條條江河歸大海：一道“配方法”習(xí)題與一題多解

文／陳 贇

復(fù)習(xí)整式乘法與因式分解之后，我們?cè)O(shè)計(jì)了一道關(guān)于“配方法”的閱讀理解問題，但很多同學(xué)并沒有運(yùn)用“配方法”解答，不同的解法也十分精彩，現(xiàn)整理出來，供同學(xué)們分享。

【閱讀理解】我們知道，利用完全平方公式可以將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成（a±b）2。而對(duì)a2+2a-3 這樣的二次三項(xiàng)式，則不能直接利用完全平方公式分解，但可以先用“配方法”配出一個(gè)完全平方式，再用平方差公式分解。過程如下：

請(qǐng)用“配方法”解決下列問題：

（1）分解因式：a2-6a+5；

（2）已知ab=，a+2b=3，求a2-2ab+4b2的值；

（3）若將4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2，試求常數(shù)m的值。

【設(shè)計(jì)意圖】第（1）、第（2）問不算太難。根據(jù)閱讀材料，我們利用完全平方公式能夠順利解決。對(duì)于第（3）問，先將多項(xiàng)式4x2+12x+m局部配方，可得［（2x）2+2×2x×3+32］-9+m=（2x+3）2-9+m。然后因?yàn)?x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2，即利用平方差公式對(duì)代數(shù)式（2x+3）2-9+m變形，會(huì)產(chǎn)生因式2x+4，這樣就可逆向推導(dǎo)出（2x+3）2-9+m=（2x+3+1）（2x+3-1）。等式兩邊比較，得出-9+m=-1 的結(jié)論，可得m=8。下面列舉其他幾種精彩解法。

解法1：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，以及多項(xiàng)式乘法和因式分解之間的互逆關(guān)系，將多項(xiàng)式4x2+12x+m因式分解，得

解法2：對(duì)多項(xiàng)式4x2+12x+m局部變形，得4x2+12x+m=4x（x+2）+4x+m，分析得出4x+m這個(gè)多項(xiàng)式中含有x+2 這個(gè)因式，即4x+m=4（x+2），進(jìn)而求得m=8。

解法3：畫出圖1，大矩形的面積是4x2+12x+m，被分成4 個(gè)面積是x2的正方形和4 個(gè)面積是2x的矩形，以及A和B的兩個(gè)矩形。矩形A的一邊長(zhǎng)為x，面積為12x-8x=4x，算出其另一邊長(zhǎng)是4，因此矩形B的面積是2×4=8，即m=8。

圖1

解法4：4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2，說明方程4x2+12x+m=0有一根為x=-2。將x=-2代入方程4x2+12x+m=0，可得16-24+m=0，求得m=8。

【簡(jiǎn)要評(píng)析】解法1 充分體現(xiàn)了“回到定義去思考”的解題思想，即基于整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，設(shè)出另一個(gè)因式，求出待定的系數(shù)。解法2體現(xiàn)出對(duì)分組分解法的較好理解，即先在一部分和式中找到已知因式，得到剩下的和式中也有已知因式。解法3 充分利用二次代數(shù)式的幾何意義，借助矩形的拼接，以形助數(shù)直觀獲解。解法4從方程的視角看多項(xiàng)式，基于方程的根與多項(xiàng)式的因式的關(guān)系，靈活運(yùn)用方程的根的概念，采用試根法解決問題，體現(xiàn)了“高觀點(diǎn)”的解題思想。

最后，提供一道練習(xí)題給同學(xué)們鞏固一下。

閱讀下列材料，然后解答問題。

【問題】分解因式：x3+4x2-5。

【解答】把x=1 代入多項(xiàng)式x3+4x2-5，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定多項(xiàng)式x3+4x2-5中有因式x-1，于是可設(shè)x3+4x2-5=（x-1）（x2+mx+n），分別求出m、n的值，再代入x3+4x2-5=（x-1）（x2+mx+n），就容易分解多項(xiàng)式x3+4x2-5，這種分解因式的方法叫作“試根法”。

（1）求上述式子中m、n的值；

（2）請(qǐng)你用“試根法”分解因式：x3+x2-9x-9。