如何通過習(xí)題訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

劉道剛

高中數(shù)學(xué)題目較多，解題方法也很多，很多學(xué)生 采用“題海戰(zhàn)術(shù)”來提升解題的能力，但這并不可取.教 師要采用科學(xué)的方法來引導(dǎo)學(xué)生開展習(xí)題訓(xùn)練.一方 面，教師要選擇難度適中的典型習(xí)題讓學(xué)生練習(xí)，引 導(dǎo)他們總結(jié)解題的一般性規(guī)律、技巧，掌握各類題目 的通性通法；另一方面，教師要在學(xué)生掌握基本解題 方法的基礎(chǔ)上，搜集一些具有探究性的習(xí)題或者高考 試題，讓學(xué)生進(jìn)行思考、探究，以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維 能力.

一、開展一題多解訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

很多數(shù)學(xué)題目有多種解法.在教學(xué)中，教師可以圍 繞教學(xué)內(nèi)容，搜集一些有多種解法的題目，讓學(xué)生進(jìn) 行練習(xí).通過這樣的練習(xí)，學(xué)生不僅會運(yùn)用所學(xué)的知識 來解答問題，還能學(xué)會從不同的角度去尋找解題的思 路，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力.

例如，在三角函數(shù)習(xí)題課上，筆者給出了如下的 題目，讓學(xué)生進(jìn)行思考.

例1

解法1

解法2

解法3

解法4

引導(dǎo)學(xué)生從不同的維度、不同的角度，如三角函 數(shù)的“角”“名”“次數(shù)”去審視、分析問題，通過尋找差 異、聯(lián)系，找到不同的思路，這有助于增強(qiáng)學(xué)生思維的 靈活性和敏捷性，培養(yǎng)發(fā)散性思維.

隨后筆者給出了如下的問題讓學(xué)生思考，并鼓勵 他們嘗試尋找多種不同的解法.學(xué)生通過思考、討論， 找到了如下的兩種解法.

例2

解法1

解法2

該解法是從所求的三角函數(shù)式 tan α 2 入手，靈活 運(yùn)用二倍角公式將已知關(guān)系式中的角化為半角，再通 過弦切互化，求得 tan α 2 值.

通過該題，學(xué)生便掌握了解答這類問題的兩種思 路：（1）從已知函數(shù)式及其中的角入手，利用相關(guān)公 式，逐步向目標(biāo)式靠攏；（2）從所求函數(shù)式及其中的角 入手，利用相關(guān)公式將其與已知關(guān)系式關(guān)聯(lián)起來.這樣 學(xué)生不僅掌握了解答這類問題的方法，還學(xué)會了從不 同角度尋找解題的思路，培養(yǎng)了發(fā)散性思維能力.

二、開展一題多變訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

在教學(xué)中，教師可以通過變式訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生的 創(chuàng)新思維.通?？蓪㈩}目的條件、結(jié)論、形式、內(nèi)容等進(jìn) 行變換，但不改變問題的本質(zhì)，即不改變考查的知識 點(diǎn)、方法，讓學(xué)生通過一題多變訓(xùn)練，掌握一類題目的 本質(zhì)，熟悉“通性通法”，幫助他們培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力. 改變題設(shè)、結(jié)論，由一個知識點(diǎn)延伸為多個知識點(diǎn)，即 可將問題引申為新問題，讓學(xué)生對知識的理解更加深 刻，這利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

例3

本題側(cè)重于考查二倍角公式、同角的三角函數(shù)關(guān) 系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.解答 本題，需先利用二倍角公式得到正余弦函數(shù)之間的關(guān) 系 ；再 根據(jù)角的范圍及同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1，求得問題的答案.筆者主要從“角”“函 數(shù)名”兩個角度對問題進(jìn)行變式.

變式1

筆者只是改變結(jié)論，并未改變題目的條件.學(xué)生靈 活運(yùn)用二倍角公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦的誘導(dǎo)公式，即可解題.

變式2

筆者把原題的條件和結(jié)論互換，這是變換題目形 式常用的手段之一.

變式3

筆者改變了問題的形式和內(nèi)容，但并未改變問題 的本質(zhì).學(xué)生需先運(yùn)用平面向量知識將已知條件轉(zhuǎn)換 為：α ∈（0， π 2 ） ，2 sin 2α = cos 2α + 1 ；然后運(yùn)用二倍角 公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦 的誘導(dǎo)公式解題.

通過這樣的一題多變訓(xùn)練，學(xué)生不僅掌握了解答 此類問題的方法，熟悉二倍角公式、同角的三角函數(shù) 關(guān)系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦的誘導(dǎo)公式，還知曉了 這類題目的多種形式，學(xué)會如何變換題目的形式，識 別題目的“真面目”，培養(yǎng)了創(chuàng)新思維能力.

雖然數(shù)學(xué)題目多種多樣，但是萬變不離其宗.教師 要組織開展一題多解訓(xùn)練、一題多變訓(xùn)練，以使學(xué)生 明白很多數(shù)學(xué)問題具有“通性”，其解法也是相通的.這 樣學(xué)生在訓(xùn)練的過程中，便會學(xué)會對一些共性的題目 進(jìn)行總結(jié)歸納，掌握其解題的規(guī)律，積累更多的解題 經(jīng)驗(yàn).

（作者單位：湖北省十堰市鄖陽區(qū)第一中學(xué)）