圖形對(duì)稱性的應(yīng)用技巧例析

陳楊

對(duì)稱圖形不僅具有整齊、規(guī)范、勻稱、和諧的美 感，更能反映出數(shù)學(xué)圖形的簡(jiǎn)潔性.對(duì)稱圖形包括中心 對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形.在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某 個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重 合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它 的對(duì)稱中心.

中心對(duì)稱圖形具有以下性質(zhì)：

1.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的；

2.關(guān)于中心對(duì)稱的點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分；

3.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)的線段平行（或者在同一直線上）且相等.

在平面內(nèi)，如果將一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

軸對(duì)稱圖形具有以下性質(zhì)：

1.對(duì)稱軸是一條直線；

2.對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸兩側(cè)的距離相等；

3.沿對(duì)稱軸將圖形對(duì)折，左右兩邊的部分完全重合；

4.對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)所連的線段.

在高中數(shù)學(xué)中的冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的 圖象具有對(duì)稱性；正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)具有對(duì)稱 性；橢圓、雙曲線、拋物線的圖形具有對(duì)稱性.對(duì)稱性在 解題中有著十分廣泛的應(yīng)用.下面結(jié)合實(shí)例加以分析.

例1

解：

解答本題主要運(yùn)用了奇函數(shù)的性質(zhì)和圖形的對(duì) 稱性.在判斷出函數(shù)為奇函數(shù)后，便可根據(jù)奇函數(shù)的圖 象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)，利用中心對(duì)稱 圖形的性質(zhì)得出 f （1） > 0， f （-1） = -f （1） < 0 ，從而確定 函數(shù) y = （3 ） x - 3 -x cos x 的圖象.

例2

解：

解答本題主要運(yùn)用了正六棱柱的對(duì)稱性：正六棱 柱的上下底面的中心的連線為正六棱柱的對(duì)稱軸，上 下底面的中心為上下底面的對(duì)稱中心.只要確定每一 個(gè)側(cè)面內(nèi)、每?jī)蓚€(gè)相鄰平面內(nèi)、隔一個(gè)平面的兩個(gè)平 面內(nèi)的相交對(duì)角線的數(shù)量，以及一組對(duì)面內(nèi)平行對(duì)角 線的數(shù)量，即可根據(jù)正六棱柱的對(duì)稱性，確定其他平 面內(nèi)的相交對(duì)角線、平行對(duì)角線的數(shù)量.

可見(jiàn)，在解答圖形問(wèn)題時(shí)，巧妙利用圖形的對(duì)稱 性，不僅能使問(wèn)題中的幾何關(guān)系以更加簡(jiǎn)潔的形式呈 現(xiàn)，使得抽象的問(wèn)題具體化，還能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，大大 提高解題的效率.

（作者單位：西華師范大學(xué)）