基于多目標非線性規(guī)劃的公平分級供需模型

摘 要 本文為對2022年美國大學生數(shù)學建模競賽B題的后續(xù)研究. 首先，為確定模型更新時間，我們利用馬爾科夫鏈模型分析歷史氣候數(shù)據(jù)，得到降雨的概率. 再通過蒙特卡洛模擬仿真一個月內(nèi)的天氣情況，匯總分析，得到連續(xù)t天干旱的概率最大，以此作為模型的更新時間. 其次，為簡化計算，先在一年的長度上構建水資源的公平分級供需模型，查閱資料得到水庫水位與容量的函數(shù)關系，以此構建供給函數(shù)；設計公平-效益系數(shù)、價格系數(shù)、成本系數(shù)、滿意度來確定需求函數(shù). 接著，構建多目標規(guī)劃方程，利用NSGA2遺傳算法求解，得經(jīng)濟效益可達287.01億美元. 對于一年的供給量，鮑威爾湖需要10個月可以滿足需求，米德湖需要12個月，最后剩余20億立方米左右的水流入加利福尼亞灣. 最后，當水資源緊缺，無法滿足水電需求時，通過控制供給函數(shù)的范圍，實現(xiàn)節(jié)流. 我們還對模型進行了靈敏度分析，對于需求側(cè)的變化引起供給側(cè)的變動進行全面的分析.

關鍵詞 馬爾可夫鏈；多目標非線性規(guī)劃；分級供需

中圖分類號 O29 文獻標識碼 A

0 引 言

格倫峽谷大壩和胡佛大壩位于科羅拉多河系統(tǒng)上，能為美國西南部五個州供水和電，這五個州分別為：亞利桑那州（Arizona），加利福尼亞州（California），懷俄明州（Wyoming），新墨西哥州（New Mexico）和科羅拉多州（Colorado）. 如今，氣候的變化導致這兩個大壩的水庫水量不斷減少，且科羅拉多河系統(tǒng)近期的高溫與降雨短缺的狀況或許將持續(xù). 若仍遵循科羅拉多河系統(tǒng)之前的分配契約，難以滿足這五個州的用水需求. 但實際上，州的水電實際用量或許少于分配量，因此制定一個用于現(xiàn)在與未來的合理的水資源調(diào)配計劃非常重要.

本文根據(jù)2022年美國大學生數(shù)學建模競賽B題給定的背景資料與指導，解決如下問題：要求首先建立水資源-電力配置的數(shù)學模型，并給出模型的更新時間、滿足供水需求所需的額外供水量，然后解決一般用水（包含：農(nóng)業(yè)、工業(yè)及住宅）和電力生產(chǎn)之間的沖突，最后研究當影響模型的因素（如：需水量減少）變動時，模型將發(fā)生何變化.

國內(nèi)外自20世紀40年代以來，通過分析水資源系統(tǒng)，研究如何合理配置水資源，最初研究的是水庫優(yōu)化調(diào)度問題，在此基礎上逐漸構建系統(tǒng)工程且廣泛應用于水庫（群）優(yōu)化調(diào)度問題、防洪調(diào)度研究中. 調(diào)度方法大致可分為常規(guī)方法和系統(tǒng)分析方法，其中，常規(guī)方法是結合水能計算、徑流調(diào)節(jié)理論及經(jīng)驗圖表的半理論、半經(jīng)驗方法；而系統(tǒng)分析方法大致可分為兩類：概率模型（包括馬爾可夫決策過程、排隊論等）與規(guī)劃模型（包括多目標規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等）[1].

本文的數(shù)學模型基于前人建立的分析方法，求解該供水系統(tǒng)的更新時間，使得該系統(tǒng)的供水策略隨實際情況調(diào)整，更靈活并具實際應用意義；以一年為單位時間分配各州單位時間內(nèi)的供電及供水，合理簡化模型，該思想易于應用于相似的資源動態(tài)調(diào)度問題中；在考慮需求側(cè)的變化引起供給側(cè)的變動的角度下，對模型進行多次靈敏度分析，考慮的因素較為全面以保障模型的穩(wěn)定性.

1 模型假設

· 假設：水庫蒸發(fā)的水量可以忽略不計.

"" 合理性論證：這兩座大壩的儲水量大到足以可忽略蒸發(fā)的水量.

· 假設：一千瓦的電力價格為10.41美分.

"" 合理性論證：美國每千瓦時電的平均零售價格是10.41美分[2].

2 符號說明

3 基于馬爾可夫鏈的更新時間模型

水庫的調(diào)配成本較高且靈活度低，所以確定一個合適的模型更新時間是十分重要的. 我們從五個州的一個月內(nèi)連續(xù)干旱天數(shù)考慮模型的更新時間，選取概率最大的連續(xù)干旱天數(shù)作為更新時間，這樣，考慮到了最壞的情況，可以使我們的水庫調(diào)配模型更加地穩(wěn)健節(jié)制.

3.1 基于馬爾可夫鏈的天氣預測

3.2 蒙特卡洛模擬

蒙特卡洛方法是以計算機為工具，通過科學的統(tǒng)計與建模，將繁瑣的計算問題與研究對象，轉(zhuǎn)化成對隨機數(shù)字及它們特征的計算與仿真，因而能簡化研究問題，降低計算的復雜度，獲得性質(zhì)優(yōu)良的近似解[5].

由于湖泊水位高度隨季節(jié)變化大，故根據(jù)其水位高低將一年分為三個時間段. 在每個時間段內(nèi)，以兩湖發(fā)生干旱的概率及降雨的概率為參數(shù)，分別模擬仿真一個月內(nèi)的天氣情況，匯總分析，得到連續(xù)t天干旱的概率最大（模擬使用的參數(shù)及結果見下表2）.

4 基于多目標非線性規(guī)劃的公平分級供需模型

4.1 供需關系分析

水資源的可供量受某特定范圍內(nèi)水資源的數(shù)量、時空分布以及供水工程能力的制約. 實際需水量則與生產(chǎn)發(fā)展、生活用水量、產(chǎn)業(yè)結構和水資源利用效率有關. 不同時期的可供水量與實際需求量是可變的. 科羅拉多河面對的問題主要是水源短缺，供小于求，在短期應對水資源供需關系作出推斷預測，合理分配. 在長期應該采用開源節(jié)流的辦法.

4.1.1 供給分析

本文研究的5個州位于科羅拉多河中下游地區(qū)，大部分屬于干旱、半干旱氣候，年均降水量不足100 mm，加上蒸發(fā)量大、滲漏、灌溉等耗水，水量逐漸減少，各年之間及各季之間豐枯相差很大，4-5月洪水期流量與枯水期相差23-26倍. 其特點為春末夏初洪水泛濫，秋冬河水干涸. 考慮到科羅拉多河水量的劇烈變化，對于水庫的水位要進行分類討論.

1） 水位與蓄水量的對數(shù)-對數(shù)線性回歸曲線

通過查閱文獻[6]，我們分別得到了鮑威爾湖和米德湖的水位（單位：高于平均海平面的米數(shù)（m））與蓄水量（m3）的關系. 如圖1（a）和圖1（b）所示：

同時，我們還得到了兩湖的最大蓄水量、最小發(fā)電水位和死水位的數(shù)據(jù)，如下表3所示.

我們利用上述文章中的數(shù)據(jù)，用最小二乘回歸來確定水位的對數(shù)和蓄水量的對數(shù)間的關系. 擬合曲線如圖2所示：

對數(shù)-對數(shù)線性回歸結果見表4.

3） 水供給函數(shù)

米德湖的部分水是由鮑威爾湖供應的，因此，鮑威爾湖供水量增加時，米德湖的水位將會下降. 我們假設鮑威爾湖的供水量每增加1億m3，米德湖的水位就會下降l m.

我們根據(jù)水庫水位高低將水庫分為充盈與緊缺兩種狀態(tài)，不同狀態(tài)下的可供水量范圍將發(fā)生變化.

4） 降水-徑流-供應模式

圖3為兩湖的降水量與徑流量的折線圖. 其橫坐標為月份，縱坐標為該月份對應的月總降水量與徑流量. 圖3（a）為鮑威爾湖的數(shù)據(jù)，圖3（b）為米德湖的數(shù)據(jù).

其中，k表示徑流系數(shù)，在干旱地區(qū)它非常??；R表示徑流深度；Q表示徑流量；P表示降水[7].

我們用這個公式來計算降水與湖總水量的關系. 結合每月的降水量，我們發(fā)現(xiàn)鮑威爾湖需要10個月才能滿足需求，而米德湖需要12個月.

4.1.2 分級需求分析

1） 5個州4類指標的數(shù)據(jù)分析

我們將5個州的用電量[2]、用水量[8]、人口數(shù)量[7，9]和GDP[10]數(shù)據(jù)可視化，如下圖4所示.

由圖4可知，4類數(shù)據(jù)中，加利佛尼亞州（California）的值均為最大且遠遠大于其他州.

2） 工業(yè)、農(nóng)業(yè)和住宅供水排序

供水次序系數(shù)qij反映i子區(qū)j水源相對于其他水源供水的優(yōu)先程度，與水源供水次序有關，可以參考下式確定：

其中，nimax為州3種用水（工業(yè)、農(nóng)業(yè)、住宅）的最大序列值（即為3）；nij為i州j產(chǎn)業(yè)用水量排序位次.

分析不同州對于水的利用策略，可以更好的得到準確的需求. 用水首先滿足生活需求，所以我們的模型假設住宅的權重最大. 在分析GDP數(shù)據(jù)時，我們發(fā)現(xiàn)這5個州都是側(cè)重工業(yè)，主要因為他們都處在干旱、半干旱地區(qū)，農(nóng)業(yè)發(fā)展受到氣候和資源限制，所以得出的供水順序為住宅、工業(yè)、農(nóng)業(yè). 如果有更多數(shù)據(jù)支撐，也許順序會有所變化.

3） 公平-效益系數(shù)

因為常用的主觀賦權法（如專家打分法等）一定程度上受主觀性的影響，相較之下，客觀賦權法的精度通常更高. 故在當前賦權重的方法中，熵權法是較為普遍并且影響力較大的一種. 熵權法通過計算指標差異變化的程度大小來確定權重，即：評價指標的熵值越小，該指標的變化差異程度越大、給予的信息越多. 該方法根據(jù)客觀的樣本數(shù)據(jù)獲得最優(yōu)的權重，一定程度上能有效避免人為主觀性造成的權重偏差，使得指標權重更為客觀[11].

我們利用熵權法選取了2類共5個指標衡量州之間的水量分配權重. 一是分級類指標：歷史平均用水量、GDP、人口數(shù)量；二是公平類：人均用水量、人均GDP、（每萬美元GDP耗水量）. 歷史平均用水量越大、人口越多的州理應分配更多的水，GDP代表一個州的發(fā)展程度，GDP高的州如果能分配到更多的水，就可以創(chuàng)造出更多的GDP，提高供水的經(jīng)濟效益.

但如果單純使用這些分級指標，容易嚴重失衡，會導致人口多、GDP高的州權重過大，尤其是加州的GDP和人口是其他州的幾十倍. 為了維護其他州的利益，我們引入了人均用水量、人均GDP作為公平類指標，人均用水量、人均GDP較多的州分得水更多.

熵權法公式如下：

其中，ej為第j個指標的信息熵，z為計算對象的數(shù)量，q為指標的數(shù)量，Wj為第j個指標的熵權. 即，對評價對象和指標組成的矩陣進行歸一化后，計算得到概率矩陣P，pij為概率矩陣P的第i行第j列元素，繼而可由公式（11）計算得到第j個指標的信息熵ej及其熵權Wj.

公平-效益指標及其值如表5.

然后我們可以進一步計算出5個州的公平-效益系數(shù)αi.

4） 成本與價格系數(shù)

每公里運輸一定體積的水的成本與距離正相關，因此，為簡化模型，我們假設它們之間有線性關系，并構建成本與距離的線性函數(shù)，得到成本系數(shù)ckij. 且假設當接收水的州在大壩上游時，成本系數(shù)為原來的兩倍. 公式如下：

其中，cki" 為從k湖輸水至i州的成本系數(shù)，Lki" 為k湖與i州的距離.

不同產(chǎn)業(yè)使用相同水量時產(chǎn)生不同的效益，所以我們分別計算農(nóng)業(yè)、工業(yè)和住宅用水的價格系數(shù).

工業(yè)用水的價格系數(shù)采用工業(yè)總產(chǎn)值分攤法，計算公式如下：

其中，b1為工業(yè)用水的價格系數(shù). β為工業(yè)用水的效益分攤系數(shù)，不同水源的分攤系數(shù)不同：以自來水為水源時，β為3.5；以自備井為水源時，β為3%；以水利工程為水源時，β為6.5%. ω為工業(yè)每萬元產(chǎn)值的用水量.

4.3 求解

本文采用NSGA-II法求解了2水庫為5個州3產(chǎn)業(yè)供水的問題. NSGA-II是應用范圍最廣的多目標遺傳算法. 其提出一種快速的非支配排序算法，降低了計算非支配序列的復雜度. 同時，在進化過程中不丟棄優(yōu)勢個體，從而提高優(yōu)化結果的準確性. 并且通過對種群中所有個體的分層存儲，使最好的個體不會丟失，可以迅速提高種群水平. 該算法可以得到均勻分布的非次優(yōu)解，在多目標優(yōu)化領域顯示出較強的優(yōu)勢. 該算法的具體流程如下[12]：

求解得到多個解集，其中部分帕累托最優(yōu)解如表6、表7.

其中，方案1的經(jīng)濟效益可接近287億美元，方案2的經(jīng)濟效益可接近63億美元. 方案2的社會效益高于方案1. 在現(xiàn)實生活中，經(jīng)濟效益和社會效益往往存在沖突.

5 靈敏度分析

5.1 需求

圖6為利潤與民眾滿意度隨需求轉(zhuǎn)移而變化的折線圖. 其橫坐標為需求轉(zhuǎn)移率，正需求轉(zhuǎn)移率表示需求增加，負需求轉(zhuǎn)移率表示需求減少，縱坐標為該需求轉(zhuǎn)移率下的利潤與民眾滿意度化率.

隨著需求的不斷提高，滿意度逐漸下降，且下降速度快；而經(jīng)濟效益不斷波動，說明利潤對需求更為敏感.

5.2 可再生能源技術

可再生能源技術比重增加，主要體現(xiàn)在水力發(fā)電系數(shù)K. 圖7為利潤與民眾滿意度隨水力發(fā)電系數(shù)K增大而變化的折線圖. 其橫坐標為水力發(fā)電系數(shù)K，縱坐標為該K值對應的利潤與民眾滿意度變化率. 對K進行靈敏度分析，隨著K增加，社會效益和經(jīng)濟效益都有很大的提高，在K＝8.3左右達到最大值.

5.3 工業(yè)，農(nóng)業(yè)與住宅需水量

如果該州的工業(yè)比重發(fā)生變化，或者各第二產(chǎn)業(yè)及其住宅用水量發(fā)生變化，可以通過改變工業(yè)、農(nóng)業(yè)和住宅的供水排名進行調(diào)整. 圖8為利潤與民眾滿意度隨供水排名而變化的折線圖. 其橫坐標為排名，縱坐標為排名下的利潤與民眾滿意度變化率.

通過對qij進行靈敏度分析可知，當住宅用水量排在第一位，工業(yè)排在第二位時，社會經(jīng)濟效益最佳.

6 總結

本文通過建立多目標非線性規(guī)劃模型，解決了3個問題. 首先，利用馬爾科夫鏈模型與蒙特卡洛模擬仿真求解模型的更新時間. 其次，以一年為單位時間，構建供給函數(shù)、需求函數(shù)與多目標規(guī)劃方程，并利用NSGA2遺傳算法求解，并通過降水-徑流-供給模型來分配每個州的單位時間供給量. 最后，對模型進行靈敏度分析，對于需求側(cè)的變化引起供給側(cè)的變動進行全面分析. 本文建立的求解流程具有一般性，可對相關問題的解決提供有益的思路和啟發(fā).

參考文獻

[1]" 鄧坤，張璇，楊永生，等. 流域水資源調(diào)度研究綜述[J]. 水利經(jīng)濟，2011，29（6）：23-27+70.

[2]" Energy information administration. state electricity profiles[DB/OL]. （2017-1-17）[2022-02-18]. https：//

www.eia.gov/electricity/state/archive/2015/.

[3]" 盧顯文. 馬爾可夫預測分析的應用[J]. 江蘇廣播電視大學學報， 2002，13（3）：61-63.

[4]" 王軍，王娟. 隨機過程及其在金融領域中的應用[M]. 北京：清華大學出版社，2007.

[5]" 朱陸陸. 蒙特卡洛方法及應用[D]. 武漢：華中師范大學，2014.

[6]" BARNETT T P，PIERCE D W. When will Lake Mead go dry？[J]. Water Resources Research，2008，44：W03201.

[7]" 王士武，陳雪，胡玲，等. 數(shù)學模型在濱海城市水資源綜合規(guī)劃中的應用[J]. 中國農(nóng)村水利水電，2005（11）：30-32.

[8]" United States geological survey. USGS water use data for the nation[DB/OL]. （2022-02-18）[2022-02-18].

https：//waterdata.usgs.gov/usa/nwis/wu.

[9]" World population review. US states-ranked by population 2022[DB/OL]. （2022-01-27）[2022-02-18].

https：//worldpopulationreview.com/states.

[10]" Bob weeks. GDP by state，real，quarterly[R/OL]. （2014-08-21）[2022-02-18]. https：//public.tableau.

com/app/profile/bobweeks/viz/GDPbyStateRealQuarterly2014-08-21/Composition.

[11]" 李芳，李東坪. 基于熵權法的組合評價模型[J]. 信息技術與信息化，2021（9）：148-150.

[12]" 王茜，張粒子. 采用NSGA-Ⅱ混合智能算法的風電場多目標電網(wǎng)規(guī)劃[J]. 中國電機工程學報，2011，31（19）：17-24.

[13]" 張偉聰，韓偉娜，白雪麗，等. 基于NSGA-Ⅱ遺傳算法的智能飛行器航跡快速規(guī)劃[J]. 軟件導刊，2021，20（6）：109-112.

Fair Hierarchical Supply and Demand Model Basedon Multi-Objective Nonlinear Programming

ZHUANG Miaoxia， PAN Haoran， NIE Yulin， FANG Rui

（Department of Mathematics， Shantou University， Shantou 515063， Guangdong， China）

Abstract" In this paper， a further study is carried out on the Problem B of The 2022 Mathematical Contest in Modeling. First of all， the updating time of the model from the consecutive drought days of one month in five states is considered， and the continuous drought days with the highest probability as the updating time are selected. In this way， considering the worst case， our reservoir allocation model can be more robust and moderate. The specific method is to use Markov chain model to analyze the historical climate data and get the probability of rainfall. Then through Monte Carlo to simulate the weather in a month， summary analysis， the probability of continuous T days of drought is the largest. Secondly， through the analysis of the topic， it is found that if water resources are allocated in units of month or day， it will bring huge complexity to the model， and the solution will be tedious and time-consuming. In order to allocate water resources fairly and effectively， a fair hierarchical supply and demand model of water resources on the length of a year is built， and the functional relationship between reservoir water level and capacity by consulting data is obtained， so as to build the supply function. Design the equity-benefit coefficient， price coefficient， cost coefficient and satisfaction to determine the demand function. Then， the multi-objective programming equation is constructed and solved by NSGA2 genetic algorithm. Firstly， the annual water resources amount is allocated to determine the annual supply amount. The economic benefits can reach us $28.701 billion; For a year？蒺s supply， Powell needed 10 months to meet demand and Mead needed 12 months， leaving about 2 billion cubic meters of water flowing into the Gulf of California. Moreover， when water resources are scarce and the demand for hydropower cannot be met， the range of supply function is controlled to achieve throttling. Sensitivity analysis on the model is also constructed， and the changes of supply side caused by the changes of demand side are comprehensively analyzed.

Keywords" Markov chain; multi-objective nonlinear programming; hierarchical

收稿日期：2022 － 05 － 19

通訊作者：方 睿（1987—），男（漢族），廣東汕頭人，博士，副教授，研究方向：應用概率統(tǒng)計.

E-mail：rfang@stu.edu.cn