用導數(shù)法求解兩條曲線的公切線問題的思路

韓雅雅

兩條曲線的公切線是指同時與兩條曲線相切的直線，有時這兩條曲線上只有1個切點，有時有2個切點.常見的兩條曲線的公切線問題主要有：（1）求公切線的方程、斜率；（2）由公切線求參數(shù)的值或取值范圍.兩條曲線的公切線問題主要考查導數(shù)的幾何意義，而函數(shù) y =f（x）在點 x0處的導數(shù) f ′（x0）的幾何意義是在曲線 y =f（x）上點 P（x0，y0）處的切線的斜率，即k =f ′（x0）.用導數(shù)法解答兩條曲線的公切線問題的步驟為：

1.運用求導法則和公式對兩條曲線的方程 y =f（x）、y =g（x）進行求導；

2.若切點的坐標為 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則 y1=f（x1）① ， y2=g（x2）②;

3.根據(jù)導數(shù)的幾何意義得出兩曲線的切線斜率的關(guān)系式：f ′（x1）=g ′（x2）③;

4.根據(jù)①②③建立關(guān)于 x1、x2的關(guān)系式；

5.根據(jù)直線的點斜式方程求得公切線的方程 y -y1=f ′（x1）（x -x1）或 y -y2=f ′（x2）（x -x2）.

運用導數(shù)法求解兩曲線的公切線問題，關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的幾何意義，列出有關(guān)切線斜率的方程.下面舉例加以說明.

例1.

解

顯然，直線 l 為曲線 y = e x 和 y = - x 2 4 的公切線，需 先分別對兩條曲線的方程求導；再根據(jù)公切線的斜率 和方程相等，建立關(guān)于 x1 、x2 的方程組，求得 x1 、x2 ； 然后將其代入切線的方程中，即可求得公切線的方程.

例2

解：

要求公切線斜率 k 的值，必須先設(shè)出兩個切點的 坐標，對兩條曲線的方程求導，得出公切線的斜率和 方程；然后根據(jù)公切線的含義，即兩條切線重合，建立 方程組，問題就迎刃而解了.

例3

解：

解答本題，需根據(jù)導數(shù)的幾何意義，得出公切線 的斜率 k = 1 x1 = a 2 x2 ，據(jù)此建立 x1 、x2 的關(guān)系式： x2 = a2 4 x2 1 ，再通過等量變換，得到方程 a2 = 4 ln x1 + 4 x1 ，即 可通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為 h（x） = 4 ln x + 4 x ，x > 0 與 y = a2 有兩個交點的問題，借助函數(shù)圖象，來求得參 數(shù) a 的取值范圍.

從上述分析不難看出，求解兩曲線的公切線方程 問題，需抓住以下幾個關(guān)鍵點：（1）兩個切點分別在兩 條曲線上；（2）公切線的斜率與兩個函數(shù)在切點處的 導數(shù)相等；（3）切點在切線上，根據(jù)曲線、切線、切點之 間的關(guān)系列出方程，就能順利解題.

（作者單位：甘肅省寧縣第二中學）