區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型下的歐式期權(quán)定價(jià)

摘 要 文章采用隱式差分法研究了區(qū)域轉(zhuǎn)換下的歐式股票期權(quán)定價(jià)問(wèn)題. 假設(shè)兩個(gè)狀態(tài)分別服從常彈性方差模型，運(yùn)用隱式差分法解出偏微分方程的數(shù)值解，理論證明了數(shù)值格式的穩(wěn)定性，數(shù)值結(jié)果證明了該方法的有效性和收斂性.

關(guān)鍵詞 區(qū)域轉(zhuǎn)換；CEV；偏微分方程；歐式期權(quán)

中圖分類號(hào) O29；F224.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

0 引 言

常彈性方差（CEV）模型最初由Cox和Ross[1]提出的一種標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的隨機(jī)波動(dòng)率模型. 在CEV模型提出之后，國(guó)內(nèi)學(xué)者根據(jù)CEV模型在期權(quán)定價(jià)方面進(jìn)行了研究，例如：障礙期權(quán)[2]、亞式期權(quán)[3]、脆弱期權(quán)[4]. 王愛(ài)銀和于文明[5]在亞式期權(quán)中引入CEV模型和跳擴(kuò)散模型，為了提高期權(quán)定價(jià)的精度，應(yīng)用方差縮減技術(shù)后的蒙特卡洛模擬進(jìn)行定價(jià). 近年來(lái)，區(qū)域轉(zhuǎn)換下的期權(quán)定價(jià)模型越來(lái)越受關(guān)注，文獻(xiàn)[6-8]均考慮了在區(qū)域轉(zhuǎn)換下，股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情況. 其中王寶平[7]將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率都做出了帶有轉(zhuǎn)換機(jī)制的假設(shè)，且給出了兩狀態(tài)和多狀態(tài)的數(shù)值結(jié)果. IdinNoorani等[9]研究了具有兩狀態(tài)馬爾科夫鏈的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型，并對(duì)亞式期權(quán)的定價(jià)，提出了一種基于K標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量的對(duì)偶變量方法. 結(jié)果表明，隨著K的增加，K-對(duì)偶變量估計(jì)可以較好的降低亞式期權(quán)定價(jià)的誤差. Elliott等[10]討論了區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型的歐式期權(quán)和美式期權(quán)的估值. 區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型是對(duì)CEV模型的推廣，采用連續(xù)時(shí)間內(nèi)有限狀態(tài)的馬爾科夫鏈調(diào)制的相應(yīng)市場(chǎng)參數(shù)代替恒定的市場(chǎng)參數(shù).

本文擬在已有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)受區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型控制時(shí)，歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題. 對(duì)期權(quán)定價(jià)的偏微分方程組，采用隱式差分法進(jìn)行離散，并證明了該數(shù)值格式是穩(wěn)定的.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮一個(gè)歐式期權(quán)，股票的初始價(jià)格為S0＝55美元，執(zhí)行價(jià)格K＝58美元，期權(quán)的有效期為T＝1年，區(qū)域1的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r1＝0.07，波動(dòng)率為σ1＝1.65，區(qū)域2的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r2＝0.02，波動(dòng)率為σ2＝2.40，q12＝0.2，q21＝0.6. 單個(gè)CEV模型的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r3＝0.045，波動(dòng)率為σ3＝1.65. 假設(shè)股票的最高價(jià)格為美元Smax＝100. 圖1和圖2為彈性因子α分別取0.5，0.75時(shí)看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的模擬結(jié)果.

從圖1和圖2中觀察到，隨著彈性因子α的增加，區(qū)域1和區(qū)域2的股票期權(quán)價(jià)格間的差距增加了. 看跌期權(quán)中區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價(jià)格隨著股票價(jià)格的增加而降低. 彈性因子α＝0.75時(shí)，區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價(jià)格比彈性因子α＝0.5時(shí)的價(jià)格高，看漲期權(quán)中區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價(jià)格隨著股票價(jià)格的增加而增加，彈性因子α＝0.75時(shí)，區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價(jià)格比彈性因子α＝0.5時(shí)的價(jià)格高. 不管是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，彈性因子α＝0.5時(shí)，單個(gè)CEV模型的期權(quán)價(jià)格近似區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價(jià)格的平均值，隨著彈性因子的增大，單個(gè)CEV模型的期權(quán)價(jià)格更接近于區(qū)域1中的期權(quán)價(jià)格.

圖3給出了區(qū)域轉(zhuǎn)換下歐式看跌期權(quán)價(jià)格的三維圖，從中觀察到看跌期權(quán)價(jià)格隨著股票價(jià)格的升高而降低，隨著時(shí)間的增加而增加，且兩區(qū)域之間的期權(quán)價(jià)格相差較小.

下面測(cè)試每個(gè)區(qū)域的收斂性，收斂比率Rk（k＝1，2）定義為

其中Uz，Uz＋1，Uz＋2是期權(quán)價(jià)格.

以區(qū)域轉(zhuǎn)換下CEV模型的看跌期權(quán)為例，收斂結(jié)果和時(shí)間步長(zhǎng)大小如表1所示，從表1的結(jié)果中可以看出每個(gè)區(qū)域都是收斂的.

下面計(jì)算每個(gè)區(qū)域的期權(quán)價(jià)格誤差，表達(dá)式如下：

其中Uh為在網(wǎng)格點(diǎn)M*N處的期權(quán)價(jià)格，h＝1，2，3，4，5.

以區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型下的看跌期權(quán)為例，圖4顯示了區(qū)域1和區(qū)域2中的期權(quán)價(jià)格誤差值隨著網(wǎng)格的細(xì)化而減小，因此也證明了每個(gè)區(qū)域是收斂的.

4 結(jié) 論

本文主要討論了區(qū)域轉(zhuǎn)換下CEV模型的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，采用隱式差分法求解區(qū)域轉(zhuǎn)換下的偏微分方程，得到了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格，并證明了該格式的穩(wěn)定性、有效性和收斂性. 在未來(lái)的研究中可以討論多種市場(chǎng)狀態(tài)的情形.

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European Option Pricing withRegime-Switching CEV Models

WANG Funing， LI Peng

（School of Mathematics and Statistics， North China University of Water Resources andElectric Power， Zhengzhou 450046， Henan， China）

Abstract" In this paper， an implicit difference scheme is developed to price European stock options with Constant Elasticity of Variance （CEV） models under regime-switching settings. Assuming that stock price follows the CEV model with two states， the implicit finite difference method is utilized to solve the corresponding partial differential equations. The stability of the numerical scheme is proved theoretically， and the effectiveness and convergence of the method are verified by numerical results.

Keywords" regime-switching; CEV; partial differential equation; European options

收稿日期：2022 － 05 － 11

作者簡(jiǎn)介：王福寧（1994—），女，漢族，河南周口人，碩士研究生，研究方向：金融數(shù)學(xué).

Email：1842709879@qq.com.