(xué)生已掌握此類題型的常用解法,具備用規(guī)范的幾何語言書寫過程的能力. 為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉此類問題的解答方法,并能系統(tǒng)地掌握六種基本類型的結(jié)論,教師課前給學(xué)生布置了一道能概括平行拐角的所有基本類型的題目. 對于大多數(shù)學(xué)生而言,這是難以攻破的題目類型. 這需要學(xué)生熟悉不同的圖形變化情況,且具備將復(fù)雜圖形拆分成簡單的基本圖形的能力.

    2. 教學(xué)目標(biāo)

    (1)進(jìn)一步熟悉平行拐角的六種基本圖形;

    (2)以“問題鏈”展開的題組學(xué)習(xí)中,將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形求角度,并能將解題方法遷移應(yīng)用于其他不同場景的變式題型中;

    (3)將復(fù)雜的圖形拆分成簡單的基本圖形的過程中,體會“化歸”“從特殊到一般”等思想方法.

    3. 教學(xué)重難點(diǎn)

    熟悉平行拐角問題的六種基本圖形;把復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形來解決問題.

    教學(xué)過程設(shè)計(jì)

    1. 復(fù)習(xí)回顧

    從布置的作業(yè)題入手,讓學(xué)生展示自己的作業(yè)過程,說出六種基本圖形中三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系并分析證明思路.

    如圖1所示,直線AC截直線AB,CD,AB∥CD,點(diǎn)E是不在直線AB,CD,AC上的任一點(diǎn),且∠BAE=α,∠DCE=β,求∠AEC的度數(shù)(用α,β的式子表示).

    設(shè)計(jì)意圖? (1)圖1中的直線AB,CD,AC將整個(gè)平面分為六個(gè)區(qū)域,動點(diǎn)E就有六種位置類型,包含平面中的六種基本拐角類型. 此處涉及分類思想和從抽象到具體的思維方法;(2)讓學(xué)生回憶舊知:含“拐角”的平行問題,解題思路是在“拐點(diǎn)處”作平行線,讓學(xué)生經(jīng)過角的轉(zhuǎn)化得出三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系,會用到轉(zhuǎn)化思想;(3)通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步理解和熟悉這六種基本類型的結(jié)論.

    小結(jié)? 六個(gè)結(jié)論中,有五個(gè)結(jié)論相同:大拐角=兩個(gè)小拐角之和;有一個(gè)特殊結(jié)論:三個(gè)拐角之和=360°.

    2. 知識建構(gòu)

    如圖3所示,若FG平分∠CFP,MH平分∠AMG,且∠G+1/2∠P=60°,求∠AMG.

    此題圖形復(fù)雜,且所有角都未知具體度數(shù),如果直接拋出此題,基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可能會束手無策. 由于不同層次的學(xué)生認(rèn)知水平和接受能力有所不同,所以教師根據(jù)認(rèn)知規(guī)律搭建“腳手架”,設(shè)置梯度合理的“問題串”,可使學(xué)生易于接受,樂于挑戰(zhàn),在“做中學(xué)”里拾級而上. 于是,教師編排了以下題組:

    【題組1】

    第一步,復(fù)習(xí)題目中包含的平行拐角基本模型:

    題1:如圖4所示,已知AB∥CD,∠BAP=95°-2α,∠APC=90°-α,∠PCD=55°-α,求α.

    第二步,復(fù)習(xí)題目中包含的另一平行拐角基本模型,與題1是并列式問題:

    題2:如圖5所示,已知AB∥CD,且∠GEA=95°-2α,∠GFC=90°-α,∠G=55°-α,求α.

    第三步,把以上兩種平行拐角基本模型放在同一圖形中,即將題1與題2組合成題3:

    題3:如圖6所示,已知AB∥CD,且∠GMA=α,∠GFC=∠GFP=β,(1)用α,β的式子表示∠G與∠P;(2)若∠G+1/2∠P=60°,求∠GMA.

    第四步,經(jīng)歷前面三道題的解決過程,當(dāng)遞進(jìn)式的題4出現(xiàn)時(shí),學(xué)生便能讀懂題4的圖形. 同時(shí),學(xué)生從題3能夠受到啟發(fā),可分別用兩個(gè)未知數(shù)來表示與角平分線相關(guān)的角. 例如,設(shè)∠1=∠2=α,∠3=∠4=β,從而用含α,β的式子分別表示出∠G,∠P,再由∠G和∠P的數(shù)量關(guān)系列出方程求解.

    題4:如圖7所示,已知FG是∠CFP的平分線,MH是∠AMG的平分線,且∠G+1/2∠P=60°,求∠AMG.

    小結(jié)? 熟悉平行拐角問題的六種基本圖形是關(guān)鍵,同時(shí)要將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形.

    設(shè)計(jì)意圖? 教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成六種簡單的平行拐角基本圖形來解決問題,因此教師可根據(jù)問題中用到的平行拐角基本圖形,以題組形式有針對性地、層層遞進(jìn)地呈現(xiàn)出來,讓學(xué)生通過一個(gè)個(gè)問題對知識點(diǎn)進(jìn)行逐層分解. 學(xué)生解決完前面幾個(gè)問題后,把方法遷移到題4中,問題迎刃而解.

    西蒙數(shù)學(xué)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)目標(biāo)不能停留在對知識的理解上,而要培養(yǎng)和提升學(xué)生對知識的遷移能力和運(yùn)用能力. 所以西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法提倡教師采用小步走,從易到難、從具體到抽象,以逐層遞進(jìn)的方式精心編排題組,讓學(xué)生“做中學(xué)”,并在教師的引導(dǎo)下對題組的解題策略進(jìn)行小結(jié). 同時(shí),教師要為學(xué)生編排出豐富的變式題組,促其“例中學(xué)”,類比例題來解決新的問題,并引導(dǎo)學(xué)生從題目的變化中把握解題思路中的“不變”,讓學(xué)生靈活地解決數(shù)學(xué)問題,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識遷移,從而達(dá)到融會貫通的學(xué)習(xí)效果.

    經(jīng)歷題組1形成方法的過程,學(xué)生通過“例中學(xué)”,進(jìn)一步分析這一類題型的解答思路,總結(jié)解題策略. 于是,教師又設(shè)計(jì)了以下題組:

    【題組2】

    第一步,先呈現(xiàn)題4包含的平行拐角基本模型:

    題1:如圖8所示,已知AB∥CD,且∠ABE=2α,∠CDE=2β,求∠E(用α,β的式子表示).

    第二步,呈現(xiàn)題4包含的另一平行拐角基本模型:

    題2:如圖9所示,已知AB∥CD,且∠ABM=α,∠CDN=β,求∠F(用α,β的式子表示).

    第三步,把以上兩種平行拐角基本模型放在同一圖形中,并加入雙角平分線,由前面兩題的啟發(fā),分別設(shè)∠1=∠2=α,∠3=∠4=β,從而用含α,β的式子分別表示出∠F,∠E,然后求解問題.

    題3:如圖10所示,AB∥CD,BM平分∠ABE,DN平分∠CDE,直線BM與DN相交于點(diǎn)F,求∠F ∶∠E的值.

    第四步,依照“從簡單到復(fù)雜,從具體到抽象”的順序編排題組,這也呈現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)的常用方法:從特殊到一般. 學(xué)生可以遷移前面解決問題的知識與方法來解決題4.

    題4:如圖10所示,若∠ABM=1/n·∠MBE,∠CDN=1/n∠NDE,則=∠F/∠E______.(用含n的式子表示)

    小結(jié)? 遇雙角平分線、比例式可設(shè)未知數(shù),讓學(xué)生將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成熟悉的平行拐角基本圖形,將題組1的解答方法遷移應(yīng)用于其他變式題型中.

    設(shè)計(jì)意圖? 教學(xué)目標(biāo)依然圍繞學(xué)生將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成六種簡單的平行拐角基本圖形來解決問題. 若教師直接給出題4,會讓許多學(xué)生望而生畏. 所以教師依然遵循西蒙數(shù)學(xué)理論,由簡入難、從具體到抽象設(shè)計(jì)題組2. 這樣不僅能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解知識,還能培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力和運(yùn)用能力.

    3. 課后作業(yè)

    教師遵循“小步臺階,從易到難”編排作業(yè),繼續(xù)設(shè)計(jì)不同的數(shù)學(xué)情境,以相應(yīng)的變式進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練,讓學(xué)生可以靈活遷移和運(yùn)用前面形成的知識、策略去解決問題,從而達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果.

    【題組3】

    第一步,復(fù)習(xí)題目中包含的平行拐角基本模型:

    題1:如圖11所示,已知AB∥CD,∠K=60°,∠KHC=nα,求∠AGK(用含n,α的式子表示).

    第二步,繼續(xù)復(fù)習(xí)題目中的同一平行拐角基本模型,變換已知條件中的兩角,求第三個(gè)角. 題2多加了一個(gè)未知數(shù),難度遞增.

    題2:如圖12所示,已知AB∥CD,且∠AGP=60°-nα+α,∠PHC=nα.求∠GPH(用含n,α的式子表示).

    第三步,把以上兩種平行拐角基本模型結(jié)合在一起. 所求式子涉及兩個(gè)角(∠AGM和∠GPH),根據(jù)掌握的方法,設(shè)未知數(shù)并用未知數(shù)分別表示出兩個(gè)角,再依據(jù)定值的含義,求出n的值.

    題3:如圖13所示,AB∥CD,點(diǎn)G在AB上,點(diǎn)H在CD上,點(diǎn)K在AB,CD之間且在直線GH的左側(cè). 已知∠GKH=60°,點(diǎn)P在線段KH上(不與K,H重合),連接PG并延長至M,∠KHC=n∠KGP,要使得∠AGM/∠GPH為定值,求n.

    小結(jié)? (1)遇倍數(shù)關(guān)系式時(shí),可設(shè)未知數(shù);(2)正確理解定值的內(nèi)涵;(3)進(jìn)一步內(nèi)化題組1、題組2的解答方法,并靈活地應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)情境,以達(dá)到融會貫通的學(xué)習(xí)效果.

    教學(xué)反思

    1. 立足認(rèn)知心理,邏輯與認(rèn)知雙維進(jìn)階

    借助西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法設(shè)計(jì)教學(xué)方案,其優(yōu)勢是立足認(rèn)知心理學(xué),從邏輯和認(rèn)知的維度出發(fā),助力學(xué)習(xí)者建構(gòu)知識.

    建構(gòu)主義理論認(rèn)為:學(xué)習(xí)不是知識由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞,不是他人間接經(jīng)驗(yàn)的傳授,而是學(xué)習(xí)者主動地、自發(fā)地形成自己知識經(jīng)驗(yàn)的過程,即“經(jīng)過新舊知識之間互相作用來擴(kuò)充、豐富和改造已有的知識經(jīng)驗(yàn)”[9]. 學(xué)習(xí)者是以自身的經(jīng)驗(yàn)主動地建構(gòu)和形成新的知識和經(jīng)驗(yàn)的,不是被動地接受;且所進(jìn)行的有意義的建構(gòu)并不是毫無根據(jù)的,而是在具體的情境中進(jìn)行的. 獲得新的知識經(jīng)驗(yàn)與已有的知識經(jīng)驗(yàn)相關(guān),所經(jīng)歷的問題通常是具體的情境問題. 所以,教師可以根據(jù)不同的課型、不同的教學(xué)目標(biāo)、不同的教學(xué)對象,由易到難、層次分明地設(shè)置題組,使學(xué)生處于易于解決的具體問題中,例如本教學(xué)設(shè)計(jì)中的各題組的編排,就是讓學(xué)生聯(lián)系舊知,建構(gòu)新的知識經(jīng)驗(yàn),啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思維,提高課堂效率.

    2. 搭建認(rèn)知支架,“問題鏈”明確思維指向

    由維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論,題組中各小題的設(shè)計(jì)可以看作是教師為學(xué)生從“現(xiàn)有水平”到“可能達(dá)到的發(fā)展水平”搭建的“支架”. 問題間存在一定的層次性與梯度性,在解決這些問題中,不斷攻破重難點(diǎn),使教學(xué)目標(biāo)得以順利完成. 奧蘇貝爾認(rèn)為影響學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)效果最主要的因素是“學(xué)習(xí)者已掌握的知識和即將掌握的知識之間建立聯(lián)系的情況,當(dāng)學(xué)習(xí)者將新知識內(nèi)化成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)后,便促進(jìn)了有意義學(xué)習(xí)的完成”. 西蒙數(shù)學(xué)理論重視學(xué)生個(gè)體的心理、認(rèn)知等因素對學(xué)習(xí)過程的影響. 教師遵循“小步走”“例中學(xué)” 與“做中學(xué)”的核心思想,精心設(shè)置例題及梯度性問題,助力學(xué)生自我學(xué)習(xí)與知識建構(gòu),促其內(nèi)化知識、形成技能實(shí)現(xiàn)知識的有效遷移. 這與建構(gòu)主義理論、最近發(fā)展區(qū)理論和奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)等理論是一致的.

    西蒙數(shù)學(xué)理論提倡的“題組問題鏈”教學(xué)是一種高效教學(xué)方法,能幫助學(xué)生減輕負(fù)擔(dān),點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生學(xué)得主動而且快樂,教師主要的任務(wù)是引導(dǎo)、組織. 這與“重視學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性”“關(guān)注學(xué)生知識的形成過程”等新課標(biāo)教育理念是一致的. “平行拐角求角度”這節(jié)課的內(nèi)容,難度較大,若是直接呈現(xiàn)每個(gè)題組的最后一題,很多學(xué)生可能會出現(xiàn)畏難情緒,學(xué)習(xí)的主動性將受到影響. 若這時(shí)教師直接“滿堂灌”地講授,則會出現(xiàn)另一種局面:學(xué)生依然無法真正掌握解題方法,更難以內(nèi)化成自己的知識結(jié)構(gòu),無法實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí).

    3. 精心編排問題,拾級助推突破重難點(diǎn)

    基于西蒙數(shù)學(xué)理論的教學(xué)法提倡教師采用“小步走”,由易到難、從具體到抽象逐層遞進(jìn)地精心編排題組,把具有一定難度的問題分解成幾個(gè)具有關(guān)聯(lián)性的子問題,由淺入深地促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)步,從而完成教學(xué)目標(biāo). 因此題組中的問題編排是攻破重難點(diǎn)的關(guān)鍵. 這就要求教師在備課時(shí)深入研究教材和相關(guān)資料,了解學(xué)生現(xiàn)有的知識儲備和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)的需要,預(yù)設(shè)一系列環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)、不斷深入的“問題鏈”,促進(jìn)學(xué)生拾級而上.

    筆者在“平行拐角求角度”這節(jié)課中,講評作業(yè)題目時(shí)發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對六個(gè)平行拐角基本圖形的結(jié)論不熟悉,導(dǎo)致他們講解題目解法時(shí)耗時(shí)過多,題組1的前三個(gè)問題的解答超出了預(yù)計(jì)時(shí)間,所以課堂上沒有足夠的時(shí)間讓學(xué)生完成題組2. 筆者分析,學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平,以及他們對該問題的掌握程度不夠,是一個(gè)重要的原因. 若重新調(diào)整,會在此內(nèi)容施教前,增加一節(jié)針對這六個(gè)平行拐角基本圖形的變式題訓(xùn)練課,讓本教學(xué)設(shè)計(jì)能夠得到更好的實(shí)施背景,從而高效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

    近年來,國內(nèi)外掀起了數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究的熱潮,主要涉及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知因素,對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)效的提升大有裨益. 因此,教師要踐行西蒙數(shù)學(xué)等理論,從認(rèn)知心理的角度設(shè)計(jì)教學(xué)方案,在教學(xué)過程中不斷反思與實(shí)踐,探求更多的有效的方法,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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