例談解答二元最值問(wèn)題的途徑

馬亮

二元最值問(wèn)題中往往含有兩個(gè)變量，且兩個(gè)變量之間存在一定的聯(lián)系.解答此類問(wèn)題，需尋找或建立兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，對(duì)其進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化、變形、構(gòu)造，從而得到最值.下面就一道二元最值問(wèn)題，談一談求解此類最值題目的途徑.

題目：已知 x>0、y>0，若4x2+y2+xy =1，求2x +y 的最大值.

該題目中含有兩個(gè)變量 x、y，要求2x +y 的最大值，需將已知關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形、構(gòu)造，以利用基本不等式、一元二次方程的判別式、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性求解.

一、利用基本不等式

若 a>0、b>0，則 a + b ≥2，該式稱為基本不等式.基本不等式是解答二元最值問(wèn)題的重要工具.通常需先將代數(shù)式配湊成兩式的和或積，并使其中之一為定值；然后檢驗(yàn)等式成立的條件，便可確定當(dāng) a=b 時(shí)，a+b 取得最小值2，ab 取得最大值.

解法1.

解法2

二、運(yùn)用判別式法

對(duì)于二次二元最值問(wèn)題，通?？上攘钅繕?biāo)式為 t ， 然后將已知關(guān)系式化為關(guān)于其中一個(gè)變量的一元二 次方程.此時(shí) t 與其他的變量均為參數(shù)，且方程有解， 即可根據(jù) Δ ≥ 0 ，建立關(guān)于 t 的不等式，求得 t 的取值 范圍，便能確定目標(biāo)式的最值.

解法3

令 2x + y = t ，并用 x、t 表示 y，即可將已知關(guān)系式 化為關(guān)于 x 的一元二次方程判別式，根據(jù)方程有解得 出判別式 Δ ≥ 0 ，進(jìn)而求得 t 的取值范圍.

解法4

該解法是先令目標(biāo)式的平方為 t ；然后將 t 看作 參數(shù)，構(gòu)造關(guān)于 y x 的一元二次方程，根據(jù)判別式 Δ ≥ 0 ，求得 t 的取值范圍，從而得出 2x + y 的最大值.

三、三角換元

在求解二元最值問(wèn)題時(shí)，通?？蓪蓚€(gè)變量用三 角函數(shù)式替換，如令 x = sin θ、y = cos θ ，x = sin θ + a、 y = cos θ + b ，將目標(biāo)式化為三角函數(shù)式.這樣便可通過(guò) 三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，利用正弦、余弦、正切 函數(shù)的有界性和單調(diào)性來(lái)求得目標(biāo)式的最值.

解法5

令 1 2 x + y = sin θ、15 2 x = cos θ ，通過(guò)三角換元，即 可將二元最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正余弦函數(shù)的最值問(wèn)題.再 利用輔助角公式、正弦函數(shù)的有界性，就能求得 2x + y 的最大值.

可見(jiàn)，要求得二元函數(shù)的最值，需靈活運(yùn)用基本 不等式，函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性， 以及一些重要不等式結(jié)論.這就要求我們熟練掌握不 等式、函數(shù)、三角函數(shù)知識(shí)，將問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化， 從而快速求得問(wèn)題的答案.

本文系2021年度甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃 “農(nóng)村高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng) 的探究”一般課題研究成果（課題批準(zhǔn)號(hào)：GS[2021] GHB0925）

（作者單位：甘肅省隴南市禮縣第二中學(xué)）