求解多元最值問題的幾種措施

謝琴琴

多元最值問題具有較強(qiáng)的綜合性，常與向量、函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合.解答此類問題的措施很多，如利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性、柯西不等式、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等，下面結(jié)合實(shí)例來作詳細(xì)的介紹.

一、利用基本不等式

解答多元最值問題，常常要用到基本不等式： a + b ≥2（a >0， b >0），及其變形式：a2+ b2≥2ab 、≥ ab 、a + b + c ≥33等.在運(yùn)用基本不等式及其變形式求最值時(shí)，往往要將已知關(guān)系式和目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來，配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值.

例1.設(shè) a， b >0，且 a -2b =1，求（a2+ b2+1）的最小值.

解：

我們將已知關(guān)系式平方，并代入目標(biāo)式，即可將目標(biāo)式化為兩式之和的形式：ab +.而這兩式的積為定值，運(yùn)用基本不等式 a + b ≥2就能快速求得目標(biāo)式的最值.

例2.已知 a， b 為正實(shí)數(shù)，且 a + b =2，求+的最大值.

解：

通過換元，即可將代數(shù)式化為 2 m + 8 m - 4 .該式的分母中含有參數(shù) m ，且 m +為兩式的和，而這兩式的積為定值，這便為運(yùn)用基本不等式創(chuàng)造了條件.值得注意的是，在求得最值后，還需檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足題意，否則無法確定所求的值為最值.

二、利用函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是解答最值問題的重要工具.在解答多元最值問題時(shí)，我們可以通過換元或運(yùn)用整體思想，將某個(gè)變量視為主元，把目標(biāo)式化為關(guān)于該主元的函數(shù)式，將問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值問題.再根據(jù)簡單基本函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系來求最值.

例3.若 x2- y2=1，求+的取值范圍.

解：

本題實(shí)質(zhì)上是二元最值問題.在解題時(shí)，需先結(jié)合已知關(guān)系式將目標(biāo)式變形，得到-2+2?+1；再將 t =看作一個(gè)整體，把目標(biāo)式看作關(guān)于 t =的一元二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性來求最值.

例4.若實(shí)數(shù) a，b，c 滿足4a +2b +c =4，求 a4+ b2+c 的最小值.

解：

我們將目標(biāo)式看作關(guān)于其中一個(gè)變量 a 的四次函數(shù)式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值.

三、三角換元

若代數(shù)式可化為兩平方式的和，則可根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式：sin2θ+ cos2θ=1來進(jìn)行三角換元，這樣便可將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式.再進(jìn)行三角恒等變換，將目標(biāo)式化為正弦、余弦函數(shù)式，即可根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求最值.

例5

解：

由 x2+y2≤1可聯(lián)想到同角的三角函數(shù)關(guān)系式： sin2θ+ cos2θ=1，于是令 x =rcos θ、y =rsin θ ， 便可將目標(biāo)式化為關(guān)于角θ的三角函數(shù)式，再將其化為正弦函數(shù)式，就可以根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

例6.

解：

解答本題，要先根據(jù)3x2+y2進(jìn)行三角換元，令 x = cos θ，y =rsin θ;再將其代入已知關(guān)系式，即可用三角函數(shù)式表示出 r2；然后根據(jù)余弦函數(shù)的有界性來解題.

四、數(shù)形結(jié)合

在解答多元最值問題時(shí)，可深入挖掘其中代數(shù)式的幾何意義，將代數(shù)式看作函數(shù)式、曲線的方程、直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離等，再畫出相應(yīng)的圖形，便可借助圖形來研究滿足題意的臨界情形，據(jù)此建立關(guān)系，即可求得最值.

例7.設(shè) x，y 為正實(shí)數(shù)，且2x +y =2，求 x + x2+y2的最小值.

解：設(shè)直線 l：2x +y =2，作點(diǎn) O 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)O′（m，n），可得O′（ ， ）.設(shè)點(diǎn) P 為直線 l 在第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 y 軸的垂線 PA ，如圖所示.

則 x + x2+y2= lPAl+ lPOl = lPAl+ lPO′ l ，

由圖可知，當(dāng) A、P、O′在同一條直線上時(shí)，x + x2+y2最小，

此時(shí)lPAl+ lPO′ l = lAO′ l =

所以 x +x2+y2的最小值為

在解答多元最值問題時(shí)，化“數(shù)”為“形”，便能借助圖形來直觀地分析問題，將數(shù)形結(jié)合起來，即可快速地求得最值.

總之，解答多元最值問題，需注意：（1）處理好各個(gè)變量之間的關(guān)系；（2）建立已知關(guān)系式和目標(biāo)式之間的聯(lián)系；（3）將代數(shù)式進(jìn)行變形、代換、構(gòu)造，以將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)）