靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，高效解答三角函數(shù)問(wèn)題

袁麗娜

導(dǎo)數(shù)法是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法.對(duì)于較為復(fù) 雜的三角函數(shù)問(wèn)題，如含有高次三角函數(shù)式，幾種三 角函數(shù)的積、和、差、商的問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解，可使 解題的過(guò)程和思路變得簡(jiǎn)單，有助于提升解題的效率.

一、三角函數(shù)圖象問(wèn)題

三角函數(shù)圖象問(wèn)題比較常見(jiàn)，通常需根據(jù)三角函 數(shù)的解析式、圖象來(lái)確定函數(shù)的最高（低）點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、 對(duì)稱(chēng)中心、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性等.在解題時(shí)，我 們可以直接對(duì)函數(shù)式求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此便可畫(huà)出函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的大致圖象.再根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期 性畫(huà)出函數(shù)的完整圖象，就可以根據(jù)圖象順利求得問(wèn) 題的答案.

例1

解：

先 觀 察 圖 象 ，可 發(fā) 現(xiàn) 當(dāng) x → 0 ，且 x > 0 時(shí) ， f （x）< 0 ，由此可以判斷選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；然后對(duì)函數(shù)求 導(dǎo)，即可判斷出函數(shù)的拐點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的圖 象就能快速得出正確的答案.

二、三角函數(shù)最值問(wèn)題

對(duì)于一些復(fù)雜的三角函數(shù)最值問(wèn)題，采用常規(guī)的 方法求解，很難快速得出問(wèn)題的答案，此時(shí)需運(yùn)用導(dǎo) 數(shù)法，即首先將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，并對(duì)其求導(dǎo)；然后判 斷出函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，據(jù)此便可確定函數(shù)的 極值.一般地，若在某點(diǎn)處左側(cè)的函數(shù)圖象單調(diào)遞減， 右側(cè)的圖象單調(diào)遞增，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)；若在某點(diǎn) 處左側(cè)的函數(shù)圖象單調(diào)遞增，右側(cè)的圖象單調(diào)遞減， 則該點(diǎn)為極大值點(diǎn).最后將極值與定義域的端點(diǎn)值相 比較，較大者則為函數(shù)的最大值，較小者則為函數(shù)的 最小值.

例2

解：

首先對(duì) f（x）= sin2xsin 2x 求導(dǎo)，得到 f ′（x）=（1- cos 2x）（2 cos 2x +1）.然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，便可根據(jù)函數(shù)極值的定義，確定函數(shù)的極大值、極小值.最后將所求的極值與定義域上的端點(diǎn)值相比較即可.

三、三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，首先要對(duì)化簡(jiǎn)后的函數(shù)式求導(dǎo)；然后令導(dǎo)函數(shù)為0，求得零點(diǎn)；再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系：（1）若在[a，b]上 f ′（x）>0，則函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增；（2）若在[a，b]上 f ′（x）<0，則函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞減，由此判斷出函數(shù)在各個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

例3.已知函數(shù) f（x）= cos 2x +a（sin x - cos x）在區(qū)間0， 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解：

對(duì)函數(shù) f （x）= cos 2x + a（sin x - cos x） 求導(dǎo)后，便可 根據(jù)已知信息：函數(shù)在區(qū)間 é ? ù ? 0， π 2 上單調(diào)遞增，建立關(guān) 系式 f'（x）= -2 sin 2x + a（cos x + sin x）> 0 .再將不等式中 的參數(shù)、變量分離，通過(guò)求區(qū)間 é ? ù ? 0， π 2 上 4 sin x cos x cos x + sin x 的最大值，求得 a 的取值范圍.

綜上所述，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答三角函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值問(wèn)題，非常奏效.因此，在解答復(fù)雜的三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)提升解題的效率.

（作者單位：山東省棗莊市第十八中學(xué)）