用構(gòu)造法解答一類函數(shù)值域問題的思路

李力

構(gòu)造法是解答數(shù)學(xué)問題的常用方法，通常需結(jié)合 題目中所給的已知條件，構(gòu)造出合適的函數(shù)、不等式、 方程、幾何圖形、向量、三角函數(shù)等模型，以從新的角 度尋找到解題的方案.下面主要探討一下如何巧妙運(yùn) 用構(gòu)造法，來求解一類含有根式的函數(shù)值域問題.

本題與例3相似，均為無理函數(shù)的值域問題，不同 的是根號(hào)下面的函數(shù)式是一次函數(shù)，但雙變量換元法 依然奏效，只不過問題變成了拋物線問題.當(dāng)然，若用 一個(gè)新元去替換本題中的根式，也可以解題.而這里采 用雙變量換元法，卻可將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題， 通過數(shù)形結(jié)合法，就能快速求得函數(shù)的值域.

可見，對于這類含有根式的函數(shù)最值問題，通過 巧妙換元，即可把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的 直線與圓的位置關(guān)系問題，通過數(shù)形結(jié)合，求得函數(shù) 的值域.

本題中根式內(nèi)與根式外的函數(shù)都為二次函數(shù)，于 是引入變量 m、y，先進(jìn)行雙變量換元；再將函數(shù)式移 項(xiàng)、平方、變形，構(gòu)造出兩個(gè)曲線的方程，將問題轉(zhuǎn)化 成了拋物線與橢圓的位置關(guān)系問題；最后采用數(shù)形結(jié) 合法求解.

由此可見，解答含有根式的函數(shù)值域問題，可采 用以下思路：

1.引入雙變量，將根式用變量替換；

2.將函數(shù)用新變量表示出來，并構(gòu)建關(guān)于新變量的關(guān)系式；

3.挖掘新函數(shù)式和關(guān)系式的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲線之間的位置關(guān)系問題；

4.畫出相應(yīng)的幾何圖形，結(jié)合圖形討論兩個(gè)曲線之間的位置關(guān)系，據(jù)此確定臨界的情形；

5.建立新關(guān)系，求出函數(shù)的值域.

在采用常規(guī)方法解題受阻時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)變 通，靈活地運(yùn)用發(fā)散思維，另辟蹊徑，合理構(gòu)造出恰當(dāng) 的數(shù)學(xué)模型，將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，從而從不同的 角度找到解題的思路.

（作者單位：甘肅省徽縣第一中學(xué)）