巧用“1”的代換法配湊基本不等式

侯曉燕

基本不等式 a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 是解答最 值問題、求代數(shù)式取值范圍的重要工具.運(yùn)用基本不等 式解題，往往需確保三個(gè)條件成立：一正，即各項(xiàng)都必 須為正數(shù)；二定，即兩式之和為定值時(shí)，兩式之積取最 大值，兩式之積為定值時(shí)，兩式之和取最小值；三相 等，即當(dāng)且僅當(dāng)兩式相等時(shí)等號(hào)成立.而運(yùn)用基本不等 式解題的關(guān)鍵在于配湊出兩式的和或積，并使其中之 一為定值.常用的配湊技巧有：湊系數(shù)、添項(xiàng)、去項(xiàng)、進(jìn) 行“1”的代換等.其中“1”的代換法較為靈活，需根據(jù)題 目中的信息，尋找、挖掘、構(gòu)造出等于1的式子，以通過 “1”的代換，配湊出基本不等式.我們知道任何數(shù)（式） 乘以或除以“1”，都不改變?cè)瓟?shù)（式）的大小，且“1”是 常數(shù)，為定值，這就給我們配湊基本不等式提供了依 據(jù).那么如何用“1”的代換法配湊基本不等式呢？可以 從以下兩個(gè)方面入手.

一、根據(jù)已知條件進(jìn)行“1”的代換

若已知條件中有等于“1”或常數(shù)的式子，可直接 用“1”進(jìn)行代換，即將目標(biāo)式乘以“1”，這時(shí)目標(biāo)式的 大小并沒有改變，將等于“1”的式子代入進(jìn)行運(yùn)算，配 湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，即可運(yùn)用 基本不等式解題.

例1

解：

例2

解：

例3

解

本題中 a + 2b = 4 ，只需將其左右兩邊的式子同時(shí) 除以4，即可得到等于“1”的式子，然后將其與目標(biāo)式 相乘，即可配湊出兩式的和 b a + a 4b ，其積為定值，直接 運(yùn)用基本不等式即可求得最值.

二、構(gòu)造等于“1”的式子，進(jìn)行“1”的代換

若題目中沒有等于“1”或常數(shù)的式子，就需根據(jù) 題意尋找一些蛛絲馬跡，挖掘一些隱含條件，如根據(jù) 已知關(guān)系式的分母、分子、倒數(shù)關(guān)系進(jìn)行配湊，將已知 關(guān)系式做除法、乘法、乘方等，來構(gòu)造等于“1”的式子， 再進(jìn)行“1”的代換，這樣就可以在不改變代數(shù)式大小 的情況下，配湊出基本不等式.

例4

解

仔細(xì)觀察目標(biāo)式，可發(fā)現(xiàn)兩分母之和為 2x +（1 - 2x）=1 ，這便構(gòu)造出等于“1”的式子，找到了解題的突 破口.將 2x + （1 - 2x） 與目標(biāo)式相乘，即可配湊出基本 不等式中的和式.

例5

解：

將已知關(guān)系式 2a + b = 2ab 的左右同時(shí)除以 ab ， 即可將式子的右邊變?yōu)椤?”，這樣便構(gòu)造出等于“1”的 式子.再將其與目標(biāo)式相乘，便能配湊出基本不等式.

例6

解：

根據(jù)已知條件建立關(guān)于 a、b 的式子，再將其變 形，即可構(gòu)造出等于“1”的式子，就能通過“1”的代換 配湊出基本不等式.

例7

解

先將已知關(guān)系式 2xy - x - 6y = 0 的左右同時(shí)除以 2xy ，即可得 3 x + 1 2y = 1 ；再將其與目標(biāo)式相乘，進(jìn)行 “1”的代換，即可配湊出兩式的和，并使這兩式的積為 定值；最后運(yùn)用基本不等式便能順利求得最值.

對(duì)于已知關(guān)系式較為復(fù)雜的題目，通常需將代數(shù) 式進(jìn)行合理的變形、化簡(jiǎn)、構(gòu)造，以得到等于“1”的式 子，這樣便可通過“1”的代換，改變目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)、形 式，配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，就能 運(yùn)用基本不等式順利求得問題的答案.

（作者單位：西華師范大學(xué)）