基于深度學(xué)習(xí)的“含參不等式恒成立問題”微設(shè)計

沈秀蘭

（韶州中學(xué)，廣東 韶關(guān) 512026）

含參不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重要考點，在往年的高考試題中，可以是單獨的知識點考查，也可以是與函數(shù)、方程等進行整合的綜合考查，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)要求較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在難度。為此進行的教學(xué)微設(shè)計融合深度學(xué)習(xí)的理念，從宏觀上整體把握，精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，通過對含參不等式恒成立的相關(guān)問題以及解題方法、策略和技巧的研究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想像，數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，同時為含參不等式恒成立問題的教與學(xué)提供參考。

一、課程標(biāo)準(zhǔn)要求及相關(guān)理論依據(jù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》教學(xué)建議指出，教學(xué)目標(biāo)制定要突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要結(jié)合特定教學(xué)任務(wù)，思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點、生長點；要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)在教學(xué)中的可實現(xiàn)性，研究其融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的具體方式及載體［1］。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》學(xué)業(yè)水平考試與高考命題說明指出，對于知識與技能，要關(guān)注能夠承載相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識、技能……；在命題中，需突出內(nèi)容主線和反應(yīng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論、通性通法、數(shù)學(xué)應(yīng)用和實際應(yīng)用，應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的能力［1］。

縱觀對于深度學(xué)習(xí)的研究可以發(fā)現(xiàn)，深度學(xué)習(xí)通常有兩個相關(guān)因素：一是真實情境，二是復(fù)雜技術(shù)環(huán)境。在此基礎(chǔ)上，深度學(xué)習(xí)可從以下幾個方面來理解：一是深度學(xué)習(xí)是問題意識驅(qū)動下的主動學(xué)習(xí)；二是深度學(xué)習(xí)是聯(lián)系、融合、建構(gòu)、應(yīng)用、遷移、反思等思維活動作用下的具有實踐性與批判性的學(xué)習(xí)活動；三是深度學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)從學(xué)習(xí)科學(xué)的角度去進行；四是深度學(xué)習(xí)并不排斥淺層學(xué)習(xí)，深度學(xué)習(xí)是淺層學(xué)習(xí)的深化。

依據(jù)以上教學(xué)建議和命題說明以及深度學(xué)習(xí)的相關(guān)理論，以“含參不等式恒成立問題”為例，試析基于深度學(xué)習(xí)的“含參不等式恒成立問題”的教與學(xué)。

二、教學(xué)過程設(shè)計

（一）梳理基礎(chǔ)題型，掌握基本方法

我們先通過二次函數(shù)型不等式恒成立問題梳理基本方法［2-4］。

1. 形如f（x）≥0（x∈R）確定參數(shù)的范圍

例題1?x∈R，是否存在實數(shù)m使得mx2-2x-m+1＜0恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

分析：x2的系數(shù)含參數(shù)，需對x2的系數(shù)是否為0進行分類討論。

解：不存在，理由如下：要使不等式mx2-2x-m+1＜0恒成立，即函數(shù)f（x）=mx2-2x-m+1的圖象都 在x軸 下 方。當(dāng)m=0時，-2x+1＜0，則不符合題意；當(dāng)m≠0時，函數(shù)f（x）=mx2-2x-m+1為二次函數(shù)，則，不等式組無解。綜上所述，不存在滿足題意的m。

方法梳理：分類討論。

2. 形如f（x）≥0（x∈［a，b］）確定參數(shù)的范圍

例題 2已知函數(shù)f（x）=-x2+2x+b2-b+1（a，b∈R），當(dāng)x∈［-1，1］時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是（ ）。

A.（-1，0） B.（2，+∞）

C.（-∞，-1）∪（2，+∞） D.（-∞，-1）

分析：一元二次不等式恒大于0等價于對應(yīng)二次函數(shù)圖形在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，可作出對應(yīng)二次函數(shù)的圖形，從開口方向、對稱軸，判別式和端點值符號的角度進行考慮。

解：函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示，開口向下，對稱軸為x=1，所以函數(shù)在［-1，1］單調(diào)遞增，當(dāng)x∈［-1，1］時，f（x）＞0 恒 成 立，所 以f（x）min=f（-1）=b2-b-2＞0，得b＜-1 或b＞2，故選 C。

圖1 函數(shù)f（x）的圖象

方法梳理：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)最值。

3. 形如f（x）＞0（參數(shù)m∈［a，b］）確定x的范圍

例題3函數(shù)f（x）=mx2-mx-1，當(dāng)|m|≤1時，求使f（x）＜0恒成立的x取值范圍。

分析：本題已知的是m范圍，應(yīng)把m看成主元，所求的x看成參數(shù)。即構(gòu)造以參數(shù)m為變量的函數(shù)，將問題等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)，再根據(jù)m的取值范圍列式求解x的范圍。

解：將不等式mx2-mx-1＜0變形得關(guān)于m的不 等 式（x2-x）m-1＜0，令 g（m）=（x2-x）m-1，m∈［-1，1］，則即解得即x取值范圍為

方法梳理：等價轉(zhuǎn)化。

通過以上題型，得出解決不等式恒成立問題的基本方法主要有分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化。題型設(shè)置由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在教學(xué)過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、自主學(xué)習(xí)、小組合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）感悟高考真題，培養(yǎng)高階思維

高考是為選拔人才的考試，注重考查分析問題、解決問題的能力的探索題、綜合題是高考的熱點和重點之一。含參不等式恒成立問題在高考中多以中高檔題出現(xiàn)，且與其他知識點聯(lián)系較廣，下面來探討兩道高考題。

例題4（2019全國卷Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）=2f（x），且當(dāng)x∈（0，1］時，f（x）=x（x-1），若對任意x∈（-∞，m］，都有則m的取值范圍是（ ）。

可作出f（x）的圖象，如圖2所示。

圖2 f（x）的圖象

方法梳理：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化。

歸納總結(jié)：本題利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，通過畫出圖象分析，要得時對應(yīng)x的取值，需令4（x-2）解得，并結(jié)合圖象找出m的取值范圍。

例題5（2020全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-x當(dāng)x≥0 時，x3+1，求a的取值范圍。

方法梳理：分類討論、分離參數(shù)、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)最值。

歸納總結(jié)：本題在分類討論第二種情況中，采用分離參數(shù)，將參數(shù)變換到等式左邊，含變量的式子變換到等式右邊，這樣就將不等式恒成立問題等價轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。而求函數(shù)的最值可以通過導(dǎo)數(shù)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等方法完成。

通過對以上兩道高考試題的分析以及求解過程的探討，發(fā)現(xiàn)含參不等式恒成立問題的高考試題具有以下特點：（1）含參不等式恒成立問題通常與函數(shù)知識聯(lián)系起來考察，可通過作圖、求導(dǎo)等方法判別函數(shù)的單調(diào)性、最值等，再通過解不等式的方式解決問題。（2）在新課改后，含參不等式恒成立問題綜合性更強了，一道題可能用到幾種方法策略，這就要求我們對含參不等式恒成立問題的解題方法策略有整體的把握，以便在解題的過程中能更快地運用合理、正確、高效的解題技巧。教學(xué)過程中，多鼓勵學(xué)生，通過將解題步驟細(xì)化成小問題，幫助學(xué)生深入思考、層層遞進，幫助學(xué)生獲得“四基”，增強克服困難的信心和毅力。

（三）促成深度學(xué)習(xí)，提升核心素養(yǎng)

通過以上例題分析與總結(jié)，對不等式恒成立問題的解題策略有了更全面的了解，接著我們試著解決雙參不等式恒成立問題。

例題 6已知二次函數(shù)f（x）=-x2-4x，若對任意x∈（0，+∞），總存在m∈［1，2］，使不等式-f（x）≤mx2+nx+4成立，求n的取值范圍。

解：對任意x∈（0，+∞），總存在m∈［1，2］，使不等式-f（x）≤mx2+nx+4成立，等價于任意x∈（0，+∞），總存在m∈［1，2］，（m-1）x2+（n-4）x+4≥0恒成立。

當(dāng)m=1時，當(dāng)n≥4時，不等式成立；當(dāng)m≠1時，（m-1）x2+（n-4）x+4≥0為二次不等式。

設(shè)g（x）=（m-1）x2+（n-4）x+4，因 為m∈［1，2］，所以函數(shù)g（x）圖象拋物線開口向上，過點（0，4）：

圖3 拋物線圖（1）

圖4 拋物線圖（2）

方法梳理：分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)最值。

例題 7已知函數(shù)f（x）=x4-4x3+4x2-1，m∈［-6，-2］，若f（x）≤mx3+2x2-n在x∈［-1，1］上恒成立，求實數(shù)n的取值范圍。

解：由f（x）≤mx3+2x2-n在x∈［-1，1］上恒成立，可得x4-（4+m）x3+2x2+n-1≤0恒成立。

設(shè)F（x）=x4-（4+m）x3+2x2+n-1，則F（x）≤0恒成立，等價于F（x）max≤0。F'（x）=4x3-3（4+m）x2+4x=x（4x2-3（4+m）x+4），設(shè)g（x）=4x2-3（4+m）x+4。因為-6≤m≤-2，所以-2≤m+4≤2，判別式Δ=9（4+m）2-64＜0，所以g（x）=4x2-3（4+m）x+4＞0，

（1）若F'（x）＞0 得x＞0，F(xiàn)（x）在（0，1］上單調(diào)遞增，［F（x）］max=F（1）≤0，所以n≤m+2恒成立，即n≤（m+2）min=-6+2=-4，

（2）若F'（x）＜0 得x＜0，F(xiàn)（x）在［-1，0］上單調(diào)遞減，［F（x）］max=F（0）≤0，所以n-1≤0恒成立，即n≤1。

綜上所述，n的取值范圍是（-∞，-4］。

方法梳理：等價轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)最值。

歸納總結(jié)：這兩道雙參不等式恒成立問題，解題過程都是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求帶參函數(shù)的最值問題，通過數(shù)形結(jié)合或者導(dǎo)數(shù)的方法，找出相應(yīng)帶參函數(shù)的最值，再等價轉(zhuǎn)化為不等式“能”成立或者“恒”成立問題。

雙參不等式恒成立問題對于高中生難度不小，需有較強的邏輯推理能力。在教與學(xué)的過程中應(yīng)積極樹立“以學(xué)生為主體”的教學(xué)形式，通過小組合作，發(fā)揮小組成員的共同智慧，探究解題思路與方法，讓學(xué)生充分體驗學(xué)習(xí)的過程，開展深度學(xué)習(xí)。學(xué)生在此過程中不只注意問題的結(jié)論，更關(guān)注知識的推理過程，他們的思維在體驗的過程中得到發(fā)展，情感在體驗的過程中得到釋放，學(xué)習(xí)的過程成為一個獲得基本活動經(jīng)驗的過程，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（四）總結(jié)常規(guī)方法，構(gòu)建解題策略

解決含參不等式恒成立問題，通過以上例題的分析，梳理出以下幾種常用的方法，形成解題策略，如圖5。

圖5 不等式恒成立問題解題策略

1.分類討論。分類討論是在給出的不等式中，如果不能直接恒等變形，針對已知條件存在多種可能出現(xiàn)的情況，就可以采用分類討論的方式，需要注意的是，要充分考慮到可能出現(xiàn)的各種情況，保證討論的完整性和全面性，做到不重不漏。

2.數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，特別是含有初等函數(shù)型的不等式恒成立問題，通?？梢宰鞒鲈摵瘮?shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合進行綜合分析，找出函數(shù)的最值，或是滿足題意的等價結(jié)論。

3.等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，借助某類函數(shù)的圖象、性質(zhì)，或者已經(jīng)掌握的公式、定理，又或是已知條件等將問題等價轉(zhuǎn)化，進而達(dá)到解決問題的思路。這種數(shù)學(xué)思路總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，從而達(dá)到迅速找到解決的途徑和方法。

4.分離參數(shù)。分離參數(shù)就是將參數(shù)和變量分離于表達(dá)式的兩邊，然后根據(jù)未知量的取值范圍情況用函數(shù)觀點討論主變量的變化情況，確定新函數(shù)的最值，由此確定參數(shù)的范圍。

三、反思解題情況

通過對前面含參不等式恒成立問題的分析，我們已經(jīng)掌握了基本的方法和策略，但是在使用的過程中，容易受到一些題目條件的影響，解題結(jié)果出現(xiàn)錯誤，我們要及時反思總結(jié)，避免在做類似題目的過程中出現(xiàn)會而不對。

下面列舉幾種常見的錯誤：

（一）原理性錯誤

在使用最值法時，f（x）≥c恒成立?f（x）min≥c，f（x）≤c恒成立 ?f（x）max≤c，但如果不等式右邊也含有變量時，如不等式f（x）≥g（x）恒成立，很多同學(xué)容易得出f（x）≥g（x）恒成立?f（x）min≥g（x）max的 錯 誤 結(jié) 論，實 際 上f（x）≥g（x）恒成立 ?［f（x）-g（x）］min≥0。

（二）混淆“恒”成立與“能”成立問題

含參不等式恒成立問題形式多樣，方法靈活多變，解題技巧性強。通過對含參不等式恒成立問題的深度學(xué)習(xí)，系統(tǒng)地掌握含參不等式恒成立問題的解題方法和策略，便可以不變應(yīng)萬變，在解題過程中，根據(jù)具體的題設(shè)條件、認(rèn)真觀察題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同的角度，不同的方向加以分析探討，選擇適當(dāng)?shù)姆椒焖贉?zhǔn)確地解決問題。

學(xué)生通過對“含參不等式恒成立問題”這個專題的學(xué)習(xí)和探討，增強了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，發(fā)展了自主學(xué)習(xí)的能力，樹立了敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神。使教學(xué)向立德樹人、提升素養(yǎng)的總目標(biāo)又邁進了一步。