基于隨機響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析理論及其工程應(yīng)用

季 昀，段 杭，孟亞運，王 霄，李同春

(1.國家能源局大壩安全監(jiān)察中心，浙江 杭州 310014；2.中國電建集團華東勘測設(shè)計研究院有限公司，浙江 杭州 310014；3.中國三峽建工(集團)有限公司白鶴灘工程建設(shè)部，四川 成都 610041；4.中國電建集團中南勘測設(shè)計研究院有限公司，湖南 長沙 410014；5.淮安市水利勘測設(shè)計研究院有限公司，江蘇 淮安 223001；6.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210024)

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析，或稱為結(jié)構(gòu)可靠度靈敏度分析，是結(jié)構(gòu)可靠度分析的重要組成部分。通過結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析，可以得到各輸入隨機變量分布參數(shù)的變化引起失效概率變化的不同程度，從而確定各參數(shù)對結(jié)構(gòu)安全影響的重要程度，為工程設(shè)計、施工和管理供有益的指導(dǎo)與反饋。

依據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析的定義，不難得到一次二階矩法等結(jié)構(gòu)可靠度算法所對應(yīng)的敏感性分析公式。然而，由于一次二階矩等方法僅適用于功能函數(shù)為顯式的情況，而重力壩等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度分析功能函數(shù)通常為隱式函數(shù)，此時，基于一次二階矩法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式將不再適用。作為一種新興的代理模型方法(Metamodel，Model of model)，隨機響應(yīng)面法采用隨機多項式[1](一般為Hermite正交多項式)作為響應(yīng)面函數(shù)，相比于經(jīng)典響應(yīng)面法所采用的序列多項式，具有明確的數(shù)學(xué)意義和理論證明的收斂特性[2]。近年來，隨機響應(yīng)面法及基于隨機響應(yīng)面法的非侵入式隨機有限元法在工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中得到了一定的推廣和應(yīng)用[3-7]。然而，目前尚未出現(xiàn)有關(guān)結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法敏感性分析及其應(yīng)用方面的文獻(xiàn)。Sudret[8]采用隨機多項式進(jìn)行了系統(tǒng)敏感性分析，但其研究的對象是物理系統(tǒng)，且對應(yīng)的敏感性分析研究本質(zhì)上屬于方差分析的范疇，與結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析的定義并不相同。Isukapalli[9]在其博士論文中研究了“Coupling of the SRSM with sensitivity analysis methods”，并編寫了相關(guān)計算程序SRSM-ADIFOR。但是，Isukapalli的研究僅僅是得到了隨機響應(yīng)面方程對于各隨機變量的偏導(dǎo)公式，而結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析真正需要求解的應(yīng)是失效概率對于各隨機變量及其特征參數(shù)的偏導(dǎo)公式。

一般地，由于隨機響應(yīng)面法的基本變量均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，故可以將隨機響應(yīng)面法與幾何法結(jié)合起來求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)和失效概率。本文將推導(dǎo)幾何法與隨機響應(yīng)面法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式，并應(yīng)用于工程實例。

1 基于一次二階矩方法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析

一次二階矩法在均值點將功能函數(shù)進(jìn)行展開，在應(yīng)用時具有諸多的局限性[10]。但是，作為最早出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)可靠度計算方法，該方法概念清晰，便于闡述結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析的概念。因此，在介紹基于隨機響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析理論前，首先給出基于一次二階矩方法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析計算公式及其推導(dǎo)過程。

一般情況下，可以認(rèn)為失效概率與可靠指標(biāo)具有如下一一對應(yīng)的關(guān)系

Pf=1-Φ(β)

(1)

式中，Pf為失效概率；Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)；β為可靠指標(biāo)。

由式(1)，可得

(2)

式中，φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；其他各變量含義同前。

當(dāng)輸入基本隨機變量向量x相互獨立且功能函數(shù)為線性時，有

(3)

(4)

式中，μxi為輸入隨機變量xi的均值；ai為線性功能函數(shù)g的表達(dá)式中xi所對應(yīng)的系數(shù)；σg為功能函數(shù)g的標(biāo)準(zhǔn)差。則失效概率Pf對于均值μxi和標(biāo)準(zhǔn)差σxi的敏感性可表示為

(5)

(6)

當(dāng)基本隨機變量向量x中各變量相互獨立且功能函數(shù)為非線性時，可得失效概率Pf對于均值μxi和標(biāo)準(zhǔn)差σxi的敏感性為

(7)

(8)

2 基于隨機響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析

隨機響應(yīng)面法是一種全局響應(yīng)面法，因而基于該方法的敏感性分析是具有實際物理意義的，而以經(jīng)典響應(yīng)面法(序列多項式響應(yīng)面法)為代表的局部響應(yīng)面法通常并不具有這樣的特性。此外隨機響應(yīng)面法的基本變量均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，可以方便地將隨機響應(yīng)面法與幾何法結(jié)合起來求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)和失效概率。

對任意設(shè)計變量b(可以代表任一隨機變量的均值或標(biāo)準(zhǔn)差)，結(jié)構(gòu)的失效概率對其敏感性可表述為

(9)

式中，b為任意設(shè)計變量；其余各符號含義同前。

當(dāng)在結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法中采用幾何法計算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)時，可靠指標(biāo)的求解可等效表述為幾何法中的約束問題。當(dāng)分析結(jié)構(gòu)失效概率對設(shè)計變量b的敏感性時，有

(10)

式中，ξ為結(jié)構(gòu)的輸入隨機變量向量為輸入變量向量x經(jīng)一定的變量轉(zhuǎn)換運算得到一組新的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機空間內(nèi)的隨機變量向量，且ξ=(x-μx)/σx={ξ1，ξ2，…，ξn}T；其他各符號含義同前。

δβ=?ξL(ξ)δξ

(11)

式中，δβ為可靠指標(biāo)β相對于變量b的變分；δξ為輸入隨機變量向量ξ相對于變量b的變分；L(ξ)=(ξTξ)1/2；?ξL(ξ)表示L(ξ)對于正態(tài)分布的隨機向量ξ的矢量導(dǎo)數(shù)。

δg=?bgδb+?ξgδξ=0

(12)

式中，?bg為極限狀態(tài)方程g在點ξ*和b0處對不同取值的變量b構(gòu)成的向量b的矢量導(dǎo)數(shù)；?ξg為極限狀態(tài)方程g在點ξ*和b0處對輸入隨機向量ξ的矢量導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)非線性規(guī)劃的相關(guān)理論，上式須在b*處滿足Kuhn-Tucker條件，而這可以通過引入拉格朗日乘子λ來實現(xiàn)。于是，式(10)所示的約束問題最終轉(zhuǎn)化為

?ξL(ξ)+λ?ξg(ξ)=0

Subject toZ=g(ξ*，b0)=0

(13)

由式(12)，易得

?bgδb=-?ξgδξ

(14)

將式(14)代入式(13)，可得

?ξLδξ=λ?bgδb

(15)

綜上，可靠指標(biāo)對于任意變量b的敏感性可表示為

(16)

式(16)中的拉格朗日乘子λ可以由Kuhn-Tucker條件?ξL(ξ)+λ?ξg(ξ)=0求得。對該方程兩邊同取歐式范數(shù)(2-范數(shù))，有

(17)

由于拉格朗日乘子λ為負(fù)實數(shù)，因此有

(18)

當(dāng)上述推導(dǎo)過程中的變量b表示為任一輸入隨機變量ξi(i=1，2，…，n)的均值時，有

(19)

(20)

故可靠指標(biāo)β對于輸入隨機變量向量的均值的敏感性計算公式可表示為

(21)

同理，若將變量b表示為任一輸入隨機變量ξi(i=1，2，…，n)的標(biāo)準(zhǔn)差時，類似可得

(22)

式(21)、式(22)與式(3)、式(4)在形式上是一致的，這表明，式(3)、式(4)為式(21)、式(22)的一種特殊形式。類似地，可得采用幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面中失效概率Pf對于均值μxi和標(biāo)準(zhǔn)差σxi的敏感性計算公式為

(23)

(24)

顯然，式(23)與式(24)結(jié)果均為無量綱的數(shù)值，可以用于衡量失效概率對于不同輸入隨機變量的敏感性。如用隨機響應(yīng)面函數(shù)替代式(23)和式(24)中的極限狀態(tài)方程g，即得到幾何法與隨機響應(yīng)法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度算法的敏感性分析公式。

3 算例驗證及工程應(yīng)用

3.1 算例——非線性方程

(25)

式中，ξ1、ξ2均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，分別由結(jié)構(gòu)輸入隨機變量x1、x2轉(zhuǎn)化而來。

令ξ={ξ1，ξ2}，x={x1，x2}，則有

(26)

式中，μx為輸入隨機變量向量x的均值向量，且μx={1 000，250}；μx為輸入隨機向量x的標(biāo)準(zhǔn)差向量，且σx={200，37.5}。

可以認(rèn)為，隨機響應(yīng)面法擬合得到的功能函數(shù)即為結(jié)構(gòu)實際的功能函數(shù)。則求得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)分別對各基本變量ξi(i=1，2)的偏導(dǎo)表達(dá)式如下

(27)

(28)

采用幾何法求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)的設(shè)計驗算點為ξ={ξ1，ξ2}={0.625 6，-2.244 9}，將其代入式(27)和式(28)，分別得到在設(shè)計驗算點附近結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對各基本隨機變量ξi(i=1，2)的偏導(dǎo)數(shù)分別為-3.103和6.596 3。

于是，不難得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對輸入隨機變量的2-范數(shù)為

(29)

根據(jù)前述推導(dǎo)得到的采用幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面敏感性分析公式，求得結(jié)構(gòu)失效概率對各輸入隨機變量的均值敏感度如式(30)和式(31)所示，對標(biāo)準(zhǔn)差的敏感度如式(32)和式(33)所示。

(30)

(31)

(32)

(33)

由式(30)和式(31)可見，在設(shè)計驗算點附近，結(jié)構(gòu)失效概率將隨著輸入隨機變量x1均值的增加而增大，隨著輸入隨機變量x2均值的增加而減??；當(dāng)隨機變量x1和x2的標(biāo)準(zhǔn)差增加(或稱隨機變量的變異系數(shù)增加)時，結(jié)構(gòu)的失效概率都會增加。

由文獻(xiàn)[11]中對輸入隨機變量x1和x2的描述可知，x1為懸臂梁所受荷載，x2為懸臂梁的截面尺寸。由此可以認(rèn)為，該懸臂梁的結(jié)構(gòu)失效概率將隨著荷載均值的增加而增大，隨著截面尺寸均值的增加而減小，符合工程經(jīng)驗認(rèn)識。同時，荷載與截面尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的增大(或稱變異系數(shù)的增大)將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效概率的增大，也即結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)減小。

3.2 工程應(yīng)用——重力壩

某水電站位于柬埔寨的Kamchay河干流，擋水建筑物為混凝土重力壩，最大壩高112 m，壩頂寬6.0 m，壩體上游面84m高程以上為豎直面以下坡度為1∶0.3；下游面折坡點高程為145.00 m，折坡點以下坡度為1∶0.75。

選取最大壩高斷面(5號壩段)進(jìn)行分析，該壩段建基面高程為41 m，壩頂高程為153 m，壩底寬97 m，上游正常蓄水位150 m。建立該壩段的二維有限元分析網(wǎng)格模型，壩基在上下游方向各延伸200 m，壩基深度取為200 m，有限元網(wǎng)格模型如圖1所示。根據(jù)壩體混凝土所采用的型號，壩體彈性模量取值范圍為21.5～25.5 GPa；試驗得到的壩基巖體彈性模量取值范圍為3～8 GPa。利用實測位移監(jiān)測數(shù)據(jù)對其進(jìn)行反演分析后，得到該壩段的壩體彈性模量均值為21.88 GPa，壩基彈性模量均值為4.64 GPa。參考類似工程，假定壩體彈模Ec、壩基彈模Er及大壩上游水位Hu3個隨機變量的變異系數(shù)分別取為0.15、0.20、0.06，如表1所示。

圖1 重力壩有限元網(wǎng)格模型

表1 各隨機變量統(tǒng)計特性

采用非侵入式隨機有限元法(隨機響應(yīng)面法+有限元法)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析時的計算流程如圖2所示。

圖2 基于非侵入式隨機有限元法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法計算流程

根據(jù)圖2所示的計算流程，首先，建立本實例的重力壩壩踵抗拉可靠度功能函數(shù)為

Z=g(x)=g(Hu，Ec，Er)=6.79-wt

(34)

式中，x為輸入隨機變量向量；wt為重力壩壩踵的拉應(yīng)力區(qū)寬度，m。

與式(34)意義類似，如果壩踵的拉應(yīng)力區(qū)是連續(xù)的，可以以壩基面上距離壩踵6.79 m處的垂直向應(yīng)力σy的正負(fù)來形成重力壩的抗拉功能函數(shù)

Z=g(x)=-σy

(35)

式中，σy為壩基面上距離壩踵7/100壩底寬度處的垂直向應(yīng)力，應(yīng)力符號以拉為正，以壓為負(fù)。

顯然，由于引入了有限元分析，得wt到關(guān)于輸入隨機變量向量x的顯式表達(dá)式是比較困難的，因此，式(34)與式(35)所示的功能函數(shù)均為隱式方程。

將輸入的非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量向量x=(x1，x2，x3)轉(zhuǎn)換為服從N(0，12)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機向量ξ=(ξ1，ξ2，ξ3)，其中，x1代表大壩上游水位Hu；x2代表壩體彈性模量Ec；x3代表壩基彈性模量Er。

應(yīng)用自編結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法程序，得到重力壩抗拉可靠度的二階隨機響應(yīng)面函數(shù)如式(36)所示。經(jīng)驗算，二階隨機響應(yīng)面函數(shù)和三階隨機響應(yīng)面函數(shù)精度相差較小，故選擇二階隨機響應(yīng)面函數(shù)用于重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度計算是合適的。

(36)

以式(36)作為重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度的功能函數(shù)，應(yīng)用幾何法求得重力壩抗拉可靠指標(biāo)為1.629，對應(yīng)的失效概率為5.17%。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的設(shè)計驗算點為[-0.765，-0.387，-1.385]，將其轉(zhuǎn)換至原始變量空間為[143.115 m，20.609 GPa，3.355 GPa]。

求得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)分別對各基本變量ξi(i=1，2，3)的偏導(dǎo)

(37)

(38)

(39)

采用幾何法，得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)的設(shè)計驗算點為ξ=(-0.765，-0.387，-1.385)，將其代入式(37)～式(39)，得到在設(shè)計驗算點附近結(jié)構(gòu)功能函數(shù)分別對各基本變量ξi(i-1，2，3)的偏導(dǎo)數(shù)依次為89.573 1、45.247 0和161.992 3。

于是，不難得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對輸入變量向量偏導(dǎo)的2-范數(shù)為

(40)

根據(jù)前述推導(dǎo)得到的采用幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面敏感性分析公式，求得結(jié)構(gòu)失效概率對各輸入隨機變量的均值敏感度如式(41)～式(43)所示，對標(biāo)準(zhǔn)差的敏感度如式(44)～式(46)所示。

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

分析式(41)～(43)可知，在設(shè)計驗算點處，該重力壩的結(jié)構(gòu)抗拉失效概率對于各輸入隨機變量均值的敏感性排序為：壩基彈性模量Er>壩體彈性模量Ec>大壩上游水位Hu。同時，結(jié)構(gòu)抗拉失效概率對于各輸入隨機變量均值的敏感度均為負(fù)值，這說明在設(shè)計驗算點處，壩基彈性模量越大、壩體彈性模量越大或大壩上游水位越高(設(shè)計驗算點處的上游水位為143.115 m，低于正常蓄水位150 m)都將降低結(jié)構(gòu)的抗拉失效概率。

分析式(44)～(46)可知，在設(shè)計驗算點處，該重力壩的結(jié)構(gòu)抗拉功能函數(shù)對于各輸入隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差的敏感性排序為：壩基彈性模量Er>大壩上游水位Hu>壩體彈性模量Ec。同時，結(jié)構(gòu)抗拉失效概率對于各輸入隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差的敏感度均為正值，這說明在設(shè)計驗算點處，壩基彈性模量變異越大、壩體彈性模量變異越大或大壩上游水位波動越大都將增加結(jié)構(gòu)的抗拉失效概率。

綜上所述，壩基彈性模量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差對其抗拉可靠度最為敏感。因此，建議通過補強灌漿等方式提高壩基的彈性模量，可以顯著提高該重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠指標(biāo)。

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了幾何法與隨機響應(yīng)面法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式，并應(yīng)用于工程實例，得到了相關(guān)結(jié)論。研究表明：

(1)本文給出的基于隨機響應(yīng)面法和幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式可有效分析和比較失效概率和可靠指標(biāo)對于各隨機變量的敏感程度。

(2)將本文給出的計算公式應(yīng)用于懸臂梁和某重力壩結(jié)構(gòu)可靠度分析的實例，收到了良好的效果，得到了有益的結(jié)論。對于該重力壩，壩基彈性模量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差對其抗拉可靠度最為敏感。因此，本文建議通過補強灌漿等方式提高壩基的彈性模量，可顯著提高其壩踵抗拉可靠指標(biāo)。