方程與不等式中考題型探究

文／朱賽蘭

“方程與不等式”的中考題中既有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查，又有對(duì)綜合應(yīng)用能力的考查。現(xiàn)歸納幾例供同學(xué)們研究。

一、新定義型運(yùn)算

【小結(jié)】此題定義的是一種新運(yùn)算，定位于我們熟悉的分式。我們需要理清算法，呈現(xiàn)公式，將問(wèn)題從公式到分式方程，逐步轉(zhuǎn)化，從數(shù)學(xué)情境中建立模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)理解能力和轉(zhuǎn)化能力的考查。

二、含參數(shù)的方程（組）

A.k≥8 B.k＞8 C.k≤8 D.k＜8

【解析】關(guān)于含參數(shù)類型的求解問(wèn)題，先不要著急消元求解，要觀察系數(shù)，思考x與y的和能否通過(guò)整體加減用參數(shù)表示出來(lái)，再列不等式求解。將方程組中的兩式相減，得x+y=k-3。由已知，得x+y≥5，則k-3≥5，解得k≥8。故選A。

【小結(jié)】本題是方程與不等式的結(jié)合，考查了等式性質(zhì)與不等式的解法，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用整體思想將含參式與已知條件建立聯(lián)系。

三、方程與函數(shù)結(jié)合

例3（2022·浙江紹興）已知拋物線y=x2+mx的對(duì)稱軸為直線x=2，則關(guān)于x的方程x2+mx=5的根是（ ）。

A.0，4 B.1，5 C.1，-5 D.-1，5

【解析】根據(jù)拋物線y=x2+mx的對(duì)稱軸為直線x=2，則-=2，解得m=-4。然后解一元二次方程x2-4x=5即可。故選D。

【小結(jié)】本題通過(guò)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式建立一次方程模型，求出參數(shù)m的取值，最后解關(guān)于x的一元二次方程即可。本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合考查了同學(xué)們的基礎(chǔ)技能。

四、建立方程模型

例4（2022·江蘇蘇州）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購(gòu)進(jìn)水果的情況如表所示：

（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)；

（2）銷售完前兩次購(gòu)進(jìn)的水果后，該水果店決定回饋顧客，開(kāi)展促銷活動(dòng)。第三次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共200 千克，且投入的資金不超過(guò)3360 元。將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進(jìn)價(jià)銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價(jià)格銷售。若第三次購(gòu)進(jìn)的200 千克水果全部售出后，獲得的最大利潤(rùn)不低于800 元，求正整數(shù)m的最大值。

【解析】（1）借助表格構(gòu)建方程組模型即可解決問(wèn)題。

設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克a元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克b元。

答：甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克12 元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克20元。

（2）先分析得出，兩種水果單獨(dú)售價(jià)、單獨(dú)進(jìn)價(jià)已知，第三次購(gòu)進(jìn)的兩種水果數(shù)量未知；再通過(guò)設(shè)數(shù)量，分別表示總成本和總利潤(rùn)；然后由題意求出成本范圍，用一次函數(shù)求出最大利潤(rùn)，最終回歸不等式求解。

設(shè)第三次購(gòu)進(jìn)x千克甲種水果，則購(gòu)進(jìn)（200-x）千克乙種水果。

根據(jù)題意，得12x+20（200-x）≤3360，解得x≥80。

設(shè)獲得的利潤(rùn)為w元。

w=（17-12）×（x-m）+（30-20）×（200-x-3m）=-5x-35m+2000。

∵-5＜0，w隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=80時(shí)，w的值最大，最大值為-35m+1600。

由題意，得-35m+1600≥800，解得m≤

∴m的最大整數(shù)值為22。

【小結(jié)】利用方程組和不等式模型綜合解決實(shí)際問(wèn)題是?？碱}型，而且往往閱讀量不小。此時(shí)，同學(xué)們不必慌張，可以借助表格仔細(xì)推敲字句，找出已知量和未知量，通過(guò)銷售利潤(rùn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系找準(zhǔn)相等或不等關(guān)系即可解決問(wèn)題。